1r ciclo Trabajo. Dudas con álgebra y notación

[bruno_uy]

Hola. Últimamente no termino de ponerme claro con la diferencia en la notación entre: $\Delta\vec{r}$ y $d\vec{r}$
Es una duda más que básica..


Tengo entendido que: $\Delta\vec{r} = \vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1)$ con $t_2> t_1$ Es correcto?

Por otro lado:
$d\vec{r}$ = es la derivada del vector r en un instante de tiempo? en realidad la notación sería: $d\vec{r}(t)$? Pero se le llama diferencial.

Pasa que a veces se usa $d\vec{r}$ de otras formas que me confunden, por ejemplo:

Definición de trabajo que hace una fuerza en trasladar una particula de A hasta B:

$W_{AB} = \int_A^{B }\vec{F}.d\vec{r}$
Pero aquí $d\vec{r}$ que viene a ser? Entiendo que es un vector tangente a la trayectoria, pero una derivada no es porque no dice respecto a que.

[Weip]

Re: Trabajo. Dudas con álgebra y notación

Tengo entendido que: $\Delta\vec{r} = \vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1)$ con $t_2> t_1$ Es correcto?

Correcto. Lo de $t_2>t_1$ en realidad no haría falta exigirlo pero bueno no sé como te lo explican en clase.

$d\vec{r}$ = es la derivada del vector r en un instante de tiempo? en realidad la notación sería: $d\vec{r}(t)$? Pero se le llama diferencial.

No, en mecánica newtoniana $d\vec{r}$ no es una derivada sino el diferencial de la función $\vec{r}(t)$. Se calcula así: $d\vec{r}=\vec{r}`(t)\Delta t=\vec{r}'(t)dt$ (una cosa, $\vec{r}`(t)$ es una derivada lo que pasa es que la comilla no se ve muy bien). En otras asignaturas a lo mejor te encuentras que se utiliza $d$ para la derivada pero en principio no es la convención que se usa en mecánica newtoniana.

Definición de trabajo que hace una fuerza en trasladar una particula de A hasta B:

$W_{AB} = \int_A^{B }\vec{F}.d\vec{r}$
Pero aquí $d\vec{r}$ que viene a ser? Entiendo que es un vector tangente a la trayectoria, pero una derivada no es porque no dice respecto a que.

Aquí es mera notación para escribir la integral de línea de un campo vectorial. Fíjate que en realidad ese producto escalar es "ilegal" por decirlo de alguna manera, por eso digo que es pura nomenclatura.

Hay que tener presente que en las derivadas y en las integrales los típicos $dx$ y $dy$ no son operacionales, solo indican respecto a qué variable se deriva/integra. Las manipulaciones que puedes ver en la literatura de este tema son reglas nmemotécnicas que simplifican tanto el cálculo como la interpretación física de las ecuaciones.

[Al2000]

Re: Trabajo. Dudas con álgebra y notación

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Tengo entendido que: $\Delta\vec{r} = \vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1)$ con $t_2> t_1$ Es correcto?

Por otro lado:
$d\vec{r}$ = es la derivada del vector r en un instante de tiempo? en realidad la notación sería: $d\vec{r}(t)$? Pero se le llama diferencial.
...

No le hagas caso a Weip, que él es un matemático y los matemáticos no saben nada de la matemática que se usa en ingeniería jajajaja Confórmate con la idea de que $\dst d \vec r = \lim_{\Delta t \to 0} \Delta \vec r$, en otras palabras, un $\Delta \vec r$ tan pequeño como te dé la gana.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[visitante20160513]

Re: Trabajo. Dudas con álgebra y notación

Tampoco, $\mathbf{dr}(t)$ es el diferencial del vector posición de un móvil que se mueve con la trayectoria $\mathbf r(t)$ y que por lo tanto es un vector cuyas componentes son (dx,dy) y por lo tanto es tangente a la trayectoria, pero no necesariamente es tan pequeño como queramos porque eso significaría que es nulo y tal cosa no es verdad. Me explico, si admitimos que:

