Divulgación Calculo del momento de inercia de un cono

[inakigarber]

Buenas noches;
Planteo el siguiente problema cuyo resultado, para variar, no me coincide.
"Utilizar el cálculo integral para determinar el momento de inercia de un cono sólido homogéneo circular recto de altura H, radio R y densidad $\sigma$ respecto a su eje de simetría."
La solución da

$$I=\frac{3MR^2}{10}$$

A mi no me coincide, o sea que tal vez me equivoque. Parto de lo siguiente;

$$I=\int{R^2dm}$$

$$M_c=\frac{\sigma \pi H R^2}{3}$$

Podemos relacionar R y H de esta manera $H=\frac{R}{Tg\phi}$ de lo cual sustituyendo;

$$M_c=\frac{\sigma \pi R^3}{3 Tg\phi}$$

$$dm=\frac{ \sigma \pi R^2}{ Tg\phi} dr$$

Sustituyo el valor obtenido en (1)

$$I=\int \frac{\sigma \pi R^4}{Tg\phi}dr$$

Integrando me sale;

$$I= \frac{\sigma \pi R^5}{5 Tg\phi}$$

Como sabemos que $Tg\phi=\frac{R}{H}$ sustituyendo obtengo;

$$I=\frac{\sigma \pi H R^4 H}{5}$$

Sustituyendo la masa de cono obtenida en (2) me sale;

$$I=\frac{3MR^2}{5}$$

Que no me cuadra con el resultado del libro. ¿Dónde me equivoco?
Saludos y gracias.

[felmon38]

Re: Calculo del momento de inercia de un cono

Creo que está mal la primera ecuación que pones, deberías poner x en vez de R, siendo x la distancia de un punto arbitrario en el interior del cono a su eje (la infegral es triple)
Saludos

[visitante20160513]

Re: Calculo del momento de inercia de un cono

No realizas correctamente el cálculo y tu error se encuentra al definir el elemento diferencial de masa. Veamos, dicho elemento sería:

$dm=\sigma dV$

Ahora bien, el elemento de volumen del cono usando coordenadas cilíndricas vale:

$dV=\rho d\rho d\varphi dz\qquad\to\qquad dm=\sigma\rho d\rho d\varphi dz$

y ahora el problema estriba en calcular la integral:

$I=\displaystyle\iiint r^2dm=\sigma\iiint r^2\rho d\rho d\varphi dz=\sigma\iiint (\rho^2+z^2)\rho d\rho d\varphi dz$

que no es lo mismo.

Salu2, Jabato.

[Alriga]

Re: Calculo del momento de inercia de un cono

Sumas momentos de inercia de discos diferenciales.
El momento de inercia de un disco es:

$I=\dfrac 1 2 M \ R^2$

Luego lo que tienes que integrar es:

$\dst dI=\dfrac 1 2 r^2 dm$

De ahí sale el $\dfrac 1 2$ que te falta, el resto que has hecho lo veo bien.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Calculo del momento de inercia de un cono

el elemento diferencial de masa de un anillo de radio r es

$\dd m= \rho\: r \:\dd \phi \:\dd r \:\dd x$


luego

si tomamos el con por su vertice como origen el radio en funcion de la altura será

$r(x)=\dfrac{xR}{H}<br />$

$I=\dst \int_0^H \int_0^{\frac{xR}{H}} \int_0^{2\pi} r^2 \rho\: r \:\dd \phi \:\dd r \:\dd x=$

$I =\rho \dst \int_0^H \int_0^{\frac{xR}{H}} \int_0^{2\pi} r^3 \dd \phi \:\dd r \:\dd x=$

$I =2\pi\rho \dst \int_0^H \int_0^{\frac{xR}{H}} r^3 \dd r \:\dd x=$

$I =2\pi\rho \dst \int_0^H \frac 14 r^4|_0^{\frac{xR}{H}} \dd x= \dfrac{\pi\rho R^4}{2H^4} \dst \int_0^H x^4 \dd x$

$$I=\dfrac{\pi\rho R^4}{2H^4} \frac 15 H^5= \dfrac {\pi R^4 \rho H}{10}$$

como la densidad es

$$\rho=\dfrac MV=\dfrac {3M}{\pi R^2H}$$

reemplazando el valor de 2 en 1

$$I=\dfrac {\pi R^4 \dfrac {3M}{\pi R^2H} H}{10}= \dfrac {3}{10}MR^2$$

Saludos $\mathbb R^3$

[inakigarber]

Re: Calculo del momento de inercia de un cono

Gracias;
Creo que lo he entendido bien, al menos de momento. En este caso se trata de una figura de revolución y una figura de revolución se puede considerar como una superposición de discos rodantes de masa dm. Entonces tengo;

$$dI=\frac{R^2 dm}{2}$$

$$M_c=\frac{\sigma\pi R^2 H} {3}$$

Como $H=R Tg(\phi)$ entonces tenemos;

$$M_c=\frac{\sigma\pi R^3 Tg(\phi)} {3}$$

$$dm=\sigma\pi Tg\sigma R^2 dr$$

Sustituyendo en (1)

$$dI=\sigma\frac{\pi Tg(\phi) R^4}{2}dr$$

Integrando;

$$I={\frac{\sigma\pi Tg(\phi) R^5}{10}}$$

Como$Tg(\phi)=\frac{H}{R}$ sustituyendo,

$$I={\frac{\sigma\pi R^4 H}{10}}$$

Sustituyendo el valor de M obtenido en (2)
Momento de inercia;

$$\boxed {I=\frac{3MR^2}{10}}$$

[carmelo]

Re: Calculo del momento de inercia de un cono

Hola.
Veo algo confusa tu solución. Te mando un camino posible.


Saludos
Carmelo