Demostración de que cualquier fuerza radial o central es conservativa utilizando la fórmula de trabajo realizado entre dos puntos

[Like Tony Stark]

Hola!
Todas las demostraciones que encuentro de que cualquier fuerza radial o central es una fuerza conservativa se basan en el teorema de Stokes o en la misma definición de que una fuerza conservativa es igual al gradiente negativo de la energía potencial.
Pero me gustaría que alguien me dé una demostración de que cualquier fuerza radial es conservativa partiendo de la fórmula de trabajo para una fuerza cualquiera. Es decir, comienzo con que el trabajo realizado por una fuerza desde un punto A a un punto B es igual a la integral entre A y B de la fuerza por el producto escalar del diferencial. Pero luego? Cómo lo sigo? Es decir, supongamos que yo desconozco que una fuerza radial es conservativa, y la trato como si fuera cualquier otra fuerza, cómo me daría cuenta de que es conservativa partiendo de la fórmula que les menciono.

Gracias!

[Al2000]

Elijes una trayectoria de integración que vaya desde A hasta B siguiendo un camino que sea en parte radial y en parte transversal. Obtienes que el trabajo solo depende de la diferencia de posición radial. Elijes otra trayectoria cualquiera conformada de nuevo por segmentos radiales y arcos transversales entre A y B. Evalúas la integral y de nievo obtienes que el trabajo depende solamente de la distancia radial. Pronto te das cuenta que lo que haces se repetirá para cualquier trayectoria entre A y B y entonces gritas ¡Eureka!...

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[teclado]

Hola,

Este cálculo es algo que todo el mundo tiene que hacer alguna vez en la vida para no tener que repetirlo xD.

Una fuerza F es central cuando tiene la forma siguiente:

$\dst \vec{F} = F(r)\hat{u_r}$

Donde u_r es el vector unitario radial. En este caso el trabajo realizado por ella al recorrer una curva C es, por definición:

$$\dst W = \int_C\vec{F}(r)\vec{dr} = \int_C F(r)\hat{u_r}\vec{dr}$$

El producto escalar u_rdr, es el siguiente:

$$\dst \hat{u_r}\vec{dr} = \frac{\vec{r}\vec{dr}}{r} = \frac{xdx+ydy+zdz}{r}$$

Ahora bien, pasando esto a coordenadas esféricas:

$x = r\sin\theta\cos\phi$
$y = r\sin\theta\sin\phi$
$z = r\cos\theta$

Se tiene

$dx = \sin\theta\cos\phi dr + r\cos\theta\cos\phi d\theta - r\sin\theta\sin\phi d\phi$
$dy = \sin\theta\sin\phi dr + r\cos\theta\sin\phi d\theta + r\sin\theta\cos\phi d\phi$
$dz = \cos\theta dr - r\sin\theta d\theta$

Haciendo una primera simplificación para verlo mejor,

$\dst dx = \frac{x}{r} dr + r\cos\theta\cos\phi d\theta - y d\phi$
$\dst dy = \frac{y}{r} dr + r\cos\theta\sin\phi d\theta + x d\phi$
$\dst dz = \frac{z}{r} dr - r\sin\theta d\theta$

De modo que,

$\dst xdx = \frac{x^2}{r}dr + r\sin\theta\cos\theta\cos^2\phi d\theta - xyd\phi$
$\dst ydy = \frac{y^2}{r}dr + r\sin\theta\cos\theta\sin^2\phi d\theta + xyd\phi$
$\dst zdz = \frac{z^2}{r}dr - r\sin\theta\cos\theta d\theta$

Haciendo la suma, los terceros términos de las expansiones de xdx y ydy se cancelan, y la suma de los segundos de éstas se cancela con el segundo de zdz, de modo que queda lo siguiente:

$\dst xdx+ydy+zdz = \frac{x^2+y^2+z^2}{r}dr = rdr$

Volviendo atrás, de (2)

$\dst \hat{u_r}\vec{dr} = \frac{xdx+ydy+zdz}{r} = dr$

De modo que la integral (1) que da el trabajo realizado por una fuerza de este tipo queda:

$\dst W = \int_CF(r)dr$

Para obtener el trabajo realizado al recorrer la curva C, sólo hay que atender a la distancia al origen, quedando una integral de una variable común y corriente:

$\dst W = \int_{r_1}^{r_2} F(r)dr$

Si C es una curva cerrada, r₁=r₂, y se tendrá una integral sobre un dominio vacío, que es nula. Una de las definiciones equivalentes indica que cuando el trabajo realizado por la fuerza a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo, como en nuestro caso, dicha fuerza es conservativa.

Espero que lo hayas disfrutado tanto como yo xD.

Un saludo