1r ciclo Velocidad de escape en órbita elíptica

[noadarriba]

Hola a todas y a todos
Sigo tratando de acabar de entender esto de calcular la velocidad de escape
Creo haber entendido como calcular la velocidad de escape de un satélite de masa m en una órbita circular de radio R alrededor de una masa atractiva M $\gg$ m:

$E_c){escape}-\dfrac{GMm}{R} \geq 0$

$\dfrac{1}{2}m.v_e^2-\dfrac{GMm}{R} \geq 0$

de donde: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Creo haber entendido también como calcular la velocidad adicional $v_{*}$ que habrá que aplicar a dicho satélite para, desde dicha órbita de radio R, enviarlo al infinito (es decir sacarlo del campo gravitatorio de M). Esta velocidad adicional dependerá de en que dirección y sentido se decida aplicar dicha velocidad adicional:

- si esta velocidad adicional $v_{*}$ se aplica tangencialmente con el mismo sentido que la velocidad $v_o$ orbital será (fig A):

$v_{*}=v_e - v_o$

$v_{*}=\sqrt {\dfrac{2GM}{R}}-\sqrt{\dfrac{GM}{R}}=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}\left (\sqrt 2 -1\right )$

-si esta velocidad adicional se aplica perpendicularmente a la trayectoria circular (fig B):

$v_{*}=\sqrt{v_e^2-v_o^2}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

-si esta velocidad adicional $v_{*}$ se aplica en cualquier otra dirección, esta velocidad se halla con el mismo criterio: la velocidad de escape ha de ser la resultante de la velocidad orbital y de la velocidad aplicada $v_{*}$

Y ahora el problema que quería plantear.
Como calcular la velocidad de escape y esta velocidad adicional en el caso de una órbita elíptica?
Para explicar donde residen mis dudas voy a servirme de la idea del potencial efectivo que he visto en otro hilo de este foro (https://forum.lawebdefisica.com/foru...ncial-efectivo). Aquí va la figura correspondiente a un pequeño satélite (por ejemplo, la zapatilla de Pieyele) orbitando en torno a una Masa M con un potencial efectivo dado por la ecuación

$V(r) = \dfrac{B}{r^2}-\dfrac{C}{r}$

(la gráfica, por si alguien quiere reproducirla, está realizada con Geogebra para un potencial efectivo $V(r) = \frac{12}{r^2}-\frac{10}{r}$)


Para la trayectoria circular de radio $R_0$, en la que el satélite tiene una energía total E (mínimo de la curva de potencial) solo hay un potencial $V_R$ y con este calculamos la velocidad de escape, de la forma que se ha visto más arriba.

Pero, ¿qué potencial tomar en el caso de una órbita en la que el satélite tiene una energía total por encima de este mínimo y, por lo tanto, va a estar recorriendo una órbita elíptica entre $R_p$ y $R_a$?

Muchas gracias de antemano.

[Richard R Richard]

El potencial de una orbita eliptica es

$\dfrac{v^2}{2}-{\dfrac{GM}{r}}=-\dfrac{GM}{2a}\leq 0$

donde a es el semieje mayor de la órbita y v es la velocidad del objeto en órbita respecto de un sistema de referencia centrado en el CM del objeto celeste de masa M.

luego se puede desdoblar esa ecuación tomando en cuanta que v se puede descomponer en dos velocidades una radial (direccion que une el stelite y el CM del astro) y una perpendicular a la anterior ....

$\dfrac{\omega^2 r^2}{2}+\dfrac{v_r^2}{2}-{\dfrac{GM}{r}}=-\dfrac{GM}{2a}\leq 0$

esta ultima cuando esta en lugares como el apoastro u periastro sabemos que hay velocidad radial nula haciendo cierto que $\omega r= \dfrac{L}{r}$ porque sabemos que el momento angular de la orbita L se conserva

$\dfrac{L^2}{2r^2}+\dfrac{v_r^2}{2}-{\dfrac{GM}{r}}=-\dfrac{GM}{2a}\leq 0$

luego viendo que el potencial efectivo mas la energía cinetica de la componente radial el la energía mecánica de la órbita, ves alli como puedes separar componentes para incorporar ese potencial V(r) y tener claro cuanto vale B y cuanto C

ves entonces que en una orbita circular $L=v_{orb}r_c=\sqrt{\dfrac{GM}{r_c}}r_c=\sqrt{GMr_c}$ y el semieje mayor coincide con el radio de la órbita puesto que la velocidad radial es nula.

luego tanto en los dos tipos de órbitas lo que necesitas es que la energía mecánica se haga nula o bien que el semieje mayor se haga infinito...

