Encontrar el potencial y la velocidad relativa a partir de la fuerza (molécula diatómica)

[jluis_martin]

Hola a todos.

Quería preguntaros por un problema que tengo que hacer y que la verdad es que no se muy bien cómo enfrentarme a él. El problema dice lo siguiente:

En cierta molécula diatómica formada por dos átomos de masas m₁ y m₂ la fuerza de interacción
se puede expresar como

:

$<br /> \overrightarrow{F}(r) = (\frac{2\alpha}{r^3} - \frac{\beta}{r^2})\overrightarrow{r}<br />$

siendo los parámetros 'alfa' y 'beta' constantes positivas.

i) Dar una expresión para el potencial de interacción.

ii) Si separamos los átomos una distancia $r = \alpha/\beta$ , calcular la velocidad relativa con la que
alcanza la posición de equilibrio.

En la primera pregunta he atacado el problema a partir de la relación entre la fuerza y el potencial:

$<br /> U(r) = -\int \overrightarrow{F}(r)·d\overrightarrow{r} = -\int (\frac{2\alpha}{r^3} - \frac{\beta}{r^2})\overrightarrow{r} ·d\overrightarrow{r} = \frac{2\alpha}{r} + \beta·ln(r)$


Sin embargo no estoy del todo convencido de haberlo hecho correctamente ya que $\lim \limits_{x \to \infty} U(r) = \infty$

Es posible que la expresión de la fuerza dada en el enunciado del ejercicio no se corresponda con la fuerza de interacción en una molécula diatómica en la naturaleza (es decir, que se lo hayan inventado), pero no estoy muy seguro. También he evaluado el hecho de que en la expresión de la fuerza dada, el vector del miembro de la derecha no fuese $\overrightarrow{r}$ sino $\hat r$, pero no puedo dar por supuesta esta opción. Me podríais decir algo al respecto por favor?

Luego llega la segunda parte, donde me vuelvo loco y no entiendo nada.
Lo primero que no entiendo es el propio concepto de "velocidad relativa", ya que hasta donde tengo entendido se utiliza este concepto para analizar la velocidad de un cuerpo visto desde el otro cuerpo, y esto no me cuadra con la forma en que se enuncia el ejercicio (a no ser que demos por hecho que la simetría del problema sea total y ésta sea el doble de la velocidad encontrada, lo que tampoco me cuadra porque las masas de los átomos son distintas).

Sin embargo, aún omitiendo la anterior duda, si decido atacar el problema para obtener una expresión de la velocidad (sin imponer aún las condiciiones iniciales), a partir del hecho de que:la velocidad

$<br /> v(t) = \frac{1}{m} \int \overrightarrow{F}(r)dt$


Obtengo que la velocidad depende del tiempo, lo cual me deja "completamente KO" a la hora de obtener la velocidad relativa con la que se alcanza la posición de equilibrio. Sinceramente y hablando desde la ignorancia, no le encuentro ni siquiera el sentido.

Alguna persona que entienda más y me pueda ayudar por favor??

Muchas gracias por adelantado!!

[Richard R Richard]

Hola jluis_martin Bienvenido al foro!!!! como nuevo miembro te será útil leer consejos para recibir ayuda de forma efectiva y Consejos de conducta

también te será útil leer Cómo introducir ecuaciones en los mensajes

$=<br /> U(r) = -\int \overrightarrow{F}(r)·d\overrightarrow{r} = -\int (\frac{2\alpha}{r^3} - \frac{\beta}{r^2})\overrightarrow{r} ·d\overrightarrow{r}=\frac{2\alpha}{r} + \beta·ln(r)$

Aquí ya veo un error

has querido decir

$<br /> U(r) =\dst -\int \overrightarrow{F}(r)·d\overrightarrow{r} = -\int (\frac{2\alpha}{r^3} - \frac{\beta}{r^2}) \dfrac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|}·d\overrightarrow{r} =+ \frac{\alpha}{r^2} -\frac{\beta}{r}$

por eso ya no te da ningun resultado

es correcto integrar ya que


$\mathbf{F}(\mathbf{r}) = - \mathbf{\nabla} U(\mathbf{r})$



$a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dr}\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{dv}{dr}v(t)$


$\dfrac{F}{m}dr=v(t)dv$


$\dst\int^{R_{eq}}_{\frac{\alpha}{\beta}}\dfrac{\frac{\alpha}{r^2} -\frac{\beta}{r}}{m} dr=\int_0^{V}v\,dv$


Para lo cual tienes que hallar el radio de equilibrio $(R_{eq})$ que es el radio para el cual $F=0$ que también es$R_{eq}=\dfrac{\alpha}{\beta}$ luego la conclusión es obvia, pero si quieres integra reemplaza y listo...

[jluis_martin]

Hola Richard.

Por lo que veo consideras que había un error en el enunciado y realmente se trata del vector unitario $\hat {r}$ y no de $\vec{r}$.
Con ese arreglo todo cuadra bastante mejor.

En cuanto a la segunda parte, mira que era sencillo pero no se me había ocurrido (no es el mejor contexto para decirlo, pero después de la guerra todos son generales).

¡Muchas gracias por tu ayuda!