1r ciclo Péndulo cónico con aceleración angular constante

[johnbear02]

Los datos son: Masa del esférico: 1 [kg]; Su velocidad angular: w(t) = 2t+2 [Hz]; y su radio de giro inicial: 0.5 [m]

Mi pregunta es la siguiente: He visto que entre más velocidad angular, más radio de giro tiene. Sin embargo en la deducción que vi del postulado anterior, se toma que el peso de la masa se iguala con la proyección de la Tensión de la cuerda (Eso significa que la sumatoria de fuerzas verticales es cero). Pero en este ejercicio la velocidad angular no es constante. Mi pregunta es: ¿De igual forma la suma de fuerzas verticales sigue siendo cero?

[Richard R Richard]

Hola johnbear02 ,tu apreciación aguda es precisa, si la velocidad angular aumenta el angulo $\theta$ se incrementa , por lo que la proyección de la posición del esférico sobre el eje de rotación cambia luego hay aceleración en el eje $z$, es decir $a_z\neq 0$

sea o no la velocidad angular constante habrá un equilibrio el plano $xy$

$T\sin\theta=m\omega^2r$

pero en el eje $z$

$mg-T\cos\theta =ma_z$

si la velocidad angular aumenta con tiempo, el angulo aumenta con el tiempo y la tensión aumenta con el tiempo,para llegar a $\theta =90\°$ la tensión debe ser infinita, la proyección la tension el eje $z$ de la tensión se hace cada vez mas igual al peso, sin alcanzarlo nunca , y la aceleración en el eje $z$ cada vez mas se aproxima a 0 sin llegar nunca a este valor. es decit tienes una indeterminacio $0\cdot \infty$ https://blogs.ua.es/matesfacil/calcu...-por-infinito/

en ese caso necesitas que

$\lim\limits_{t\to\infty}T\cos\theta =mg$

[johnbear02]

He vuelto!
Sinceramente fue de gran ayuda sus apreciaciones sin embargo, mi intención (o más bien el reto que se me planteó) es encontrar las ecuaciones de movimiento y la longitud de la cuerda, pero por lo que veo en mis garabatos algebraico, hace falta más información para llegar a un valor específico (Ej: $T=10[m]$) , es decir, depende de más variables más que solo el tiempo ($T=f(t,\theta)$)

[JCB]

Hola a tod@s.

Hace días planteé el equilibrio, suponiendo el caso sencillo de velocidad angular $\omega$ constante. Aunque no es lo que se pretende, lo transcribo (editado):

$\sum{F_x}=0$,

$-m\omega^2L\sin\theta+T\sin\theta=0$,

$$T=m\omega^2L$$

$\sum{F_y}=0$,

$-mg+T\cos\theta=0$,

$$T=\dfrac{mg}{\cos\theta}$$

Igualando (2) con (1),

$\cos\theta=\dfrac{g}{\omega^2L}$.

Y a este brete llegué (y del cual no he salido todavía), intentando hallar la repercusión que tiene una variación de $\omega$, sobre $\theta$. Después de la edición, parece que la expresión es más sencilla, por lo que seguiré en el intento.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

si en realidad no vi que uno era r y el otro L pero así como quedó creo esta bien

[Al2000]

Solo para puntualizar que decir que la suma de fuerzas en X es nula es, al menos conceptualmente, un error. Lo correcto (de nuevo, desde el punto de vista conceptual) es decir que

$$\sum F_x = m a_c$$

pues en la dirección radial no hay equilibrio estático. El desarrollo llevará luego a que

$$T \, \mathrm {sen} \, \theta = m a_c = m \omega ^2 L \, \mathrm {sen} \, \theta$$

llegando a la misma conclusión final pero sin introducir una fuerza inexistente para justificar un equilibrio inexistente.

