Velocidad a partir de aceleración en polares

[snorek]

Buenos días,

Llevo días dándole vueltas a un problema aparentemente sencillo. Si nos dan el vector aceleración en polares (-1,0) y la velocidad inicial y la posición inicial (supondremos 0,0 ambas por simplicidad), se supone que es posible obtener el vector velocidad y posición con esos datos ¿no? Pues no me sale.

El problema viene que, en un principio, hacía una integración normal, integrando el tiempo. Esto es, (-1,0) pasaría a ser (-t,0) e integrando esto obtenemos también la posición. No obstante, me di cuenta que esto no cumple con la fórmula de la aceleración y de la velocidad en coordenadas polares (no pongo la fórmula por lo larga que es y que aún no me manejo con los símbolos en este foro, disculpas), por lo tanto entiendo que está mal.

Creo que sé porqué. Entiendo que los vectores unitarios varían con el tiempo al estar en coordenadas polares, pero, a partir de aquí, no sé continuar. ¿Debería integrar también el vector unitario? ¿Cómo? Entiendo cómo se deriva la posición y la velocidad en polares, pero no he encontrado en ningún sitio el proceso inverso, esto es, la integración de la aceleracion y la velocidad en polares.

En resumen, si alguien me puede indicar paso a paso como obtener el vector velocidad (ya que el vector posición entiendo que será un proceso similar) a partir de un vector aceleración cualquiera en coordenadas polares, me salvaría de este bloqueo mental que tengo en este problema.

¡Gracias por adelantado!

[teclado]

Hola y bienvenid@,

Claro, tienes que tener en cuenta que los vectores unitarios no son constantes como en el caso de catesianas,

$\dst \vec{r}=r\hat{r} \Rightarrow \vec{v}=\frac{dr}{dt}\hat{r}+r\frac{d\hat{r}}{dt}=\frac{dr}{dt}\hat{r}+r\left (\frac{\partial \hat{r}}{\partial \theta}\frac{d\theta}{dt} + \frac{\partial \hat{r}}{\partial r}\frac{dr}{dt}\right )$

Aquí puedes ver que, como $\frac{\partial \hat{r}}{dr}=0$, te queda simplemente:

$\dst \vec{v}=\frac{dr}{dt}\hat{r}+r\frac{\partial \hat{r}}{\partial \theta}\frac{d\theta}{dt}$

Además date cuenta de que $\hat{r}=\hat{i}\cos\theta + \hat{j}\sin\theta$, por lo que

$\dst \frac{\partial \hat{r}}{\partial\theta}=-\hat{i}\sin\theta + \hat{j}\cos\theta=\hat{\theta}$

Y lo anterior queda:

$\dst \vec{v}=\frac{dr}{dt}\hat{r}+r\frac{d\theta}{dt}\hat{\theta}$

La aceleración la obtendrías volviendo a aplicar este proceso.

Para realizar el proceso inverso, yo lo pasaría a cartesianas y seguiría desde ahí (no hace falta que hagas el cambio completo, sólo el de los vectores unitarios). Recuerda que

$<br /> \begin{aligned}<br /> \hat{r}&=\hat{i}\cos\theta+\hat{j}\sin\theta \\<br /> \hat{\theta}&=-\hat{i}\sin\theta+\hat{j}\cos\theta<br /> \end{aligned}<br />$

Sobre el problema concreto que te ocupa, la aceleración te la dan como

$\vec{a}=-\hat{r}$

Sin embargo, date cuenta de que ésta cambia de sentido cuando se pasa el punto r=0. Puedes ver intuitivamente que con las condiciones iniciales que propones tu objeto acelerado se quedaría en el punto (0,0) para siempre, ya que es precisamente en el que se da este cambio de sentido. Sin embargo en ese punto la aceleración no está definida (¿cuál es el vector $\hat{r}$ en r=0?) y no puedes aventurarte a integrar en el tiempo al saber que el objeto se queda en ese punto para siempre (otra cosa sería el caso más general en el que el objeto sencillamente pasara por ahí, en el que la discontinuidad sí te permite integrar).