$\dfrac{L^2}{2r^2}+\dfrac{v_r^2}{2}-{\dfrac{GM}{r}}= 0$

que haces entonces con una órbita elíptica para calcular la velocidad de escape? pues lo mismo que antes, la suma vectorial de las componentes radial y perpendicular te da la velocidad instantánea de la órbita determinas el modulo y dirección de la velocidad que necesitas aportar haciendo que el modulo de la resultante necesariamente sea la velocidad de escape en la posición radiar R de ese instante.

quiza te sirva pasarte por este blog

https://forum.lawebdefisica.com/blogs/alriga/316768-

[noadarriba]

Gracias Richard por tu tiempo y trabajo.

Pero antes de nada, el $\geq 0$ en esto que sigue ¿es una errata verdad?

El potencial de una orbita elíptica es

$\dfrac{v^2}{2}-{\dfrac{GM}{r}}=-\dfrac{GM}{2a}\geq 0$

Debería ser:

$\dfrac{v^2}{2}-{\dfrac{GM}{r}}=-\dfrac{GM}{2a}\leq 0$ ¿No es?

Y ahora me pongo a estudiar tu aportación.

Un saludo

[Richard R Richard]

oops perdon

$<br /> \dfrac{v^2}{2}-{\dfrac{GM}{r}}=-\dfrac{GM}{2a}\leq 0$

eso quise poner . gracias

[noadarriba]

Hola de nuevo Richard
Hola a todas y a todos

luego se puede desdoblar esa ecuación tomando en cuanta que v se puede descomponer en dos velocidades una radial (direccion que une el satélite y el CM del astro) y una perpendicular a la anterior ....

$\dfrac{L^2}{2r^2}+\dfrac{v_r^2}{2}-{\dfrac{GM}{r}}=-\dfrac{GM}{2a}\leq 0$

esta ultima cuando está en lugares como el apoastro o el periastro sabemos que hay velocidad radial nula haciendo cierto que $\omega r= \dfrac{L}{r}$ porque sabemos que el momento angular de la orbita L se conserva

Aquí no entiendo muy bien este paso de $\omega r= \dfrac{L}{r}$. Si se está aplicando la conservación del momento angular al periastro y al apoastro, no debería de ser?:

$\omega_p.r_p= \dfrac{L}{r_p}$?

y $\omega_a.r_a= \dfrac{L}{r_a}$?

$\dfrac{L^2}{2r^2}+\dfrac{v_r^2}{2}-{\dfrac{GM}{r}}=-\dfrac{GM}{2a}\leq 0$

luego viendo que el potencial efectivo mas la energía cinética de la componente radial el la energía mecánica de la órbita, ves alli como puedes separar componentes para incorporar ese potencial V(r) y tener claro cuanto vale B y cuanto C

Aquí lo que me quieres decir es que el potencial efectivo que he tomado de un hilo del foro viene dado por la siguiente expresión?

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Entiendo.

Entiendo, pero veo raro que este potencial esté solo relacionado con la componente radial de la energía cinética? Porque entonces....?

Un saludo y, de nuevo, gracias

(Y una pregunta, Richard:
¿No es posible borrar mensajes?
Porque este hilo quedaría ahora más entendible si yo borro el mensaje #3 y tú borras el #4...)
....Y finalmente borramos también este párrafo en rojo

[Richard R Richard]

Aquí no entiendo muy bien este paso de $\omega r= \dfrac{L}{r}$. Si se está aplicando la conservación del momento angular al periastro y al apoastro, no debería de ser?:

$\omega_p.r_p= \dfrac{L}{r_p}$

y \$\omega_a.r_a= \dfrac{L}{r_a}$

la conservación del momento angular se da en todo momento, por eso es parte del potencial de la órbita, lo que varia entonces a cada instante es la velocidad radial , que varia justo lo necesario para que sumada al potencial, se conserve la energía mecánica, esa energia mecanica que es exactamente el potencial en el punto mas alejado de la órbita o el mas próximo donde la velocidad radial es nula, y puedes tener así una relación entre los parametros de la orbita y el modulo la velocidad en funcion del radio , pues la componente perpendicular la sacas con el radio y el momento angular , y la componente radial con el dato la energía mecánica...

