Movimiento Relativo.

[Visitante]

Hola, tengo unos ejercicios bastante complejos (a mi parecer) sobre movimiento relativo. En el libro que me han recomendado en clase (el Siers-Zemansky volumen 1) vienen a penas 3 páginas sobre el tema. Yo hasta ahora los ejercicios típicos de hallar la posición de un barco que es empujado por la corriente respecto a un observador etc siempre los había hecho mediante reglas trigonométricas y con las ecuaciones de la cinemática. Sin embargo hay algunos de los ejercicios que soy incapaz de hacerlo (adjuntaré uno de los que me parecen más complicados a continuación). No sé si alguien me podría explicar nociones básicas sobre el tema o algún método de resolución para este tipo de problemas, me he cansado de intentar informarme por internet y no hay manera. Si sabéis de algún libro que indague más en el tema o vosotros mismos tenéis algo que aportar os lo agradecería un montón. Adjunto el problema:

Un bombero sube por la escalera de un camión de servicio con una velocidad constante de 0,5 m/s. La escalera está inclinada 60° respecto a la horizontal y gira con una velocidad angular constante $\omega$= 6rpm alrededor del eje vertical en sentido antihorario. El bombero inicia la subida cuando la escalera se encuentra en el plano de simetría del camión y dirigida hacia adelante. La velocidad inicial del camión es vo=5m/s y su aceleración a=0,5m/s2 . Hallar la velocidad y la aceleración absolutas del bombero cuando la escalera haya descrito una vuelta completa.

Muchas gracias de antemano y un saludo.

[JCB]

Hola a tod@s.

laranga22, lamentablemente no te puedo explicar un método general para encontrar la solución a los ejercicios de movimiento relativo. No obstante, para el caso que presentas, sí que te puedo explicar la manera como lo plantearía.

La velocidad absoluta del bombero se compone de tres velocidades: la velocidad relativa de ascenso por la escalera, la velocidad de rotación de la escalera y la velocidad de arrastre del camión de bomberos.

1) $\vec{v_r}=0,5\cos60^{\circ}\vec{i}+0,5\sin60^{\circ}\vec{j}=\dfrac{1}{4}\vec{i}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\vec{j}$.

2) Como la escalera gira a una velocidad angular constante de $6\ rpm$, para completar una vuelta, tardará $t=\dfrac{\theta}{\omega}=10\ s$. En este tiempo el bombero habrá ascendido $5\ m$ por la escalera.

$\vec{v_{rot.}}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\dfrac{\pi}{5}\vec{j}\times(5\cos60^{\circ}\vec{i}+5\sin60^{\circ}\vec{j})=-\dfrac{\pi}{2}\vec{k}$.

3) En esos $10\ s$, la velocidad de arrastre del camión es

$\vec{v_a}=\vec{v_0}+\vec{a_a}t=10\vec{i}$.

Finalmente, la velocidad absoluta es $\vec{v_{abs.}}=\dfrac{41}{4}\vec{i}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\vec{j}-\dfrac{\pi}{2}\vec{k}$.

Dejo la aceleración para más adelante, previa confirmación entre todos, de si esta es la manera correcta de hallar la velocidad absoluta.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Haber calculemos la velocidad angular $\omega=\dfrac{6RPM 2\pi}{60s/min}=0.2\pi /s$

La velocidad de ascenso del bombero $V_k=0.5m/s\sin60\°$

La posición radial en el sentido del plano horizontal del bombero viene dada por $r_B=0.5m/s\cos60\° t$

la velocidad del bombero viene dada por

$V_B= r_B \cos (\omega t) \vec i+r_B\sin (\omega t) \vec j+0.5m/s\sin60\°\vec k$

$V_B= 0.5m/s\cos60\° t \cos (0.2\pi t )\vec i+0.5m/s\cos60\° t\sin (0.2\pi t )\vec j+0.5m/s\sin60\°\vec k$

la velocidad del camión

$V_C=(V_o+at)\vec i=(5m/s+0.5m/s^2t)\vec i$

La Velocidad total o absoluta respecto del suelo que es lo que pide el problema es la suma de las velocidades del camión y la del bombero respecto del camión

