Problemas de sistemas no inerciales

[Alriga]

Hola JCB, ¿cómo lograste sacar la energía potencial?

MrHawk123... la ventaja de la energía potencial gravitatoria, es que puedes tomar un nivel de referencia a tu conveniencia...

Correcto.

MrHawk123... Yo he tomado como nivel de referencia , al punto más bajo que puede tener la partícula, siendo éste el punto más bajo del anillo. Entonces, para una posición cualquiera (como la mostrada en tu dibujo), la altura respecto del punto más bajo es

$h=R+R\cos\theta=R(1+\cos\theta)$.

Luego la energía potencial gravitatoria es $Ep_g=mgh=mgR(1+\cos\theta)$

$\boldsymbol{U(\theta)=mga(1+\cos \theta)}$

Con ello la diferencia de energía potencial entre el punto más alto y el más bajo para JCB es:

$U_{up}-U_{down}=U(0)-U(\pi)=mga(1+\cos 0)-mga(1+\cos \pi)=2mga-0=2mga$

Y la diferencia de energía potencial en general para cualquier par de ángulos:

$$U(\theta_1)-U(\theta_2)=mga(1+\cos \theta_1) - mga(1+\cos \theta_2)=mga (\cos\theta_1-\cos \theta_2)$$

En cambio yo en mi post:

La energía potencial, tomando como referencia el nivel del centro de la circunferencia:

$U=mga\cos \theta$

$\boldsymbol{U(\theta)=mga\cos \theta}$

Con ello la diferencia de energía potencial entre el punto más alto y el más bajo es:

$U_{up}-U_{down}=U(0)-U(\pi)=mga\cos 0-mga\cos \pi=mga+mga=2mga$

Y la diferencia de energía potencial en general para cualquier par de ángulos:

$$U(\theta_1)-U(\theta_2)=mga \cos \theta_1 - mga \cos \theta_2=mga (\cos\theta_1-\cos \theta_2)$$

Como debe ser, las diferencias de energía potencial son las mismas (1)=(2)

Saludos.

[MrHawk123]

Muchas gracias.

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

MrHawk123, la ventaja de la energía potencial gravitatoria, es que puedes tomar un nivel de referencia a tu conveniencia. Yo he tomado como nivel de referencia , al punto más bajo que puede tener la partícula, siendo éste el punto más bajo del anillo. Entonces, para una posición cualquiera (como la mostrada en tu dibujo), la altura respecto del punto más bajo es

$h=R+R\cos\theta=R(1+\cos\theta)$.

Luego la energía potencial gravitatoria es $Ep_g=mgh=mgR(1+\cos\theta)$.

Saludos cordiales,
JCB.

[MrHawk123]

Hola JCB, ¿como lograste sacar la energia potencial?.

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

- A partir de la velocidad absoluta de la partícula (ver mensaje # 9), la energía cinética por unidad de masa es

$e_c=gR(1-\cos\theta)+\dfrac{\omega^2R^2}{4}(1-\cos2\theta)+\dfrac{\omega^2R^2}{2}\sin^2\theta$.

- La energía potencial gravitatoria por unidad de masa es $e_{pg}=gR(1+\cos\theta)$.

Sumando las dos expresiones anteriores y derivando respecto de $\theta$, llego a que $\sin\theta\cos\theta=0$, pudiendo ser $\theta=0^{\circ}\ (180^{\circ})$, o bien $\theta=90^{\circ}\ (270^{\circ})$.

Comprobando con valores numéricos, se cumple lo escrito por carroza en su mensaje # 10: la energía mecánica total es máxima para $\theta=90^{\circ}\ (270^{\circ})$, y mínima para $\theta=0^{\circ}\ (180^{\circ})$.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Gracias Alriga. Esta expresión de la aceleración que has obtenido mediante el lagrangiano, coincide con la expresión que obtuve en mi mensaje # 6.

[Alriga]

... Este es un problema de movimiento con ligaduras, que se resuelve típicamente haciendo uso de lagrangianos ...

Por si ayuda, voy a intentar calcular el Lagrangiano.

Energía cinética por la rotación del aro:

$T_r=\dfrac 1 2 I \omega^2=\dfrac 1 2 m r^2 \omega ^2=\dfrac 1 2 m (a \sin \theta)^2 \omega^2=\dfrac 1 2 m a^2 \sin^2 \theta \omega^2$

Energía cinética debida a la velocidad tangencial de la partícula en el aro:

$T_t=\dfrac 1 2 m v_t^2=\dfrac 1 2 m (a \dot \theta)^2=\dfrac 1 2 m a^2 \dot \theta^2$

La energía cinética es la suma de ambas:

$T=\dfrac 1 2 m a^2 \dot \theta^2+\dfrac 1 2 m a^2 \sin^2 \theta \omega^2$

La energía potencial, tomando como referencia el nivel del centro de la circunferencia:

$U=mga\cos \theta$

El Lagrangiano:

$L=T-U$

$$L=\dfrac 1 2 m a^2 \dot \theta^2+\dfrac 1 2 m a^2 \sin^2 \theta \omega^2-mga \cos \theta$$

A partir de aquí es muy fácil aplicar la Ecuación de Euler-Lagrange:

$$\dst {d\over dt }{\partial L\over\partial \dot{\theta}} - {\partial L\over\partial \theta} = 0$$

$\dst {\partial L\over\partial \theta}=m a^2 \omega^2\sin \theta \cos \theta+m g a \sin \theta$

$\dst {\partial L\over\partial \dot{\theta}}=m a^2\dot \theta$

$\dst {d\over dt }{\partial L\over\partial \dot{\theta}}=m a^2 \ddot \theta$

La ecuación del movimiento:

$$a\ddot \theta-a\omega^2 \sin \theta \cos \theta -g \sin \theta=0$$

Por si puede ayudar, para que veáis a dónde tenéis que llegar siguiendo el otro método.

