Otras carreras Problema Newtoniano.

[Wimet]

Tengo dudas con un problema que dice así: Una partícula que se mueve sobre una línea recta a una velocidad v₀ = 16 m/s entra en una región el la que se ejerce una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad pero de sentido opuesto a esta. Si la partícula tarda 2 s en reducir su velocidad a la mitad, ¿qué tiempo tardaría en reducirla a la octava parte?.

Nota: Es un MRUA y sería fácil solucionar el problema, pero la única ley que nos es permitido usar es la segunda ley de Newton F=ma (supongo que habrá que llegar a alguna expresión referida al MRUA a partir de la segunda ley de Newton).

[The Higgs Particle]

Re: Problema Newtoniano.

- Con la segunda Ley de Newton:

$F = m \cdot a = \frac{\Delta p}{\Delta t} = m \cdot \frac{\Delta v}{\Delta t}$

Por ello: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

En este caso: $a = \frac{v_0/2 - v_0}{2} = - \frac{v_0}{4}$

Entonces: $\Delta v = a \cdot \Delta t \to \frac{v_0}{8} - v_0 = (- \frac{v_0}{4}) \cdot t$

Pudiendo concluir: $v_0 - 8 v_0 = -2 v_0 \cdot t \to \boxed{t = 3.5 (s)}$



- Con fórmulas del MRUA (Comprobación):

$v = v_0 + a t \to 8 = 16 + 2a \to a = -4 (m/s^2)$

Entonces: $v_2 = v_0 + a \cdot t_2 \to 2 = 16 -4 \cdot t \to \boxed{t = 3.5 (s)}$

[felmon38]

Re: Problema Newtoniano.

Wimet, la aceleración no es constante. Pon la aceleración como derivada de v e integra.
Saludos

[Alriga]

Re: Problema Newtoniano.

$F=-k v$

$F=m \dfrac{dv}{dt}$ Fuerza igual a masa por aceleración

$-\dfrac m k \dfrac{dv}{v}=dt$ Ahora, integrando:

$-\dfrac m k \ln v=t+c$ Donde "c" es la constante de integración

$ln(v)=-\dfrac k m (t+c)$

(1) $\ln 16=-\dfrac k m c$ Condición inicial t = 0

(2) $\ln 8=-\dfrac k m (2+c)$ Condición t = 2 s

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, que son "c" y "k/m" Resolviéndolo.

$\ln v=-\dfrac{\ln 2}{2} (t-\dfrac{2 \ln 16}{\ln 2})$

Si en esta expresión sustituyes ahora v=16/8=2 y despejas "t" obtienes la solución.
Saludos.

[Wimet]

Re: Problema Newtoniano.

$F=-k v$

$F=m \dfrac{dv}{dt}$

$-\dfrac m k \dfrac{dv}{v}=dt$

$-\dfrac m k \ln v=t+c$

$ln(v)=-\dfrac k m (t-c)$

$\ln 16=-\dfrac k m c$

$\ln 8=-\dfrac k m (2+c)$

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, "c" y "k/m" Resolviéndolo.

$\ln v=-\dfrac{\ln 2}{2} (t-\dfrac{2 \ln 16}{\ln 2})$

Si en esta expresión sustituyes ahora v=16/8=2 y despejas t obtienes la solución.
Saludos.

Esto me parece lo que andaba buscando, siendo nuevo en esto te pregunto: No sé cómo haces el paso de $-\dfrac m k \dfrac{dv}{v}=dt$ -----> $-\dfrac m k \ln v=t+c$. Ni porqué en este $-\dfrac m k \ln v=t+c$ usas $t+c$ y en el siguiente varía con un menos.

Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Problema Newtoniano.

Esto me parece lo que andaba buscando, siendo nuevo en esto te pregunto: No sé cómo haces el paso de $-\dfrac m k \dfrac{dv}{v}=dt$ -----> $-\dfrac m k \ln v=t+c$. Ni porqué en este $-\dfrac m k \ln v=t+c$ usas $t+c$ y en el siguiente varía con un menos.

Se hace así:

$-\dfrac m k \dfrac{dv}{v}=dt$

$-\dfrac m k \dst\int\dfrac{dv}{v}=\dst\int dt$

$-\dfrac m k \ln v=t+c$

Lo único que ha hecho es integrar en ambos miembros de la igualdad. Abstrayéndonos del problema, la integral de $1/x$ respecto $x$ es $\ln x$ y la integral de $1$ respecto a $x$ es $x+c$ donde $c$ es una constante. En realidad la constante sale en ambas integrales, pero las agrupamos en una por comodidad.

Espero haberte ayudado.

[Alriga]

Re: Problema Newtoniano.

He hecho mi comentario #4 con muchas prisas porque mi mujer me reclamaba y tenía que salir pitando, por eso no he sido muy extenso en los detalles.
Weip siempre atento, gracias ha contestado adecuadamente a tu pregunta.

Supongo que habrás podido acabar el ejercicio:

$\ln \dfrac{16}{8}=-\dfrac{\ln 2}{2} \cdot (t-\dfrac {2 \cdot \ln 16}{\ln 2})$

$t= \dfrac{2 \cdot \ln 16}{\ln 2}= 6\ s$

Saludos.

[Wimet]

Re: Problema Newtoniano.

Sí! Solo que tengo que pegarle un buen repaso a las propiedades de los logaritmos, gracias!

Un saludo.