Problema Sistemas de particulas

[MrHawk123]

Hola a todos, espero que todos los que lean esto esten bien.

Estoy teniendo un problema con un ejercicio de sistema de particulas, en particular para encontrar los vectores velocidad de las particulas, ya que encuentro algunas incongruencias.

Aqui va el problema.

Tres partículas de igual masa m, unidas por barras rígidas de largo L y masa despreciable, están obligadas a moverse sobre los ejes tal como lo muestra la figura 1. Si la partícula de la derecha tiene la velocidad V0(direccion i tongo), determine, en función del ángulo que forma la barra de la izquierda con el eje vertical:

a) la velocidad del centro de masas
b)el momento angular con respecto al centro de masas y respecto al origen

adjunto imagen.

lo que yo hago es expresar las posiciones.

particulas mas a la derecha es r1, la de en medio es r2 y la ultima r3.

$r1 = (L\sin(\Theta) + L)\hat{i}$


$r2 = L\sin(\Theta)\hat{i}[$

$r3 =-L\cos(\Theta)\hat{j}[$

Luego derivo para encontrar las velocidades

$v1 = L\dot\theta\cos(\Theta)\hat{i}[$

$v2 = L\dot\theta\cos(\Theta)\hat{i}[$

$v3 = L\dot\theta\sin(\Theta)\hat{j}[$

si la velocidad es constante como puede esta estar variando respecto al angulo.

Espero ansioso sus respuesta, toda ayuda sirve.

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Mi enfoque es algo diferente (espero no aportar confusión al tema).

Sea "$x$" la de posición de la partícula $2$, e "$y$" la posición de la partícula $3$. Las posiciones de estas dos partículas están vinculadas por la siguiente restricción

$x^2+y^2=L^2$,

$y=\sqrt{L^2-x^2}$. Derivando respecto del tiempo, obtengo

$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{-x}{\sqrt{L^2-x^2}}\dfrac{dx}{dt}$,

$v_3=\dfrac{-x}{\sqrt{L^2-x^2}}v_2$.

Entiendo que por la vinculación que hay entre las tres partículas

$v_1=v_2=v_0=cte\neq v_3$.

Nota: de todas maneras, para determinar lo que pide el enunciado, encuentro mucho más útil el enfoque vectorial que has hecho tú.

Saludos cordiales,
JCB.

[MrHawk123]

Muchas gracias por tu respuesta JCB, pero lo que me incomoda en mi enfoque es que v2 y v1 dependen del angulo, pero esas velocidades deberian ser constantes ciertos?

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Efectivamente, mi mensaje # 2 no es que haya aportado demasiada luz al asunto (por no decir ninguna).

Si ahora lo planteo según las velocidades relativas, llego a la misma conclusión que tú.

$\vec{v_3}=\vec{v_2}+\omega$ x $\vec{r_{3/2}}$,

$v_3\vec{j}=v_2\vec{i}-\omega L\cos\theta\vec{i}+\omega L\sin\theta\vec{j}$. Igualando componentes,

$v_3=\omega L\sin\theta$.

$0=v_2-\omega L\cos\theta \longrightarrow v_2=\omega L\cos\theta$.

La única explicación posible es que $\omega$ es variable, y depende de $\theta$.

Saludos cordiales,
JCB.

[MrHawk123]

Entonces podríamos despegar $w$ de la primera expresión y luego reemplazar obteniendo

$w = \frac{v0}{L \cos\Theta}<br />$

$v1 = v0\hat{i}$

$v2 = v0\hat{i}$

$v3 = v0 \tan\Theta \hat{j}$

y si luego uso la formula

$\vec{V}_{CM} = \frac{1}{M}(\vec{v_1}m_1 + \vec{v_2}m_2 + \vec{v_3}m_3)$

obtengo esto

$\vec{V}_{CM} = \frac{2}{3}v0\hat{i} + \frac{1}{3}v0 \tan\Theta\hat{j}$

¿estaría esto correcto?

Saludos

[JCB]

Diría que sí. No obstante, a ver si interviene alguien más, y tampoco sobraría hacer alguna comprobación con valores numéricos.

[MrHawk123]

El angulo lo definiría en el intervalo

$0 < \Theta < \frac{\pi}{2}$

Saludos

[JCB]

He comprobado en Excel valores del ángulo desde 0 hasta 90 grados y me da valores coherentes. Lo podrías probar.