Problemas de sistemas no inerciales

[MrHawk123]

Hola a todos, espero que esten bien.

Como la partícula esta girando alrededor del anillo, ¿debe existir una fuerza centripeta real cierto?.

En ese caso la sumatoria de fuerzas reales actuando sobre el cuerpo seria.

$\sum_{i} F_{i}^{(R)} = mgsen\theta\hat{\theta} + mgcos\theta\hat{r} - mw_\theta^2\hat{r}$

Luego determine el segundo termino $\ddot{\vec{R}}$ usando coordenadas esfericas.

$\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta^2} - r\dot{\phi}sin^2\theta)\hat{r} \: + \: (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} - r\dot{\phi}^2sin\theta cos\theta)\hat{\theta} + (r\ddot{\phi} sin\theta + 2\dot{r}\dot{\phi}sin\theta + 2r\dot{\phi}\dot{\theta}cos\theta)\hat{\phi}$

como $r$ es constante entonces $\dot{r}$ y $\ddot{r}$ son cero y como $\dot{\phi }$ es constante entonces $\ddot{\phi}$ es cero.

finalmente la expresion en esfericas queda.

$\vec{a} = ( - r\dot{\theta^2} - r\dot{\phi}sin^2\theta)\hat{r} \: + \: (r\ddot{\theta} - r\dot{\phi}^2sin\theta cos\theta)\hat{\theta} + ( 2r\dot{\phi}\dot{\theta}cos\theta)\hat{\phi}$

si luego igualamos

$0 = mgsen\theta\hat{\theta} + mgcos\theta\hat{r} - mw_\theta^2\hat{r} - m(( - r\dot{\theta^2} - r\dot{\phi}sin^2\theta)\hat{r} \: + \: (r\ddot{\theta} - r\dot{\phi}^2sin\theta cos\theta)\hat{\theta} + (2r\dot{\phi}\dot{\theta}cos\theta)\hat{\phi})$

haré el cambio de notación que corresponde

r = a
$\dot{\phi} = w$
$\dot{\theta} = w_\theta$
$\ddot{\theta} = \alpha_\theta<br />$

$0 = mgsen\theta\hat{\theta} + mgcos\theta\hat{r} - mw_\theta^2\hat{r} -m((-aw_\theta^2 - aw^2sin^2\theta)\hat{r} + (a\alpha_{\theta} - aw^2sin\theta cos\theta)\hat{\theta} +(2aww_\theta cos\theta)\hat{\phi})$


Ahora vere que obtengo de las ecuaciones.

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Planteando la segunda opción de carroza (no recuerdo haber estudiado lagrangianos), considero una posición de la partícula donde ha descrito un ángulo $\theta$ y una dirección tangencial perpendicular al radio del anillo. En esta situación, el equilibrio dinámico en la dirección tangencial es

$mg\sin\theta+m\omega^2x\cos\theta=ma$. Como $\dfrac{x}{R}=\sin\theta$,

$a=g\sin\theta+\omega^2R\dfrac{\sin2\theta}{2}$.

A partir de aquí, carroza, ya no estoy seguro de que sea correcto afirmar que $\alpha=\dfrac{a}{R}$, e integrar $\alpha$ para hallar $\dot{\theta}$.

En caso de respuesta afirmativa,

$\dot{\theta}=\sqrt{\dfrac{2g}{R}(1-\cos\theta)+\dfrac{\omega^2}{2}(1-\cos2\theta)}$.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[carroza]

Hola.

Este es un problema de movimiento con ligaduras, que se resuelve típicamente haciendo uso de lagrangianos.

Sin lagrangianos, la forma de plantearlo es ver las fuerzas que actúan en la dirección del alambre, para un ángulo $\theta$ determinado. Estas serán una cierta componente de la gravedad, y una cierta componente de la fuerza centrífuga. La fuerza de coriolis va en la dirección perpendicular al alambre, y se cancelaría con la reacción de este.

Una vez calculada la fuerza, se iguala al producto de la masa por la aceleración a lo largo del alambre, que es $a {d^2 \theta \over dt^2}$.

[JCB]

Hola a tod@s.

MrHawk123: el comentario se refería a mi mensaje # 2, que está plagado de errores y es totalmente prescindible.

- Se trata del movimiento referido a un sistema móvil con rotación $\omega$ (cuando estudiaba, la llamábamos de arrastre).

- A su vez, la partícula describe un movimiento con velocidad y aceleración relativas.

- Entiendo que en primer lugar has planteado la dinámica de la partícula para hallar la velocidad y aceleración relativas.