[JCB]

Gracias, Al2000. Totalmente de acuerdo. En temas relacionados con las fuerzas de inercia (o ficticias), no es la primera vez que se me advierte sobre la falta de rigor, pero es un asunto en el que me cuesta un poco desenvolverme. Tendré que repasar los conceptos fundamentales.

[Richard R Richard]

, mi intención (o más bien el reto que se me planteó) es encontrar las ecuaciones de movimiento y la longitud de la cuerda,

Hola la longitud de la cuerda es constante, lo que no es constante es su dirección respecto a la vertical...

ya que JCB se anima también veremos si llegamos a esas ecuaciones,

bueno le veo utilidad a todo su planteo ,Parto de lo que ha hecho así usamos la misma notación. si ahora vemos que

$z=L\cos\theta<br />$

$\dfrac{dz}{dt}=-L\sin\theta \beta$

donde $\beta=\dfrac{d\theta}{dt}$ ojo no es igual a $\omega$ porque esa velocidad angular se da en el plano xy pero $\beta$ es la velocidad angular en el plano xz o yz

luego

$\dfrac{d^2z}{dt^2}=-L\cos\theta \beta^2=a_z$

pero cuanto vale $\beta$ pues sale de analizar el péndulo es $\beta=\sqrt{\dfrac{g}{L}}$

reemplazando la ecuación 1 de JCB en la segunda mia

$mg-m\omega^2L\cos\theta=-mL\beta^2\cos\theta=-mg\cos\theta<br />$
de donde

$\cos\theta _{(t)}=\dfrac{g}{\omega^2L-g}=\dfrac{g}{(2t+2)^2L-g}=$

Ojo con las unidades ya que (2t+2) tiene unidad $s^{-1}$


De donde para t=0

$4s^{-2}L-g\geq g$

$L\geq \dfrac{g}{2s^{-2}}$

[cejilla]

pero cuanto vale $\beta$ pues sale de analizar el péndulo es $\beta=\sqrt{\dfrac{g}{L}}$

Yo creo que eso no es válido. Sale así en el péndulo simple, pero ¿por qué ha de ser cierto para el péndulo esférico?

[Richard R Richard]

piensa el mimo problema para $\theta >0$ y $\omega=0$ como condiciones iniciales , que es lo que obtienes? como modifican esos dos paramentros a $\beta$ , para mi son independientes, acelera o no , haya equilibrio o no.

Se te ocurre a ti o a cualquiera algo mejor?

[cejilla]

De hecho, incluso en el caso del péndulo simple, eso sólo es cierto si $\theta << 1$ y por tanto $sin(\theta) = \theta$. En este caso eso no es así, $\theta$ va a tender a 90º.

[Richard R Richard]

Bueno, entiendo tu crítica, si $\theta \to \frac \pi2$ entonces si o si tendrías que resolver una ecuación diferencial bastante compleja que solo tendría soluciones numéricas pues no vas a hallar una primitiva sin cometer errores, y el peor error viene de considerar que es posible siempre aportar la potencia necesaria, para que omega sea siempre $2t+2.$ y en cuanto dejes de suponer la idealidad, te convendría encarar el problema como un ejercicio en equilibrio para un tiempo t definido, mayormente no tendrás grandes diferencias numéricas, puesto que el valor relativo de la velocidad vs aceleración se decrementa en el tiempo, ya que $\frac{d\omega}{dt}=\alpha =cte$ en cambio lo que influye la velocidad se incrementa en el tiempo. Dicho de otro modo para el problema pasa a ser más importante numéricamente la velocidad que el efecto de la aceleración constante.

y si prefieres hacer alguna simulación aproxima al periodo del péndulo por medio de un desarrollo de Taylor.

$T_{(t)}=T_{0}\left[\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\right)^{2}\sin^{2n}\left(\frac{\theta_{(t)}}{2}\right)\right]$

y utilizalo en cada momento para hallar $\beta_{(t)}=\dfrac{2\pi}{T_{(t)}}$ refinando el cálculo paso a paso con el incremento del tiempo.