Aquí lo que me quieres decir es que el potencial efectivo que he tomado de un hilo del foro viene dado por la siguiente expresión?

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Entiendo.

correcto

Entiendo pero veo raro que este potencial esté solo relacionado con la componente radial de la energía cinética? Porque entonces....?

Un saludo y, de nuevo, gracias

lo acabo de exponer , el potencial efectivo sumado la energía cinetica correspondiente solo a la velocidad radial te da la energía mecánica de la órbita que es una constante(menor que 0) para órbitas elípticas y circulares.... esa constante es 0 cuando quieres averiguar la velocidad de escape.

[noadarriba]

Hola a todas y todos

lo acabo de exponer , el potencial efectivo sumado la energía cinetica correspondiente solo a la velocidad radial te da la energía mecánica de la órbita que es una constante(menor que 0) para órbitas elípticas y circulares.... esa constante es 0 cuando quieres averiguar la velocidad de escape.

Ahora entiendo.
Igualando a cero calculo la componente radial de la velocidad de escape en función de r?
Con la conservación del momento angular calculo la componente transversal de la velocidad de escape?
Y con estas dos componentes ya puedo calcular la velocidad de escape?

Gracias Richard

(Y vuelvo a preguntar, Richard:
¿No es posible borrar mensajes?
Porque este hilo quedaría ahora más entendible si yo borro el mensaje #3 y tú borras el #4...)
....Y finalmente borramos también este párrafo en rojo

[Richard R Richard]

Igualando a cero calculo la componente radial de la velocidad de escape en función de r?

Claro, igualar a 0 implica,que se compense el potencial efectivo negativo.... recuerda que es lo mismo que pensar que el satélite llegue al infinito con el módulo de la velocidad nulo.

Con la conservación del momento angular calculo la componente transversal de la velocidad de escape?

exacto, si aplicas impulso en dirección radial , el momento angular se conserva, pero si no , parte de este impulso en dirección perpendicular ,cambia el momento angular, y ello te permite calcular parámetros de la nueva órbita, pues a través del potencial puedes calcular el semieje mayor.

Y con estas dos componentes ya puedo calcular la velocidad de escape?

lo difícil es calcular la velocidad del salto v* en funcion de la direccion y no tanto el módulo de la velocidad de escape que es mucho más sencillo de calcular siempre, solo haces

$\dfrac{v^2}{2}-{\dfrac{GM}{R}}=0$ que te da siempre el mismo valor

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] para esa posición radial

pero en la práctica es algo más complicado

como dije en otro hilo estos días, acelerar para cambiar la velocidad orbital a la de escape, requiere elegir en qué momento realizar la aceleración, para gastar el mínimo combustible , el máximo cambio de radio de órbita y apuntando la dirección y momento preciso para que por allí circule el astro objetivo. Porqué? porque habrá momentos en que la velocidad del satélite dentro de su órbita , este más cercana a la velocidad de escape, en general en el periastro,(recuerda que en órbitas elípticas el modulo de la velocidad del satélite es variable, y no una constante como en las circulares), si se elige ese momento , el periastro, se usa menos combustible para llegar a la velocidad de escape.... entonces además la elección del momento en el cual acelerar (tener los motores prendidos) es necesario saber la posición del periastro de la última órbita y ésta será crucial para que el cambio de órbita coincida con la dirección deseada.....parece sencillo, pero instantes mas o menos ,al encender y lo mismo al apagar, provocan grandes cambios en la dirección, por ello se van corrigiendo las órbitas giro a giro, hasta que ocurra una alineación que permita que con los mayores errores posibles de cálculo de estos tiempos, se minimicen los errores para la trayectoria deseada.

A que viene esto a lo si acelero en la dirección tangencial de la órbita es mínimo el salto de velocidad. o más sencillo de calcular el salto que quedaría como una simple resta, nada de jugar con los módulos de los vectores....ademas me garantizo , minimo combustible, mínimo peso, mínimo tamaño , mínimo costo.... etc todo hay que tenerlo en cuenta.

