Secundaria Cuña móvil y conservación de momento lineal

[Rodrigo G]

Saludos, llevo la tarde intentando resolver este problema y necesito ayuda:

Un bloque de masa m reposa sobre una cuña de masa M la cual, a su vez, descansa sobre una mesa horizontal como se ve en la figura. Todas las superficies carecen de fricción. Si el sistema parte del reposo estando el punto P del bloque a una distancia h sobre la mesa, halle la velocidad de la cuña n el instante en que el punto P toca la mesa.

Entiendo primero que todo que la suma de fuerzas en el eje horizontal es cero en el sistema del bloque y la cuña por lo tanto debe de haber conservación del momento lineal en el eje horizontal del mismo, al inicio ambos objetos están en reposo entonces el momento del sistema es cero. Al caer el bloque hasta la mesa tenemos que la suma de los momentos individuales (el cual es el momento lineal horizontal total del sistema) también debe de ser cero por la conservación.

0 = (M)(componente horizontal de la velocidad de la cuña) + (m)(velocidad del bloque)

Entonces si encuentro la rapidez del bloque al final puedo sacar su componente en x y con la ecuación de arriba encontrar la rapidez del la cuña. Supongo que es con conservación de energía pero no logro completarlo. Esa es la idea que tengo y no se si estoy cerca o estoy hablando puras tonterías.

Muchas gracias a todos de antemano!

[arivasm]

Re: Cuña móvil y conservación de momento lineal

Con la conservación de la energía tienes que $mgh=\frac{1}{2}MV^2+\frac{1}{2}mv^2$. Por la conservación de la componente horizontal del momento lineal tienes que $mv\cos\alpha=MV$. Dos ecuaciones y dos incógnitas.

La figura está rotada porque ya lo estaría en el archivo original. Podrías haberlo arreglado con una aplicación cualquiera de manipulación de imágenes. Por otra parte, te recomiendo que la próxima vez que escanees una imagen como ésta hagas un recorte, e incluso que reduzcas el peso de la misma.

Recuerda que la normativa del foro se ha endurecido en lo que se refiere a uso innecesario de adjuntos.

[Rodrigo G]

Re: Cuña móvil y conservación de momento lineal

Muchas gracias amigo! Entiendo que la energía potencial de m se distribuye en las energías cinéticas de ambos objetos, luego se usa la ecuación de la conservación de momento lineal y listo, pero al despejar V de esas ecuaciones me queda una expresión diferente a la que sugiere el libro como respuesta:

Me queda así:


Y en el libro sugieren:


Disculpa la molestia, me sería de mucha ayuda tu colaboración

[arivasm]

Re: Cuña móvil y conservación de momento lineal

En mi mensaje anterior había un error importante. Si $v$ es la velocidad relativa de $m$ respecto de la cuña (hacia la derecha y abajo), puesto que ésta se mueve horizontalmente con velocidad $V$ hacia la izquierda, tomando un sistema de referencia ligado al suelo, con el eje X positivo hacia la izquierda y el Y positivo hacia abajo, las velocidades de ambos cuerpos serán $(V-v\cos\alpha,v\sin\alpha)$, para $m$, y $(V,0)$ para $M$.

Por tanto, la conservación de la energía será de la forma $mgh=\frac{1}{2}MV^2+\frac{1}{2}m(V^2+v^2-2vV\cos\alpha)$ y la de la componente horizontal del momento lineal será $m(V-v\cos\alpha)+MV=0$