Por otro lado, date cuenta de que estás obteniendo unas coordenadas polares con r negativo. Esto es imposible por la propia definición de las coordenadas polares ($r=\sqrt{x^2+y^2} \ge 0$).

Pasando a coordenadas cartesianas para verlo mejor, la aceleración que te propone es

$\dst \vec{a}=-\hat{r}=-\hat{i}\cos\theta-\hat{j}\sin\theta$

Si restringimos el problema al eje X (ya que ni la aceleración ni la velocidad tienen componentes sobre $\hat\theta$),

$\dst \vec{a} = -\frac{x}{|x|}\hat{i}$

Esta es constante y hacia la derecha para x<0 y hacia la izquierda para x>0. Si partes de x=0, cualquier pequeño desplazamiento $\delta$ haría volver al objeto a x=0 y se quedaría oscilando en $-\delta \le x \le \delta$, y si tomas el límite $\delta \rightarrow 0$, te quedarás siempre en x=0. Como no partes de unas condiciones iniciales cercanas a x=0, si no de exactamente x=0, no puedes integrar directamente.

Para evitar este problema te sugiero que emplees unas condiciones iniciales en las que la velocidad tenga componente tanto sobre $\hat{r}$ como sobre $\hat{\theta}$.

El problema viene que, en un principio, hacía una integración normal, integrando el tiempo. Esto es, (-1,0) pasaría a ser (-t,0) e integrando esto obtenemos también la posición. No obstante, me di cuenta que esto no cumple con la fórmula de la aceleración y de la velocidad en coordenadas polares (no pongo la fórmula por lo larga que es y que aún no me manejo con los símbolos en este foro, disculpas), por lo tanto entiendo que está mal.

Ayudaría bastante que pudieras escribir estas ecuaciones. Si haces doble click sobre cualquiera de las que he puesto o de las que pongan otros, puedes ver como ejemplo el código que habremos usado, que tienes que poner dentro de la etiqueta TEX que se genera con el segundo botón de la derecha del editor. Te recomiendo este hilo del foro:

https://forum.lawebdefisica.com/foru...n-los-mensajes

Y si tienes dudas puedes consultar el tercer capítulo de este PDF:

http://www.icl.utk.edu/~mgates3/docs/latex.pdf

Un saludo.

[Richard R Richard]

Si nos dan el vector aceleración en polares (-1,0) y la velocidad inicial y la posición inicial (supondremos 0,0 ambas por simplicidad),

Ojo que si la posición es nula, respecto al origen y la aceleración siempre es contraria a la dirección radial (-1 en este caso) apenas se desplace en alguna dirección $\theta$ un diferencial de distancia radial $dr$, la aceleración directamente lo intentará llevar al origen , eso es lo que te pasa con la integración.



Resuelve el problema partiendo de cualquier posición $r\neq 0$ y verás que puedes halla la ecuación del MU para la partícula,

y en el caso de que $\dfrac{d\theta}{dt}\neq 0$ Te será imposible quedar en (0,0) el origen con velocidad 0 (nula), ya que la aceleración es central, y no puedes anular la componente angular.

[snorek]

Gracias por las aclaraciones a ambos.

Teclado, cuando has indicado:

La aceleración la obtendrías volviendo a aplicar este proceso.

Para realizar el proceso inverso, yo lo pasaría a cartesianas y seguiría desde ahí (no hace falta que hagas el cambio completo, sólo el de los vectores unitarios). Recuerda que

$<br /> \begin{aligned}<br /> \hat{r}&=\hat{i}\cos\theta+\hat{j}\sin\theta \\<br /> \hat{\theta}&=-\hat{i}\sin\theta+\hat{j}\cos\theta<br /> \end{aligned}<br />$

Es exactamente el punto donde me quedo encallado. Pero las condiciones que he proporcionado son bastante particulares y no me acaba de quedar claro. Voy a exponerlo con otras condiciones y todo el razonamiento que sigo. Tenemos:
$<br /> a_{\rho}=-1 , a_{\theta}=0<br />$

Como condiciones iniciales nuevas, supongamos,
$<br /> v_{\rho}=0 , v_{\theta}=1,<br /> r_{\rho}=1 , r_{\theta}=0<br />$

Intuitivamente,deduzco que se trata de una suerte de movimiento de vaivén (ya que como habéis indicado, al ser la aceleración negativa, tiende a ir siempre al origen), al cual he añadido un movimiento angular de velocidad constante.