[oscarmuinhos]

Hola
Muy interesante pregunta la de noadarriba.
Y muy interesante aportación la de Richard R Richard deduciendo ese potencial efectivo a partir de la conservación de la energía mecánica sin más que descomponer la velocidad en sus componentes radial y transversal (o coordenadas polares?).

Y yendo directamente a la pregunta de noadarriba, la conclusión a la que se llega aquí sobre la velocidad de escape me plantea un problema de ¿intuición física?....sobre el que necesitaré reflexionar más seriamente.

Intuitivamente diría que algo falla en todo este razonamiento..., mas no encuentro donde.

Me explico.
Si la forma de la trayectoria queda totalmente definida por las condiciones iniciales (y, así ha de ser, por la conservación del momento angular y la conservación de la energía?) y en las condiciones iniciales solo se necesita una posición y una velocidad para definir completamente la órbita del satélite, la velocidad de escape no podrá depender más que de esa posición inicial y esta posición inicial ha de ser una de las posiciones que el satélite alcance en su órbita elíptica. Es decir, intuitivamente, no me parece que la velocidad de escape desde una órbita elíptica dependa desde que posición de la órbita elíptica se calcule dicha velocidad de escape. (Recalco lo de INTUITIVAMENTE, porque no encuentro.....)

Sin embargo la conclusión a la que se llega aquí en este hilo, es que esta velocidad de escape depende de la posición del satélite en su órbita elíptica, pues depende solo de un R que va cambiando a lo largo de la órbita elíptica.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

¿Será que la órbita no queda completamente definida por la posición y velocidad iniciales?

Tendré que reflexionar con más detenimiento....

Gracias noadarriba, gracias Richard...por hacer que tenga que plantearme estas dudas.

[Richard R Richard]

deduciendo ese potencial efectivo a partir de la conservación de la energía mecánica sin más que descomponer la velocidad en sus componentes radial y transversal (o coordenadas polares?).
.

Hola Oscar, No es exactamente polares, $R,\theta$ o módulo ángulo sino la rotación cartesiana, con sus componentes en el plano, $v_{Rad}, v_{trasv}$

Si la forma de la trayectoria queda totalmente definida por las condiciones iniciales (y, así ha de ser, por la conservación del momento angular y la conservación de la energía?) y en las condiciones iniciales solo se necesita una posición y una velocidad para definir completamente la órbita del satélite,

pues sí, la trayectoria queda definida por las condiciones iniciales, posición radial, el ángulo inicial respecto al sistema de referencia, que puede ser cualquiera , el SR que escojas rotado como sea ,es preferible con ángulo inicial nulo,luego también hacen falta el modulo de la velocidad y su angulo

la velocidad de escape no podrá depender más que de esa posición inicial y esta posición inicial ha de ser una de las posiciones que el satélite alcance en su órbita elíptica.

correcto, R tomara todos los valores posibles y nunca excede los límites, el radio del periastro y apoastro.
A cualquiera de los radios, el satélite lleva una una velocidad orbital diferente, pero la de escape es la misma para cualquier radio.

Es decir, intuitivamente, no me parece que la velocidad de escape desde una órbita elíptica dependa desde que posición de la órbita elíptica se calcule dicha velocidad de escape. (Recalco lo de INTUITIVAMENTE, porque no encuentro.....)

Sin embargo la conclusión a la que se llega aquí en este hilo, es que esta velocidad de escape depende de la posición del satélite en su órbita elíptica, pues depende solo de un R que va cambiando a lo largo de la órbita elíptica.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ya te digo que creo que si.
Si el satélite en cualquier radio, toma la velocidad de escape para ese radio, pues escapa , hace una trayectoria parabólica ,no una elíptica y si la supera describirá una hiperbólica.

¿Será que la órbita no queda completamente definida por la posición y velocidad iniciales?

No eso no es así.

[oscarmuinhos]

Hola a todos y a todas
Hola Richard

Adelanto que no encuentro error en el razonamiento que conduce a que la velocidad de escape venga dada por

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y a que, por tanto, esta velocidad de escape dependa de la posición del satélite dentro de su órbita elíptica.