$\mathbf{dr} = \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0} \mathbf{\Delta r}$

resultaría que $\mathbf{dr}=0$ porque:

$\displaystyle\lim_{\Delta t \to 0} \mathbf{\Delta r}=\lim_{t_2 \to t_1}\mathbf r(t_2)-\mathbf r(t_1)=0$

si admitimos que la trayectoria del móvil es una curva continua y diferenciable, como debe de ser para partículas materiales. Así pues debemos aceptar que:

$\mathbf {dr}=(dx,dy)=(\dot x,\dot y)dt$

pero nunca toma valores infinitesimales ya que los números infinitesimales no existen en el conjunto de los números reales, sino que toma valores finitos. Los valores que toman $dx, dy, dt$ son números reales y finitos. Ocurre que como los elementos diferenciales se utilizan habitualmente en procesos de integración, siempre en dichos procesos se hacen tender a 0 sus valores, pero cuando hablamos de diferenciales puros sus valores son números reales tan finitos como puedan serlo los valores que toman las funciones a las que se aplican.

Salu2, Jabato.

- - - Actualizado - - -

Espero haberte aclarado las dudas y no haberte liado más de lo que ya estabas.

Salu2, Jabato.

[bruno_uy]

Re: Trabajo. Dudas con álgebra y notación

Bien, en resumen creo que me sirve lo siguiente:
$\Delta\vec{r} = \vec{r}(t_2) - \vec{r}(t_1)$

$\vec{r}{\prime}(t) = d\vec{r}(t)/dt$ donde a $\vec{r}{\prime}(t)$ se le llama derivada primera de $d\vec{r}(t)$ se le llama diferencial.
A $dt$ también se llama diferencial supongo, pero en este caso es de un escalar no de un vector.

Luego, como se vincula $d\vec{r}$ con $\Delta\vec{r}$? Usamos la expresión $d\vec{r}$ cuando un $\Delta\vec{r}$ tiene a cero.

Sobre lo que dijo Jabato que si hace las cuentas en realidad el límite da cero. Un profesor de Física de manera jocosa sobre eso dijo que en realidad es cuando tiende a cero no cuando es igual a cero, sino se deprime y se va a la casa porque no podía hacer más nada con la física. Que había que tomarlo así, solo pensar que es tan chico como se quiera pero no igual a cero.

A continuación y relacionado con esto, tengo una duda sobre álgebra de integrales.
Considero el trabajo que hace una fuerza $\vec{F}$ constante sobre una partícula que va desde A hasta B

Entonces: (el "." significa producto escalar, y el vector $\vec{d}$ es desplazamiento)

$W_{AB} = \displaystyle\int_{A}^{B}\vec{F}.d\vec{r} = \vec{F}.\displaystyle\int_{A}^{B}d\vec{r} = \vec{F}.(r(B)-r(A)) = \vec{F}.\vec{d}_{AB}$

Ahora, tengo ganas de llegar al mismo resultado pero haciendo las cuentas con las componentes en lugar de con los vectores:

$W_{AB} = \displaystyle\int_{A}^{B}F_xdx + F_ydy= \displaystyle\int_{A}^{B}F_xdx + \displaystyle\int_{A}^{B}F_ydy = F_x\displaystyle\int_{A}^{B}dx + F_y\displaystyle\int_{A}^{B}dy$

Ahora como calculo:

$\displaystyle\int_{A}^{B}dx = ??$

$\displaystyle\int_{A}^{B}dy = ??$

No entiendo bien que significa la integral de una diferencial que a su vez es escalar.

[Al2000]

Re: Trabajo. Dudas con álgebra y notación

$\dst \int_{A}^{B}\!\! dx = x_B - x_A, \,\, \int_{A}^{B}\!\! dy = y_B - y_A$

$W_\text {AB} = F_x (x_B-x_A) + F_y (y_B - y_A) = \vec F \cdot \overrightarrow {\text {AB}}$

Saludos,

$\mathcal A \ell$