Rotación y traslación combinados - 2da ley de Newton rotacional

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• Serway dice: "Esta ecuación $(\sum \tau_{ext} = I\alpha)$ también es válida para un objeto rígido rotatorio alrededor de un eje móvil, siempre que el eje en movimiento (1) pase a través del centro de masa y (2) sea un eje de simetría."
• Sears-Zemansky define la rotación y la traslación combinadas con la unión de las ecuaciones $\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a}_{cm}$ y $\sum \tau_{z} = I_{cm}\alpha_z$, aclarando que esta última ecuación es válida siempre que 1. El eje que pasa por el centro de masa debe ser un eje de simetría. 2. El eje no debe cambiar de dirección.
• En Tipler, Resnick o internet no encontré más información al respecto.

Mis dudas:

1. Serway no incluye la condición de que el eje no cambie de dirección. Creo que es en realidad una redundancia de parte de Sears, ¿Verdad? Después de todo, si solo hay rotación por un eje de simetría, el eje no cambia de dirección (creo que esa es la palabra clave, solo).
2. ¿Donde puedo encontrar una demostración de estas ideas?
3. ¿Por qué es necesario que el eje pase por el centro de masa? mi intuición me dice que esto siempre sucede así por naturaleza. Pero que pasa si por ejemplo se fuerza un eje asimétrico. Se me ocurre por ejemplo perforar una placa rectangular en algún punto cerca de los bordes y pasar una barra del mismo diamétro por el agujero. En ese caso se le puede proporcionar al objeto una traslación y rotación combinados y no por un eje que pase por el centro de masa.

Muchas gracias.

EDITAR: Acabo de leer en esta página (que direcciona también a esta) algo muy interesante sobre la ley de Newton rotacional que no encontré en ningún libro. Además de ejes de simetría y ejes por el centro de masa, introduce el concepto de eje principal, indicando que es una condición necesaria para la segunda ley de Newton rotacional (incluso cuando no hay traslación). Esto me dejó más confundido que antes.

[german153]

actualización 2: Escribí la pregunta ligeramente modificada acá pero tampoco hubo respuestas https://physics.stackexchange.com/qu...ally-a-necessa

[Richard R Richard]

Si no te contestan es porque no está muy claro lo que preguntas, o adonde quieres llegar con lo que te contesten...

[*]Serway dice: "Esta ecuación $(\sum \tau_{ext} = I\alpha)$ también es válida para un objeto rígido rotatorio alrededor de un eje móvil, siempre que el eje en movimiento (1) pase a través del centro de masa y (2) sea un eje de simetría."

A ver hay dos tipos de movimientos resultantes de la aplicación de un sistema de fuerzas, uno de traslación, y uno de rotación.

todo el sistema de fuerzas, se reduce, a una única fuerza actuante que es la resultante, y esta tiene la dirección del eje de acción,

puede ser que la resultante sea nula , en ese caso la velocidad del centro de masa no se altera, entonces este mantiene o bien el reposo o bien el mismo estado de movimiento o velocidad previos.

Si la resultante no es nula el centro de masa acelera, pero a la vez puede haber momento y el cuerpo gira sobre su CM

Si el momento resultante es nulo, no hay rotación, solo traslación. es decir dada una resultante no nula, si pasa por el CM, no hay momento y el cuerpo no rota, solo se traslada-

Si hay una resultante, que origina traslación y ademas no pasa por el CM , entonces la rotación depende de la distancia entre el eje de acción de la resultante y el centro de masa,

La ecuación es entonces válida, para calcular la aceleración angular que sufre un cuerpo, cuando la sumatoria de los momentos da por resultado un momento total cuya recta de acción pasa por el CM y es paralelo al movimiento preexistente en el cuerpo, en caso de no serlo, cambiar el eje de rotación.

Si el momento aplicado es paralelo aun eje de simetría, la aceleración angular se vera afectada por un factor que dependerá de la masa y de la distancia a ese eje al cuadrado, teorema de Steiner.

Si el momento no es ni siquiera paralelo, entonces el cuerpo cambiara de dirección de rotación , encontrando algún nuevo eje de simetría que pase por el CM.

eso es lo que te quieren decir con

[*]Sears-Zemansky define la rotación y la traslación combinadas con la unión de las ecuaciones $\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a}_{cm}$ y $\sum \tau_{z} = I_{cm}\alpha_z$, aclarando que esta última ecuación es válida siempre que 1. El eje que pasa por el centro de masa debe ser un eje de simetría. 2. El eje no debe cambiar de dirección.

Si el momento de todas las fuerzas no tiene la misma dirección que el eje de rotación que ya tiene el cuerpo entonces el eje de rotación varía. y las fórmulas no son aplicables directamente...

