Problema varilla sólido rígido

[Anonymous]

¿Alguien podría ayudarme a resolver este problema?

Una varilla delgada de masa M y longitud L tiene una bolita de masa m en cada uno de sus extremos. La varilla se mantiene horizontal mediante un eje sin rozamiento, perpendicular a ella y que pasa por su centro. En un instante dado, la bola de la derecha se cae, mientras que la de la izquierda permanece unida a la varilla por estar pegada a ella.

Se pide: a) La aceleración angular de la varilla justo despu´es de caerse la bola.
b) Cuando la varilla comience a girar, la aceleración angular, ¿permanecer´a constante?, ¿crecer´a?, ¿disminuir´a?. ¿Por qué?
c) Calcular la velocidad angular de la varilla justo cuando alcanza la posición vertical.

NOTA: El momento de inercia de una varilla delgada respecto de un eje perpendicular que pasa por su centro es I = ML2/12, siendo M la masa y L la longitud de la varilla

[Richard R Richard]

Hola Anonymous Bienvenido al foro!!!! como nuevo miembro te será útil leer consejos para recibir ayuda de forma efectiva y Consejos de conducta

también te será útil leer Cómo introducir ecuaciones en los mensajes



a) calcula el torque que crea la bola de masa m en uno de los extremos respecto del centro, e iguala al momento de inercia de la varilla mas la masa todo multiplicado por la aceleracion angular , luego despeja. Recuerda que el toque que crea la varilla por su centro es nulo ya que tiene la misma distribución de masa a ambos lados del centro

$mg\dfrac L2=$$\left[m\left (\dfrac L2 \right )^2+\dfrac 1{12}M L^2\right ]\alpha$

b) Decelera,hasta que cruza la vertical y luego acelera nuevamente en sentido contrario, porque el sistema es un péndulo de ángulos grandes,y como toro péndulo el máximo de aceleración lo tiene cuando el angulo con la vertical es máximo bien cuando el desplazamiento de la vertical es máximo.

c) cuando alcanza la vertical la aceleración es nula ya que $a=\dfrac{\partial^2x }{\partial t^2}=-x=0$

[Anonymous]

Muchísimas gracias por tu ayuda!!

[JCB]

Hola a tod@s.

Para poder relacionar tanto la aceleración angular (como la velocidad angular) con el ángulo girado, debemos expresar la ecuación fundamental de la Dinámica de rotación, en función del ángulo girado. Si consideramos un ángulo $\theta$, la componente del peso de la bola izquierda que provoca momento es $mg\cos\theta$.

$\sum{M_0}=I_0\alpha$,

$mg\cos\theta\dfrac{L}{2}= I_0\alpha$,

$\alpha=\dfrac{mgL\cos\theta}{2I_0}=k\cos\theta$, donde $k=\dfrac{mgL}{2I_0}=cte$.

Integrando con la condición de contorno que para $\theta=0$, $\omega=0$,

$\omega=\sqrt{2k\sin\theta}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Anonymous]

Muchísimas gracias!

[JCB]

Hola a tod@s.

La velocidad angular de la varilla cuando alcanza su posición vertical, también puede calcularse por el método energético:

$mgh=\dfrac{1}{2}I_0\omega^2$,

$mg\dfrac{L}{2}=\dfrac{1}{2}I_0\omega^2$,

$\omega=\sqrt{\dfrac{mgL}{I_0}}$, recordando que $k=\dfrac{mgL}{2I_0}$,

$\omega=\sqrt{2k}$.

Coincidiendo con el valor particular de la expresión general de $\omega$ (ver mensaje # 3), cuando $\sin\theta=\sin90^{\circ}=1$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Anonymous]

Uy, parece muchísimo más intuitivo así. Muchas gracias