$VT_i=5m/s+0.5m/s^2t+0.5m/s\cos60\° t \cos (0.2\pi t)$

$VT_j=0.5m/s\cos60\° t\sin (0.2\pi t)$

$VT_k=0.5m/s\sin60\°$

o bien $VT=5m/s+0.5m/s^2t+0.5m/s\cos60\° t \cos (0.2\pi t)\vec i+0.5m/s\cos60\° t\sin (0.2\pi t)\vec j+0.5m/s\sin60\°\vec k$

el tiempo para conseguir una vuelta o $2\pi$ es 10 segundos , reemplaza el valor de t con ese valor y calcula.

para la aceleración en cada direccion basta con derivar respecto del tiempo cada componente de la velocidad.

[JCB]

Hola a tod@s.

Richard, quizás esté equivocado, pero diría que no has tenido en cuenta la componente horizontal de la velocidad de ascenso del bombero por la escalera.

Saludos cordiales,
JCB.

[Visitante]

Hola de nuevo

yo concuerdo con JCB lo he revisado e intentado por mi cuenta y llego al mismo resultado. Gracias por las aportaciones.

Cambiando de tema, estoy teniendo bastantes problemas en entender ejercicios en los que hay una combinación de movimiento relativo de traslación y rotación (más completos que este), quizá suba uno de los más sencillos que tengo por si alguien me puede echar una mano y así continuar por mi cuenta.

Muchas gracias y un saludo .

[Richard R Richard]

Creo que no olvido nada, la velocidad de ascenso por el tiempo de ascenso es el radio del giro de la escalera, esto tiene proyección en la horizontal tanto en la dirección del movimiento con el coseno y transversal con el seno de omega t

[Jaime Rudas]

Hallar la velocidad y la aceleración absolutas del bombero cuando la escalera haya descrito una vuelta completa.

Y yo diciendo, en el otro hilo, que no existe la velocidad absoluta.¿Qué le cuesta poner "la velocidad con respecto a la vía"?

[Richard R Richard]

Y yo diciendo, en el otro hilo, que no existe la velocidad absoluta.¿Qué le cuesta poner "la velocidad con respecto a la vía"?

Y si Jaime , tanto se habla de ese modo, que cuando te explican relatividad galileana o einsteniana, no es de extrañar que surjan dificultades, para cambiar conceptos falsos profundamente arraigados.

[JCB]

Hola a tod@s.

Atención: editado para añadir la aceleración normal, debida a la rotación.

Había quedado pendiente determinar la aceleración total del bombero, respecto de un sistema de referencia solidario al pavimento.

Esta aceleración se compone de cuatro aceleraciones: la aceleración de arrastre del camión de bomberos (que es constante), la aceleración relativa de ascenso por la escalera (que es 0, pues asciende a velocidad constante), la aceleración normal y la aceleración de Coriolis, estas dos últimas debidas a la rotación de la escalera.

La aceleración normal es $\vec{a_n}=\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=\dfrac{\pi}{5}\vec{j}\times\left(-\dfrac{\pi}{2}\vec{k}\right)=-\dfrac{\pi^2}{10}\vec{i}$.

$\vec{a}=\vec{a_a}+0+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})+2\vec{\omega}\times\vec{v_r}=\dfrac{1}{2}\vec{i}-\dfrac{\pi^2}{10}\vec{i}+2\dfrac{\pi}{5}\vec{j}\times\left(\dfrac{1}{4}\vec{i}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}\vec{j}\right)=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi^2}{10}\right)\vec{i}-\dfrac{\pi}{10}\vec{k}$.

Saludos cordiales,
JCB.