Ecuación velocidad de partícula en caida vertical con medio resistente

[follonic]

Para obtener la ecuación de la velocidad en caída libre en medio resistente, el libro de Marion("Dinámica clásica de las partículas...") integra la ecuación


$\frac{dv}{kv+g}=-dt$

con la condición $t=0(v=v_o)$

El resultado es

$v=\frac{-g}{k}+\frac{kv_0+g}{k}e^{-kt}$

Cuales son los pasos para llegar hasta aquí?

Gracias

[Alriga]

$$\dfrac{dv}{kv+g}=-dt$$

$\dfrac 1 k \cdot \dfrac k{k v+g} dv=-dt$

$\dst \dfrac 1 k \int \dfrac k{k v+g} dv=-\int dt$

La integral es inmediata. A la constante de integración la llamo $-\ln C$

$\dfrac 1 k \Big (\ln(k v+g) - \ln C \Big )=-t$

$\ln \dfrac{(k v+g)^{1/k}}{C^{1/k}}=-t$

$\dfrac{(k v+g)^{1/k}}{C^{1/k}}=\ee^{-t}$

Elevando a "k" a ambos lados de la igualdad:

$\dfrac{ kv+g}{C}=\ee^{-k t}$

Imponemos la condición inicial $t=0 \rightarrow v=v_0$ para calcular la constante de integración:

$C=k v_0+g$

Sustituimos:

$\dfrac{kv+g}{k v_0+g}=\ee^{-k t}$

Despejamos:

$$v(t)=-\dfrac g k+\dfrac{k v_0+g}k \ \ee^{-kt}$$

Saludos.

NOTA: la dinámica que permite escribir la ecuación diferencial (1) está descrita en el hilo Resistencia del aire en caída libre

[follonic]

Gracias. Ya había visto ese hilo, pero faltaba el desarrollo matemático

[follonic]

Para hallar la velocidad de caida con resistencia lineal, MARION/THORNTON proceden así:

Se integra $\frac{dv}{kv+g}=-dt$ estableciendo $v(t=0) =v_0$

Se obtiene

$kv+g= e^{-kt +kc}$. Hasta aquí, no problem. Pero después, al despejar $v$ obtenien

$v= \frac{-g}{k}+\frac{kv_0+g}{k}e^{-kt}$

¿Cómo hacen para hallar $c$ y colocar $v_o$ en esta ecuación?

[Alriga]

Esto ya lo preguntaste hace 1 año, mira arriba

[follonic]

Gracias. Soy estudiante amateur y voy a mi bola. Perdón por dar el coñazo

En todo caso, ¿no creéis que los autores en cuestión deberían de exponer el desarrollo y no dar la solución sin más?. No hacerlo así es antidáctico como no sea para hachas matemáticos como los de este Foro