Como tenemos que,
$<br /> \vec{a}= \frac{d\vec{v}}{dt}<br />$

Puedo decir que,
$<br /> \int_{v_{0}}^v d\vec{v} = \int_0^t \vec{a} dt<br />$

Tal como me indica teclado, paso el vector aceleración a cartesianas para integrar

$<br /> \int_{v_{0}}^v d\vec{v} = \int_0^t (-\hat \imath \cos\theta - \hat\jmath \sin\theta) dt<br />$

y hasta aquí llego. No puedo integrar con respecto del tiempo ya que no tengo la variable tiempo en la ecuación. Sé que $\theta$ depende del tiempo, pero, ¿a partir de qué información lo obtengo? Es decir, ¿cómo obtengo $\theta(t)$ con los datos proporcionados?

Disculpad la insistencia. Tengo una relación amor-odio con las integrales y las ED (más odio que amor).

[Al2000]

Pero eso es un caso común. Usualmente la aceleración no se conoce como función explícita del tiempo, sino más bien de la posición. Esto lleva a tener que resolver una ecuación diferencial.

En el caso que estás planteando tu no conoces la aceleración, por mucho que escribas que es solo radial, eso cuando mucho es conocer el módulo, pues para saber completamente cómo es la aceleración necesitas saber cómo varía el ángulo, pues los vectores unitarios en polares (y cilíndricas y esféricas) dependen del ángulo.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[teclado]

$<br /> \int_{v_{0}}^v d\vec{v} = \int_0^t (-\hat \imath \cos\theta - \hat\jmath \sin\theta) dt<br />$

Te pido disculpas por eso. Te propuse que pasaras a cartesianas un poco más a la ligera de lo que debería, y hoy he comprobado que sólo complica más las cosas.

Lo que dice Al2000 es del todo cierto, siempre vas a tener que resolver una ecuación diferencial que además, no es sencilla en su orma general. Si sigues el camino del principio de mi último post para ver la expresión de la aceleración, debería quedarte algo como lo siguiente:

$\dst \vec{a} = \left [\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\right ]\hat{r} + \left [2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\right ]\hat{\theta}$

El procedimiento para resolver la tayectoria pasaría por igualar cada componente de la aceleración en ambos lados, quedándote un sistema como

$<br /> \begin{aligned}<br /> \ddot{r}-r\dot{\theta}^2&=-1 \\<br /> 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}&=0<br /> \end{aligned}<br />$

O si lo prefieres, en forma de sistema de primer orden:

$<br /> \begin{aligned}<br /> \dot{v_r}-v_{\theta}\dot{\theta}&=-1 \\<br /> \dot{v_{\theta}}+v_r\dot{\theta}&=0<br /> \end{aligned}<br />$

Que no sé ni por dónde coger.

Un saludo.

[snorek]

$<br /> \begin{aligned}<br /> \ddot{r}-r\dot{\theta}^2&=-1 \\<br /> 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}&=0<br /> \end{aligned}<br />$

Un sistema no lineal y no homogéneo. Vaya bicho.Pensaba que había una solución más sencilla. Si consigo resolverlo, pasaré la respuesta. Gracias a todos por la ayuda!!

[teclado]

Un sistema no lineal y no homogéneo. Vaya bicho.Pensaba que había una solución más sencilla. Si consigo resolverlo, pasaré la respuesta. Gracias a todos por la ayuda!!