Saludos.

[MrHawk123]

gracias por el consejo, lo tendré en cuenta.

[JCB]

Fabuloso, confusión mía (no sé por qué motivo te cambié "a" por "R"). Si quieres que la letra no quede tan pequeña (de ahí también viene mi confusión), usa \dfrac, en lugar de \frac. Queda pendiente el segundo sumando.

[MrHawk123]

Hola JCB, no es alpha el denominador, es a.
Recuerda que R = a
Saludos.

[MrHawk123]

Hola a todos.

Carroza, ¿entonces debería añadir una Fuerza normal en la componente $\hat{\phi}$ para que se me anule la fuerza coriolis?, pero ademas de eso ¿la expresion de la velocidad angular es correcta?.

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Gracias carroza, por tu explicación. Quizás me expresé mal, pero quería matizar lo siguiente, pues creo saber distinguir entre la aceleración de Coriolis y la centrípeta:

- La aceleración de Coriolis $(\vec{a}=2\vec{\omega}\times\vec{v_r})$, queda totalmente compensada por la reacción en el anillo, que obliga a seguir una trayectoria sobre el anillo (sería algo parecido a una trayectoria sobre un meridiano terrestre).

- Por el contrario y en cuánto a la aceleración centrípeta $(a=\omega^2x)$, ésta solo queda parcialmente compensada por la reacción en el anillo, pues hay una componente que no se anula (la tangencial que consideré al inicio, en el equilibrio dinámico del mensaje # 6).

- “Nuestras” expresiones de $\dot{\theta}=\dfrac{d\theta}{dt}$, aunque parecidas, no son exactamente iguales: en el primer sumando, la expresión de MrHawk123, tiene $\alpha$ en el denominador y en la mía tengo $R$. Comparando el segundo sumando, son diferentes.

- En cuanto al apartado a) “Escriba la ecuación del movimiento de la partícula”, entiendo que el enunciado pide el vector posición $(\vec{r})$ de la partícula en un sistema de coordenadas fijo, y creo que solo se puede obtener por el método vectorial que emplea MrHawk123.

- El apartado b), ya he dicho en mi mensaje # 9, que a falta de revisión, lo veo bastante bien.

- El apartado c), lo tengo pendiente de dedicación.

Saludos cordiales,
JCB.

[carroza]

Hola.

A ver, Hawk, tienes que introducir una reaccion del anillo que compense la fuerza de Coriolos. Si no, tienes una componente a lo largo de la direcccion $\hat \phi$, que no se te anula. JCB, la fuerza de coriolis no es la fuerza centrifuga. Es otra cosa, que depende de la velocidad en el sistema no inercial

Vuestras expresiones para $\dot \theta$ son iguales. Esto da la solución a a) (Ecuación de movimiento). Esta expresión no tiene una solución analítica, y la descripción cualitativa es que theta aumenta desde cero, hasta pi (que es cuando la particula está en el fondo del anillo, y luego theta sigue aumentando hasta 2 pi, que es cuando vuelve a la cima del anillo.

La energía mecánica (cinética más potencial) es máxima ocurre cuando el ángulo $\theta = \pi/2$ . Es curioso plantearse por qué la energía mecánica debería variar.

Esto es porque el anillo ejerce trabajo sobre la bola, y este trabajo lo hace precisamente la reacción del anillo que compensa la fuerza de Coriolos.

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Respuesta a tu pregunta del mensaje # 7: Sí, claro que existe una fuerza centrípeta (como en cualquier rotación), pero debido al vínculo con el anillo, queda compensada con una reacción del anillo. Fíjate que es similar a la aceleración de Coriolis que comentó carroza en su mensaje # 5. Otra cosa es que, mediante tu método vectorial, debas considerarla o no.

Comentario a tu mensaje # 8: Las expresiones que has obtenido son muy similares a las mías. Revisaré las mías (podrías hacer lo propio con las tuyas).

b) Considero a este apartado casi resuelto. Si fuesen correctas mis expresiones (como he dicho, las revisaré):

- La velocidad relativa de la partícula es $v_r(\theta)=\dot{\theta}R=\sqrt{2gR(1-\cos\theta)+\dfrac{\omega^2R^2}{2}(1-\cos2\theta)}$.

- La velocidad de arrastre de la partícula es $v_a(\theta)=\omega R\sin\theta$.

- Como las dos componentes anteriores siempre son perpendiculares, la velocidad absoluta de la partícula es

$v(\theta)=\sqrt{v_r^2(\theta)+v_a^2(\theta)}=\sqrt{2gR(1-\cos\theta)+\dfrac{\omega^2R^2}{2}(1-\cos2\theta)+\omega^2R^2\sin^2\theta}$.

- La energía cinética es inmediata.

a) No tengo idea.

c) Se trata de encontrar un máximo de energía teniendo en cuenta a la cinética y a la gravitatoria. Lo miraré.

Saludos cordiales,
JCB.

[MrHawk123]

Hola a todos.

Igualando las componentes vectoriales llego a esto.

$0 = mgsen\theta - ma\alpha_{\theta} + maw^2sin\theta cos\theta$ $(\hat{\theta})$

$0 = mgcos\theta + maw_\theta^2 + maw^2sin^2\theta$ $(\hat{r}$

$0 = -m2ww_{\theta}cos\theta$ $(\hat{\phi})$

De la primera ecuacion obtengo.

$\alpha_{\theta} = \frac{gsen\theta}{a} + w^2sin\theta cos\theta$

luego al integrar esta obtengo.

$\dot{\theta} = \sqrt{-\frac{2g}{a}(cos\theta - 1) + w^2sin^2\theta}$

Saludos.