Movimiento ondulatorio

[Andress]

Buenas tardes

Aunque la duda es básicamente de estequiometría, me ha surgido en un ejercicio de movimiento ondulatorio.

Aquí tenemos su ilustración




Para mí, F₁A - F₂A = d.
Este resultado lo obtengo al restar los dos rayos como si fueran vectores, considerando que su origen es A. Tan solo resto vectores de forma gráfica, así:




Sin embargo, la solución del problema nos indica que F₁A - F₂A = F₂C
Entiendo este razonamiento, ya que, el triángulo F₁AC es equilátero. Lo sobrante, F₂C, debe ser F₁A- F₂A.

No consigo entender por qué mi planteamiento F₁A - F₂A = d es incorrecto.

[Al2000]

¿Vectores vs módulos?

[teclado]

Hola,

Por el problema entiendo que el contexto es el de la óptica, y lo que piden es la diferencia de caminos ópticos. En los problemas de interferencia (y en todos en los que aparezcan ondas), lo que está relacionado con la fase de una onda no es la posición relativa de dos puntos, si no el recorrido que haya hecho cada uno de los rayos. Esto es las longitudes de las trayectorias.

Recuerda que la función de onda siempre es algo parecido a

$\psi(x,y,z,t)=\psi_0\sin(k_xx+k_yy+k_zz+\omega t+\phi_0)$

La primera parte de la fase, $k_xx+k_yy+k_zz$, es la proyección del vector de posición (respecto al punto con fase $\phi_0$) sobre el vector de número de ondas, que tiene la dirección del rayo (más concretamente, es el producto escalar $\vec{k}\vec{x}$). En el dibujo, los vectores $\vec{F_1A}$ y $\vec{F_2A}$ se encuentran sobre sendos rayos, por lo que son paralelos a cada vector de ondas, y esta parte de la fase es simplemente el producto de los módulos de los vectores de número de ondas y el de posición. Las fases de cada rayo en el punto A, asumiendo que los vectores $\vec{k_1}$ del primer rayo y $\vec{k_2}$ del segundo son iguales en módulo y que las fases iniciales son iguales, se pueden poner como

$<br /> \begin{aligned}<br /> \phi_1 &= k |\vec{F_1A}| + \omega t + \phi_0\\<br /> \phi_2 &= k |\vec{F_2A}| + \omega t + \phi_0<br /> \end{aligned}<br />$

Y la diferencia de fase será

$\Delta\phi = k \left (|\vec{F_2A}|-|\vec{F_1A}| \right )$

Que supongo que es lo que se busca en el problema.

De modo que cuando escribes, por ejemplo F₁A (nota que como tú, no pongo el símbolo de vector arriba), lo que estás representando es una longitud, no un vector. Si haces F₂A-F₁A, estás preguntándote por la diferencia entre las longitudes de los lados del triángulo. En ningún caso tienes que tener en cuenta ningún vector.

Saludos.

PD: Si no ha sido un gazapo, revisa el vocabulario técnico: No creo que la estequiometría tenga mucho que ver en este problema ;-).

[Andress]

Es cierto, para que no haya confusiones: cometí un error, quise decir trigonometría en lugar de estequiometría.

[teclado]

A veces pasa x'D.

[Richard R Richard]

Hola



fíjate que $\overline {AC}=\overline{F_1A}$ si se trata de un frente de ondas

una imagen vale mas que 1000 palabras


Luego $\overline {F_2C}=\overline{F_2A}-\overline{CA}=\overline{F_2A}-\overline{F_1A}$

---

Que gracioso me puse a demostrar lo contrario, una hora después llegue a esta falsa demostración( por supuesto adolece de errores no la tengas en cuenta, pero como ya la había escrito y posteado aprovecho a decir que es incorrecta)

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si

$$\dfrac{x}{\sqrt{D^2+x^2}}=\cos\theta$$

y por pitagoras tienes

$$D^2+x^2=\overline{F_1A}^2$$

$$D^2+(x+d)^2=\overline{F_2A}^2$$

y sabes que

$$(\overline{F_2A}-\overline{F_1A})(\overline{F_2A}+\overline{F_1A})=\overline{F_2A}^2-\overline{F_1A}^2$$

y ademas

$$\overline{F_2A}+\overline{F_1A}\cong 2\overline{F_1A}$$

reemplazando en 4 la 2 y la 3

$$\overline{F_2A}^2-\overline{F_1A}^2=\cancel{D^2}+\cancel{x^2}+2dx+d^2-\cancel{D^2}-\cancel{x^2}=+2dx+d^2$$

si a esto lo dividimos por lo que vale 5

$$\overline{F_2A}-\overline{F_1A}=\dfrac{+2dx+d^2}{2\overline{F_1A}}=\dfrac{+2dx+d^2}{2\sqrt{D^2+x^2}}$$

pero veamos cuando $\theta \to 0 \quad \to d^2<<2dx$ por lo que $d^2$ es despreciable o $d^2\to 0$

entonces

$$\overline{F_2A}-\overline{F_1A}=\dfrac{\cancel{2}d\,x}{\cancel {2}\sqrt{D^2+x^2}}$$

reemplazando lo que vale 1

$$\overline{F_2A}-\overline{F_1A}=d\cos\theta$$

(aqui esta el error no es coseno es seno....)

y cuando $\theta \to 0$ tenemos que $\cos \theta\to 1$

llegando a que

$$\boxed{\overline{F_2A}-\overline{F_1A}\cong d}$$

pero no queria llegar a este resultado quería llegar a $\overline{F_2C}$

[teclado]

Me gustaría añadir un ejemplo en el que me quedé pensando. Estás confundiendo una diferencia de módulos con el módulo de una diferencia. En general, y a menos que los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ tengan la misma dirección y sentido, no se cumple que $|\vec{a}-\vec{b}| = |\vec{a}| - |\vec{b}|$ (igualdad que en el problema se manifiesta en tu propuesta de que $d=F_2A-F_1A$). Por ejemplo, si estos vectores fueran perpendiculares y de la misma magnitud, tendrías $|\vec{a}|-|\vec{b}|=0$, pero $|\vec{a}-\vec{b}|>0$.

Date cuenta de que si $\theta$ fuera 0, los caminos F₁A y F₂A serían iguales, y su diferencia sería 0, lo cual es incompatible con que la diferencia sea la constante d.