Dandole vueltas y para que veas que lo he intentado , fíjate en que la segunda ecuación es $2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=\frac{1}{r}\frac{\dd}{\dd t}\left (r^2\dot{\theta}\right )=0$, por lo que lo que hay entre paréntesis en el segundo miembro, que es el momento angular por unidad de masa, se conserva. Como ves esto ocurre con todas las fuerzas dirijidas radialmente desde un punto fijo. Esto ayuda a eliminar $\dot{\theta}$ de la primera ecuación, ya que $l^2=r^4\dot{\theta}^2$ también es constante, y te queda

$r^3\ddot{r} + r^3=l^2$

Que tampoco tengo muy claro cómo resolver, ya que tampoco es lineal, pero que me parece más simple que el sistema del que partimos.

[snorek]

Gracias, teclado. Eres un crack. Yo no sé por donde tirar. He probado de todo. Por si te interesa, este ejercicio lo he sacado de aquí:

http://www.calatayud.uned.es/examene...10870-10SR.pdf

Es un examen de la UNED de Mecánica I. Me parece que es un nivel muy complicado para 1º de carrera en el mismo semestre que das EDs, pero bueno, conociendo a la UNED, no sé de qué me extraño.

[teclado]

Yo pasé un año en la UNED, y por lo general en los examenes hay que ser creativo.

Sé que no es la forma usual de resolver los de este tipo, pero en este caso creo que puedes usar las condiciones iniciales para simplificar el problema. Resumiendo lo que tenemos hasta ahora:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \ddot{r}&=\frac{l^2}{r^3}-1 \\<br /> r^2\dot{\theta}&=l \\<br /> r(0)&=1 \\<br /> \dot{r}(0)&=0 \\<br /> \theta(0)&=0 \\<br /> \dot{\theta}(0)&=1<br /> \end{aligned}<br />$$

Con esto obtiene $l=r^2(0)\dot{\theta}(0)=1$, ya que es constante.

Por otro lado, aplicando la primera ecuación de (1) en este punto,

$\ddot{r}(0)=0$

Si derivas dicha ecuación,

$\dst \dddot{r}=-\frac{3l^2}{r^4}\dot{r}$

Como viene multiplicado por $\dot{r}$, todas las sucesivas derivadas quedarán como una cierta combinación lineal de productos de las derivadas anteriores. Como $\dot{r}(0)=0$ y $\ddot{r}(0)=0$, todas las derivadas de $r$ en $t=0$ son nulas. Esto significa que $r$ es constante, e igual a $r(0)$, es decir,

$r(t)=1$

La trayectoria es un caso muy particular de las soluciones de (1) que da una solución sobre la circunferencia de radio 1.

Volviendo a (1), sólo te queda resolver

$\dst \dot{\theta}=\frac{l}{r^2}=1$

Que tiene una solución tan simple como $\theta(t)=t+C$, que aplicando $\theta(0)=0$, queda finalmente:

$\theta(t)=t$

Espero que le encuentren algún sentido a esto. ¡Avisen de cualquier error que vean!

Saludos.

[snorek]

Parece que has dado en la tecla, teclado jeje. Disculpa la tardanza, he andado algo liado. He comprobado los resultados y son correctos. Lo único que me molestaba un poco es el uso del momento angular, ya que se introduce la variable masa sin que tenga nada que ver con el ejercicio. Por eso, yo he aplicado la velocidad areolar en vez del momento angular. El resto del razonamiento es idéntico al que expones.

¡Mil gracias!

[teclado]

Parece que has dado en la tecla, teclado jeje. Disculpa la tardanza, he andado algo liado. He comprobado los resultados y son correctos. Lo único que me molestaba un poco es el uso del momento angular, ya que se introduce la variable masa sin que tenga nada que ver con el ejercicio. Por eso, yo he aplicado la velocidad areolar en vez del momento angular. El resto del razonamiento es idéntico al que expones.

¡Mil gracias!

Vaya, tienes toda la razón, la $l$ que he usado y que todo el tiempo estuve llamando momento angular en realidad no es tal, si no el módulo del producto vectorial $\vec{r}\times\vec{v}$, que es el doble de la velocidad areolar, pero a efectos del problema lo importante es que es constante. Gracias por el apunte .