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Días atrás he ayudado a una alumna de 1º de Ingeniería en la Universidad de Vigo a preparar el examen de Física I. Por cierto, (y disculpadme porque ponga este offtopic, pero o lo digo o reviento) me ha llamado poderosamente la atención cómo se puede dar tanta materia en tres meses, hacer en clase tan pocos ejercicios y que el nivel de dificultad de los exámenes esté tan desacoplado con lo que se aborda en clase (algo que después, obviamente, se refleja en el escaso porcentaje de aprobados).
Mi pregunta se refiere al procedimiento de cálculo para la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplitud en torno del punto de equilibrio (en sistemas con un único grado de libertad).
Por supuesto, el planteamiento usual parte de obtener la aceleración del sistema en función de la elongación, , y, si es necesario, aproximarla mediante un desarrollo de orden 1 a la forma
lo que proporciona la frecuencia de dichas oscilaciones, . Si la variable elegida para representar el estado del sistema es angular, , entonces actuamos igual, pero con la aceleración angular
Este enfoque no siempre es el más cómodo, y en los textos se suele ofrecer la siguiente alternativa: obténgase la energía mecánica del sistema, derívese respecto del tiempo y téngase en cuenta que el resultado será nulo. Como la energía mecánica será de la forma
la derivada en cuestión conduce a
y entonces
Haciendo el desarrollo de Taylor de orden 1 de la energía potencial en torno a y teniendo en cuenta que en el punto de equilibrio la energía potencial es mínima, tenemos que
de donde
Veamos ahora un ejemplo concreto. El objeto de la figura siguiente, de masa y momento de inercia rueda sobre el carril dibujado horizontalmente.
Vamos con el método que se deduce de (1). Supongamos que el sistema posee una elongación , hacia la izquierda. Además del peso y la normal, sobre él actúan las fuerzas siguientes:
De esta manera tenemos que
Combinando ambas encontramos que
de donde
Veamos ahora qué sucede al aplicar el método basado en la energía mecánica. Como la velocidad angular es , la energía mecánica del sistema será
donde lo primero que destaco es la ausencia de . Derivando respecto del tiempo y eliminando resulta algo diferente de (6):
y entonces
Mi "olfato físico" me dice que el resultado correcto es (7) y no (8). Lo que no entiendo es, si es así, por qué motivo aquí no es aplicable el método (2)-(5)
Agradezco desde ya vuestra ayuda. Por cierto, una vez aclarado esto postearé el problema que pusieron en el examen, pues también me genera dudas que quisiera aclarar.
Mi pregunta se refiere al procedimiento de cálculo para la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplitud en torno del punto de equilibrio (en sistemas con un único grado de libertad).
Por supuesto, el planteamiento usual parte de obtener la aceleración del sistema en función de la elongación, , y, si es necesario, aproximarla mediante un desarrollo de orden 1 a la forma
Este enfoque no siempre es el más cómodo, y en los textos se suele ofrecer la siguiente alternativa: obténgase la energía mecánica del sistema, derívese respecto del tiempo y téngase en cuenta que el resultado será nulo. Como la energía mecánica será de la forma
Veamos ahora un ejemplo concreto. El objeto de la figura siguiente, de masa y momento de inercia rueda sobre el carril dibujado horizontalmente.
Vamos con el método que se deduce de (1). Supongamos que el sistema posee una elongación , hacia la izquierda. Además del peso y la normal, sobre él actúan las fuerzas siguientes:
Veamos ahora qué sucede al aplicar el método basado en la energía mecánica. Como la velocidad angular es , la energía mecánica del sistema será
Mi "olfato físico" me dice que el resultado correcto es (7) y no (8). Lo que no entiendo es, si es así, por qué motivo aquí no es aplicable el método (2)-(5)
Agradezco desde ya vuestra ayuda. Por cierto, una vez aclarado esto postearé el problema que pusieron en el examen, pues también me genera dudas que quisiera aclarar.
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