Lo malo es que tampoco encuentro contradicción en mi razonamiento intuitivo....Voy a tratar, pues, de explicar las razones de mi intuición física por ver si, explicándola, me pueden ayudar a ver donde es que falla esta mi "intuición".

Supongámonos que quiero poner en órbita un pequeño satélite alrededor de la Tierra. Imagino que los que se dedican a ello tienen ya perfectamente estudiado y experimentado sobre cual sea la mejor trayectoria al respecto. Independientemente de cual sea la mejor, supongamos que para poner a nuestro satélite en órbita se empieza elevándolo verticalmente hasta situarlo a una distancia $R_0$ del centro de la Tierra.

Una vez en esta posición (a una distancia $R_0$ del centro de la Tierra) se le comunica al satélite una velocidad v que, para simplificar, vamos a suponer perpendicular a la vertical. Evidentemente, para que el satélite quede ligado a la Tierra en una órbita circular o elíptica, la energía que en este instante inicial se le comunique al satélite (y que permanecerá constante en su posterior vagabundear alrededor de la Tierra) ha de ser negativa.

O sea que el límite de velocidad que se le puede comunicar al satélite desde esa posición R₀ vendrá dado por:

$\dfrac{1}{2}m.v^2-\dfrac{GMm}{R_0}=0$

y, despejando la velocidad, se obtiene:

$v=\sqrt{\dfrac{2GM}{R_0}}=v_0$

Esta velocidad, como se ve, depende de un valor bien determinado de R que es el R₀ inicial que, además, va a ser el perigeo de su órbita.

Y aquí se encuentra mi problema.

Si para ponerlo en órbita la velocidad límite que se le puede comunicar al satélite depende de una posición R₀ bien determinada, ¿por que al estar el satélite en órbita dicha velocidad límite pasa a depender de un valor variable de R?

Y aún más.

Si el valor R₀ inicial se convierte en el perigeo de la órbita elíptica de este satélite (no me he parado a demostrarlo, pero parece que deba ser así) como puede ser que este satélite una vez en su órbita pueda ser sacado de ella con una velocidad límite inferior a la velocidad límite que teóricamente nos aseguraba que el satélite permanecería ligado a la Tierra?

Y muchas gracias a todos y a todas por ayudar a pensar

[Richard R Richard]

Esta velocidad, como se ve, depende de un valor bien determinado de R que es el R₀ inicial que, además, va a ser el perigeo de su órbita.[/INDENT]

Todo de acuerdo hasta aquí salvo esta ultima frase, al parecer estas suponiendo que solo aplicas estos conceptos cuando el satélite esta girando en una órbita circular. En ese caso si Ro se convierte en el perigeo, pero si la órbita es elíptica existen también componentes de velocidad radial que hay que componerlas para llegar al nuevo modulo, y por lo tanto no será exactamente el perigeo, solo lo será, si previamente estabas en el perigeo.

Y aquí se encuentra mi problema.

Si para ponerlo en órbita la velocidad límite que se le puede comunicar al satélite depende de una posición R₀ bien determinada, ¿por que al estar el satélite en órbita dicha velocidad límite pasa a depender de un valor variable de R?

Pues porque al transcurrir el tiempo la gravedad hace lo suyo, e inclina la trayectoria hacia la tierra, tanto si fuera una elipse, una parábola o una hipérbola. la gravedad es una fuerza central, se conserva la energía mecánica, si aumentas el radio, debe disminuir la energía cinetica, la componente transversal de la velocidad, permitirá cumplir con la conservación del momento y el resto será velocidad radial. de allí parametrizando con que áreas iguales en tiempos iguale, puedes tener una relación entre $\theta$ y R para escribir la nueva ecuación de la trayectoria.

Si el valor R₀ inicial se convierte en el perigeo de la órbita elíptica de este satélite (no me he parado a demostrarlo, pero parece que deba ser así) como puede ser que este satélite una vez en su órbita pueda ser sacado de ella con una velocidad límite inferior a la velocidad límite que teóricamente nos aseguraba que el satélite permanecería ligado a la Tierra?