En cualquier caso, no es un ejercicio sencillo (al menos para mí). Si hiciese algún progreso al respecto ya lo publicaría.

Saludos cordiales,
JCB.

[MrHawk123]

se me había olvidado disculpa, ya lo corregí.

[Richard R Richard]

La he colocado entre paréntesis en este mensaje.

[MrHawk123]

¿Richard donde faltaría una m?.

el vector r es el vector posición de la partícula respecto al sistema no inercial y el vector R es el vector posición del sistema no inercial, respecto al inercial.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola , no estoy familiarizado con la resolución vectorial, aun así veo que tienes un gazapo en la fórmula tienes que agregar una masa para que sea dimensionalmente correcta.


$m\vec{\ddot{r}}^{} = \sum_{i} F_{i}^{(R)} - m\vec{\ddot{R}} - 2m\vec{w} \times \vec{v}^{'} - (m)\frac{d\vec{w}}{dt} \times \vec{r}^{'} - m\vec{w} \times (\vec{w} \times \vec{r}^{'})$

por lo pronto si puedes describir que son los vectores r y R , aún no veo de que va la cosa con ese planteo.Porque esa ecuación es una ecuación diferencial , no es la ecuación del movimiento, parametrizada en el tiempo, que surgiría en todo caso de resolver esa ecuación diferencial.

del mismo modo que tienes una ecuación para r o R tienes que tener una para $\theta$ ya que el movimiento es en mas de una dimensión.

para la coordenada $\phi$ es facil $\vec\phi=\vec\omega t$

[MrHawk123]

Hola Richard, mi profesor nos dijo que este era un problema de sistemas no inerciales y debíamos utilizar la ecuación que escribí mas arriba.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola este problema tampoco lo necesitas resolver por energías o desarrollo de lagrangiano?

[MrHawk123]

Hola JCB, en tu desarrollo o en el ejercicio?.

[JCB]

Atención: tengo este ejercicio en revisión. Creo que hay errores.

[JCB]

Hola a tod@s.

Considerando unos ejes de coordenadas solidarios al anillo de radio $R$, he llegado a unos resultados, que estimo válidos para $0^{\circ}\leq\theta\leq180^{\circ}$.

1) Coordenadas de posición.

La coordenada $y$ de la partícula es $y=R-\dfrac{1}{2}gt^2$.

Como las coordenadas $x$ e $y$ están restringidas por la relación $x^2+y^2=R^2$, entonces

$x=\sqrt{R^2-y^2}=\sqrt{R^2-\left(R-\dfrac{1}{2}gt^2\right)^2}=\sqrt{Rgt^2-\dfrac{1}{4}g^2t^4}$.

2) Velocidades.

$v_x=\omega x=\omega \sqrt{Rgt^2-\dfrac{1}{4}g^2t^4}$,

$v_y=gt$.

Seguiré.

Saludos cordiales,
JCB.

[MrHawk123]

Hola a todos, espero que estén muy bien, hoy les traigo un problema de sistemas no inerciales. Aquí el problema.

Una partícula de masa $m$ se puede mover libremente y sin roce a lo largo de un alambre en forma de anillo de radio a, ver figura 1. El anillo rota en torno a un eje vertical que pasa por su centro con velocidad angular constante $w$. Si la partícula se encuentra en presencia de la gravedad, y en $t = 0, \theta = \dot{\theta} = 0$, donde $\theta$ es el ángulo que la posición de la partícula hace con la vertical.

a) Escriba la ecuación de movimiento de la partícula.

b) Encuentre la velocidad de la partícula según un observador inercial y su energía cinética.

c) Encuentre la posición de la partícula para la cual su energía es máxima.


Estoy trabajando con esta ecuación

$m\vec{\ddot{r}}^{} = \sum_{i} F_{i}^{(R)} - m\vec{\ddot{R}} - 2m\vec{w} \times \vec{v}^{'} - m\frac{d\vec{w}}{dt} \times \vec{r}^{'} - m\vec{w} \times (\vec{w} \times \vec{r}^{'})$

defini mi sistema $S^{'}$ tal que los ejes no roten con respecto a $S$ para poder hacer cero el termino $\vec{w}$ y quedar con una ecuacion mas simple.

$m\vec{\ddot{r}}^{} = \sum_{i} F_{i}^{(R)} - m\vec{\ddot{R}}$.



$x = x^{'}$
$y = y^{'}$
$z = z^{'}$

$S^{'}$ va con la partícula , después pensé que lo mas natural seria utilizar coordenadas esféricas, pero me quedo una expresión bastante fea.

Si lo intentan cuéntenme que tal les fue.

Saludos.