Calcular velocidad inicial de un cuerpo arrojado por un plano inclinado y curvo

[Like Tony Stark]

Un objeto de masa m se lanza desde a lo largo de un plano inclinado con velocidad V0, para luego ingresar en un tramo curvo, donde al pasar por el vértice B, a 1,20 m del punto de lanzamiento, la fuerza de contacto con la superficie de apoyo se reduce a la mitad del valor que tenía antes de hacerlo. S el punto B, es un punto de la trayectoria donde el tramo recto se empalma con el tramo curvo y el coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y la superficie inclinada es de 0,3, determinar la velocidad con la que fue lanzado el cuerpo.


Bueno, les comento lo que hice para poder plantearles mi duda.
Primero planteé las ecuaciones de Newton. Para el eje X, paralelo al plano inclinado, tengo
X) Fr+Px=m.ax
Donde Fr es la fuerza de fricción y Px la componente horizontal del peso.
Desarrollando eso tenemos
X) 0.3 mg.cos(30°)+mg.sin(30°)=m.ax
7.54 m/s^2 =ax

Luego, en el eje Y tenemos
Y) N-Py=m.ay
N-mg.cos(30°)=0
N=8.66 m

Donde m es la masa ya que no es especificada.

Luego, como el problema dice que la fuerza normal se reduce a la mitad, tenemos en el tramo curvo Nc=4.33 m

Pero ahora con estos datos obtenidos no sé qué puedo hacer para calcular la velocidad inicial.

[Al2000]

Bueno, es un problema medio loco, con ese empalme discontinuo entre la rampa y la superficie curva. Supongo que el autor desea que hagas el análisis dinámico en el punto B y digas que la fuerza centrípeta es igual al peso menos la normal, relacionando luego con la normal que el cuerpo tenía en la rampa. Eso eliminaría la masa de la ecuación. La velocidad inicial la puedes relacionar con la velocidad final mediante cinemática, previo cálculo de la aceleración en la rampa.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Hola a tod@s.

El enunciado es algo equívoco: primero dice que el punto B es el “vértice” (sic) de lo que parece una circunferencia en el croquis, para, a continuación, indicar que es el punto de empalme entre el tramo recto y el curvo. Yo, lo que interpreto es que el punto más alto de la circunferencia es el B. Pero el punto de unión entre el plano inclinado y la circunferencia (le llamo B’) es el punto de contacto entre el plano inclinado tangente a la circunferencia, que estaría a la derecha de B en el croquis (30º a la derecha, en la circunferencia). De esta manera no habría discontinuidad en el recorrido.

1) Siguiendo los pasos indicados por Al2000, la velocidad en B:

$N_B+F_c-mg=0$,

$N_B=mg-F_c$,

$\dfrac{mg\cos30º}{2}=mg-\dfrac{mv_B^2}{R}$. Despejando y substituyendo valores,

$v_B=2,58 \ m/s$.

2) Hallamos la velocidad en B’ (unión entre el plano inclinado y la circunferencia), aplicando la conservación de la energía entre B’ y B, y considerando que no hay rozamiento en el tramo curvo:

$\dfrac{1}{2}mv_B’^2=\dfrac{1}{2}mv_B^2+mgh$, siendo $h=R(1-\cos30º)$.

$v_B’=\sqrt{v_B^2+2gR(1-\cos30º)}=3,13 \ m/s$.

3) La distancia entre B y B’ es el arco $s=\theta R=\dfrac{\pi}{6}R$. La distancia entre el inicio del recorrido y B’, es $d-s=R-s=R-\dfrac{\pi}{6}R=\left(1-\dfrac{\pi}{6}\right)R$. Aplicamos la conservación de la energía entre el inicio y B’, siendo $h=(R-s)\sin30º$:

$\dfrac{1}{2}mv_0^2-\mu mg\cos30º(R-s)= \dfrac{1}{2}mv_B'^2+mg(R-s)\sin30º$.

$v_0=4,28 \ m/s$.

Repasaré los cálculos.

Saludos cordiales,
JCB.