A ver si R0 se hace pequeño necesito una velocidad de escape cada vez mas grande...
si en una primera etapa aplicas un delta V menor que el necesario al de escape, y suponiendo que partes de una órbita circular para que el punto donde se aplico el cambio de velocidad sea el perigeo, sabemos que ese punto será el de máximo modulo de velocidad de la órbita, luego al ir pasando el tiempo y se describa parte del arco de la elipse el modulo de la velocidad del satélite disminuye por acción del la gravedad... como el radio ha crecido la velocidad de escape en ese nuevo radio será menor.
así que para sacarlo fuera dela órbita elíptica deberás de nuevo aportar un nuevo salto de velocidad...

Has los cálculos con el perigeo y el apogeo , así no te molesta la velocidad radial, y tienes una forma directa de calcular la velocidad perpendicular que justo sera la tangencial solo en esos dos puntos.

$v_aR_a=v_pR_p$

también sabes como calcular el semieje mayor en función del potencial efectivo, y con el semieje puedes calcular la excentricidad y puedes llegar a una función de $R(\theta)$ que describa la órbita.

si conviertes en energía cinetica justo en la cantidad de lo que falta a la energía mecánica de la órbita (la parte negativa), esa energía se compensan y la nueva energía mecánica queda nula, luego el satélite adquiere la velocidad de escape, que aplique el delta v en un perigeo o un apogeo, solo hace que no tengas velocidad radial al inicio del calculo, y que si ese salto se aplica en la dirección de la órbita entonces el salto mínimo en modulo.

Comprobaras que la energía cinetica que se tiene que aplicar en la órbita circular para tener velocidad de escape en R0 es igual, a la suma de las energía cinéticas del primer salto que te lleve a un determinado R, mas la del segundo salto que te lleve a escapar cuya velocidad de escape es función de R.
Es decir la energía mecánica se conserva lo que cambia la energía cinetica para llegar al escape en R, es lo que ha cambiado el potencial gravitatorio de R0 a R.

[Richard R Richard]

Me quedan por el camino de esta discusión algunas cosas que entender como son esas coordenadas transversal y radial que a mí me parecen coordenadas polares. Pero tendré que repasar algo de lo que he aprendido en su día sobre coordenadas curvilíneas polares y cilíndricas.

Aver si te aclaro u oscurezco, quizá hace mucho utilice la definición de las coordenadas polares pero yo creo transformar un vector a polares es convertirlo de

$(v_x, v_y)$a $(|v|,\theta)$ sabiendo que $|v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ y $\theta=arctan\dfrac{v_y}{v_x}$

lo que yo uso es una rotación del plano cartesiano solamente en el angulo $\alpha$ definido por la posición $\alpha=arctan\dfrac{y}{x}$ que no es el mismo ángulo r, luego la velocidad se expresa como

$(v_r,v_t)$donde $v_r=|V|\sin (\theta+\alpha)$ y $v_t=|V|\sin (\theta+\alpha)$ donde puede comprobar que el modulo de la velocidad sigue siendo $|v|$

cuando la órbita es circular $v_r=0$ y $\alpha =0$ pero en órbitas elípticas , $\alpha$ varía a lo largo de la trayectoria.

Por eso veo que no son exactamente polares, pero bueno quizá tenga un poco oxidado en la memoria ese asunto.

Solo puntualizar algo sobre mi apreciación de que, en las condiciones iniciales que he señalado, R₀ tiene que ser necesariamente el perigeo. En este sentido, (estoy seguro que me has leído o entendido mal), no puedo estar de acuerdo en que dicho punto R₀ no se convierta en el perigeo de la órbita:

No se en realidad en que punto te he dado a entender lo contrario, pero pongamoslo una vez mas en claro....

supongamos saltos de velocidad siempre tangenciales al vector velocidad actual es decir tangencial a la órbita....