[*]Serway no incluye la condición de que el eje no cambie de dirección. Creo que es en realidad una redundancia de parte de Sears, ¿Verdad? Después de todo, si solo hay rotación por un eje de simetría, el eje no cambia de dirección (creo que esa es la palabra clave, solo).

Creo que ya te explique como lo entiendo, Serway da una definición más concreta de como encaramos la mayoria de los problemas que se presentan, normalmente, no se piden las evoluciones en 3d de rotaciones de cuerpos de geometría extraña... eso lo hará la NASA, si bien no es mas difícil que tomarte un tiempo largo para resolver varias integrales....

[*]¿Donde puedo encontrar una demostración de estas ideas?

Profundiza la búsqueda, pero mas que nada, plantea mejor con tus palabras tus propias inquietudes, mas que la interpretación de las palabras de un libro.

[*]¿Por qué es necesario que el eje pase por el centro de masa?

Se mas especifico con la pregunta, un momento tiene una dirección y sentido, y este puede o no tener la dirección de un eje principal de inercia de un objeto cualquiera.

mi intuición me dice que esto siempre sucede así por naturaleza.

Aver cuando aplicas una fuerza a un objeto, la resistencia que opone para ser acelerado es proporcional es su masa, en analogias lo que se opone al cambio de estado de rotación es el momento de inercia, si aceleras con el mismo eje con que ya viene rotando, solo cambia la velocidad angular, pero si el momento resultante no tiene la misma dirección, habra un cambio del eje de rotación, y este dependerá de los valores que tienen los tres ejes principales de inercia del objeto.

Pero que pasa si por ejemplo se fuerza un eje asimétrico. Se me ocurre por ejemplo perforar una placa rectangular en algún punto cerca de los bordes y pasar una barra del mismo diámetro por el agujero. En ese caso se le puede proporcionar al objeto una traslación y rotación combinados y no por un eje que pase por el centro de masa.
Muchas gracias.

Y si en ese caso , el eje esta sometido a una fuerza reacción......, que es la que hará que el CM cambia de posición, osea se traslade, y a la vez también se producirá un giro respecto a un eje paralelo respecto del CM. Si es que interpreto bien lo que quieres entender.

[german153]

Muchas gracias Richard. Me disculpo por no haberme expresado bien. Creo que en stackexchange lo mejoré pero debí haber actualizado la pregunta aquí también como lo puse allí. Yo entiendo bien los casos sencillos a los que se limitan esos libros con las condiciones que he copiado aquí. Mi duda era si estas condiciones son estrictamente necesarias para aplicar la 2da ley. Es verdad que cuando se cumplen estamos ante casos que simplifican las cuentas de la misma manera que mencionaste tu con el ejemplo de la NASA, pero aun así no dejan de ser condiciones innecesarias. Copio una parte de lo que puse en stackexchange:

no encuentro ninguna de estas condiciones estrictamente necesarias. En esta publicación se ha mencionado que en un momento dado, el movimiento de un cuerpo rígido se puede describir mediante la traslación de cualquier punto elegido, más una rotación sobre ese punto, por lo que el eje de rotación es una cuestión arbitraria. La condición 3 tampoco me parece necesaria ... solo que un eje de dirección variable en el tiempo haría que los cálculos fueran mucho más complejos, porque las ecuaciones cambiarían en cada instante.
Mi hipótesis es que estas condiciones son más una descripción del tipo de ejercicios a los que se limitan los libros que una necesidad de aplicar las ecuaciones. ¿Estoy en lo correcto?

Por lo que he entendido de tu respuesta, es tal como yo pensaba

Se mas especifico con la pregunta, un momento tiene una dirección y sentido, y este puede o no tener la dirección de un eje principal de inercia de un objeto cualquiera.

En ese punto yo no estaba preguntando la razón por la cual el eje tenía que pasar si o si por el cm, sino cuál era la razón por la que Serway y Sears consideraban necesario que pase por allí para aplicar la segunda ley. Pienso que me expresé bien, pero no sé, quizás no fui tan claro.

Nuevamente, disculpas y muchas gracias. Saludos!

[Richard R Richard]

Hola, no son necesarias las disculpas , siempre son bienvenidas las preguntas, el tema es que estas preguntando en profundidad, y a mi modo de ver la pregunta era no muy precisa, Pero dejando eso de lado ya es mas claro para cualquiera que se lea el tocho, que es lo que quieres saber.

Entiendo que si el cuerpo ya esta girando tiene definido un momento angular, al aplicarle un momento o par con una dirección distinta al eje de rotación ( aunque la resultante de fuerzas sea nula), el cuerpo cambia el eje de rotación, pero tambíen sufre traslación, lo cual no se vería en la formula que expones .

ejemplo curioso son estos videos,

la rotación del alumno es consecuencia de intentar conservar el momento angular de la rueda, precisamente al aplicar un par con los brazos con una dirección distinta al eje de rotación de la rueda.