• en una órbita circular de velocidad $v_0$ aplico un salto de velocidad $v*$ cuya resultante sea menor que la velocidad de escape $v_0+v*<V_e$, esto resulta en una trayectoria elíptica donde el punto de aplicación del salto se convierte en el perigeo.
• en una órbita circular aplico un salto de velocidad cuya resultante es la velocidad de escape$v_0+v*=V_e$, esto resulta en una trayectoria parabólica donde el punto de aplicación del salto se convierte en el vértice de la parábola.
• en una órbita circular aplico un salto de velocidad cuya resultante es la velocidad de escape$v_0+v*>V_e$, esto resulta en una trayectoria hiperbólica donde el punto de aplicación del salto se convierte en el vértice de la hipérbola.
• en una órbita elíptica de velocidad $v_p$ en el periastro aplico un salto de velocidad $v*$ cuya resultante sea menor que la velocidad de escape $v_p+v*<V_e$, esto resulta en una trayectoria elíptica donde el punto de aplicación del salto sigue siendo el perigeo.(ojo solo si el sentido de $v*$ es el mismo que el de $v_0$ , sino caes en tres posibilidades como explico más adelante.)
• en una órbita elíptica de velocidad $v_a$ en el apoastro aplico un salto de velocidad $v*$ cuya resultante $V_{orb}$ sea menor que la velocidad de escape $v_a+v*=V_{orb}<V_e$, esto resulta en una trayectoria con tres casos posibles
  • si $V_{orb}=\sqrt{\dfrac{GM}{r_a}}$ entonces obtienes una trayectoria circular
  • si $V_{orb}<\sqrt{\dfrac{GM}{r_a}}$ entonces obtienes una trayectoria elíptica donde el punto de aplicación del salto sigue siendo el apoastro
  • y si $V_{orb}>\sqrt{\dfrac{GM}{r_a}}$ entonces obtienes una trayectoria elíptica donde el punto de aplicación del salto se convierte en el periastro.
• luego en una órbita elíptica de velocidad $v$ en cualquier punto de la trayectoria aplico un salto de velocidad $v*$ cuya resultante $V_{orb}$ sea menor que la velocidad de escape $v_a+v*=V_{orb}<V_e$, esto resulta también en una trayectoria con los mismo tres casos posibles solo que aquí $V_{orb}=\sqrt{(v_r+v*\sin\gamma)^2+(v_t+v*\cos\gamma)^2}$ donde gamma es el angulo entre la tangente de la trayectoria y la dirección de la aplicación de la velocidad salto .Si esa velocidad la descomponemos en dirección radial y trasversal $V_{orb}=\sqrt{(v_r+v*_r)^2+(v_t+v*_t)^2}$ de esta forma es mas difícil calcular cuanto debe ser el salto para lograr una órbita circular, pero bien es posible
• en una órbita elíptica de velocidad $v$ en cualquier punto de la trayectoria aplico un salto de velocidad $v*$ cuya resultante $V_{orb}$ sea mayor que la velocidad de escape , esto resulta también en una trayectoria parabólica, se puede ver que el lugar de aplicación no puede ser el vértice de la hipérbola.
• en una órbita elíptica de velocidad $v$ en cualquier punto de la trayectoria aplico un salto de velocidad $v*$ cuya resultante $V_{orb}$ sea igual que la velocidad de escape , esto resulta también en una trayectoria parabólica, se puede ver que el lugar de aplicación no puede ser el vértice de la parábola.

Yo me estaba refiriendo a unas condiciones iniciales muy concretas con la velocidad inicial perpendicular al vector de posición del satélite. Y con esa velocidad, sin componente radial, R0 no puede ser otro que el perigeo. Razones:

- este punto ha de pertenecer necesariamente a la órbita del satélite;
- con la velocidad perpendicular al radio vector, dicho punto no puede ser otros que el perigeo o el apogeo;
- y de estos dos, si vamos a la ecuación de la elipse en polares, está claro que R0 no puede ser otro que el perigeo

$r_p=\dfrac{a(1-e^2)}{1+e.cos0}=\dfrac{a(1-e^2)}{1+e}$

$r_a=\dfrac{a(1-e^2)}{1+ecos\pi}=\dfrac{a(1-e^2)}{1-e}$

Un saludo y gracias

Si, si, en eso estoy de acuerdo, ya lo expuse varias veces, no hallo la frase donde escribí lo contrario...

también puedes escribir

$r_p=\dfrac{a(1-e^2)}{1+e.cos0}=\dfrac{a(1-e^2)}{1+e}=\dfrac{a(1-e)(1+e)}{1+e}=a(1-e)$

$r_a=\dfrac{a(1-e^2)}{1+ecos\pi}=\dfrac{a(1-e^2)}{1-e}=\dfrac{a(1-e)(1+e)}{1-e}=a(1+e)$