Un hipotético hombre de Vitruvio en el centro de la Tierra.

[Richard R Richard]

Hola aquí va el código del calculo de la integral

Private Sub Command1_Click()
Const G = 6.67408E-11 ' constante de gravitacion universal
Const Mt = 5.9736E+24 ' masa de la tierra
Const Rt = 6371000 'radio de la tierra
Const Pi = 3.14159265358979
' por algún método de entrada tengo que introducir el radio al que esta centrada la esfera lo introduje con r.text lo puse como Rt/2
'lo mismo con el diámetro de la esfera d.text unos 200000 m
' el angulo fuera del eje entre centro tita.text he probado con 45 y 225 grados , opuesto e inclinados
' el porcentaje respecto al radio de la esfera que me alejo, para tomar la gravedad.... supuse un 90%

paso = 50000 ' cantidad de metros de lado de un cubo, para calcular la gravedad producida por ese cubo
'respecto del punto de análisis, pasos mas chicos son mas precisos, pero tienen mas horas de pc, esto lleva 5 min de calculo

den = Mt / (4 / 3 * Pi * Rt ^ 3) ' densidad de la tierra
gx = 0 ' contadores a cero
gy = 0
gz = 0
' calculo de la posicion del punto de analisis (cdbl convierte texto en numeros)
x = CDbl(d.Text) / 2 * Cos(Pi * CDbl(Tita.Text) / 180) * CDbl(descentro.Text) / 100 + CDbl(r.Text)
y = CDbl(d.Text) / 2 * Sin(Pi * CDbl(Tita.Text) / 180) * CDbl(descentro.Text) / 100
z = 0
'bucles para establecer si el cubo aporta o no gravedad
For a = -Rt To Rt Step paso
For b = -Rt To Rt Step paso
For c = -Rt To Rt Step paso
pt = Sqr(a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2)
If pt <= Rt Then
              corr = a - CDbl(r.Text)
              ph = Sqr(corr ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2)
              If ph >= CDbl(d.Text) / 2 Then
                             gx = gx + (a - x) / (Sqr((a - x) ^ 2 + (b - y) ^ 2 + (c - z) ^ 2)) ^ 3
                             gy = gy + (b - y) / (Sqr((a - x) ^ 2 + (b - y) ^ 2 + (c - z) ^ 2)) ^ 3
                             gz = gz + (c - z) / (Sqr((a - x) ^ 2 + (b - y) ^ 2 + (c - z) ^ 2)) ^ 3
              End If
End If
Next c
Next b
Next a
gx = gx * G * den * paso ^ 3
gy = gy * G * den * paso ^ 3
gz = gz * G * den * paso ^ 3

' presento datos

Label5.Caption = "gx= " & gx
Label6.Caption = "gy= " & gy
Label7.Caption = "gz= " & gz


End Sub

He probado de varias maneras y siempre llego a lo mismo , g no es constante, y apunta no al centro pero si para allí, no permanece con dirección constante para cualquier punto de dentro de la esfera hueca.

[Eludio]

···
Fíjate que por superposición tienes que tener en cuenta solo la masa en el interior de $r$ y restarle la de interior de $r_2$ que como no esta centrada es lógico que no apunte en dirección al centro desde $r_1$

Es cierto que tal como se plantea el problema en el vídeo, no se tienen en cuenta las masas de los anillos esféricos por encima de r (caso del planeta) y por encima de r₂ en el caso de la esfera de densidad (o masa) negativa. Para conseguir la bola hueca han de tenerse en cuenta. Pero si las tenemos en cuenta, haciendo una superposición de 4 elementos en vez de dos (los dos ya planteados en el video más los dos anillos esféricos, ya se tiene lo que se busca (una bola hueca de radio r₃). Al ser las contribuciones al campo gravitatorio de estos dos anillos esféricos nulas al punto en r₂, pues es quizás por eso que ni se plantean en la superposición. Es por eso que el valor del campo gravitatorio obtenido es correcto.

[Richard R Richard]

La contribucion es nula para la esfera centrada, pero nuestro hombre descentrado, no le sucede lo mismo.


veamos en que falla mi razonamiento de ser así, una esfera hueca tendría que crear una hipotética resta de gravedad, o de sentido contrario , proporcional a la diferencia radial respecto del hueco, eso lo vemos en A.
si le agrego mas hueco centrado, hasta el limite la gravedad no cambia, B
si agrego una capa externa igual a la diferencia en radio desde el centro del hueco, a la superficie de la tierra, la gravedad continua siendo la misma C
pero ahora agrego mas tierra en una dirección determinada , el vector la gravedad sumada cambia, D , ustedes dicen que la componente vertical de la gravedad creada por el casquete oscuro es menor que el casquete claro , por eso se compensan y la gravedad es paralela a RT1
pero fíjense que pasa si varias la masa y el radio concentricamente a la tierra, la resta de componentes entre casquetes no es constante, en cambio la contribución del hueco si lo es , luego, la gravedad , no puede ser ni constante, y ni siquiera es paralela a RT1 ni a RT2... aunque así lo he dibujado para el debate.

[Eludio]

Como ya dije, este aspecto del resultado es el más contraintuitivo (de ser cierto). Yo no consigo visualizarlo.
Este último e interesante razonamiento tuyo me lo voy a estudiar, pero insisto en el principio de superposición. Éste dice que la gravedad en un punto es la suma de todas las contribuciones por separado. Si sumo las cuatro bloques que te he dicho, independientemente de si nuestro hombre está centrado o no, obtengo el valor de gravedad total en el punto que ocupa.

NOTA: En los dibujos D y E (tal como los has dibujado), la distancia entre el centro del planeta y el del hueco no es constante, cambia, por lo que cambia g. Se vería más claro si los dibujases manteniendo esa distancia constante...

[Richard R Richard]

Ya hay algo de lo que vengo diciendo, que no me viene cerrando, cuando las evidencias me abrumen tirare la toalla y habré aprendido algo nuevo,
Veo que si incremento la masa cambia g , pero en realidad buscaba que al cambiar la posición cambie el angulo de g,
Como es lento el proceso de cálculo mas o menos preciso, todavía , no te he dado la derecha, es lógico que no pueda ir en contra del principio de superposición, pero mantengo reserva si esta bien aplicado, Ya AL2000 me pasó los links, para tocar bocina, "mira en que te metes", y el calculo de $g=f(\vec a)$ ya lo tengo digerido, pero me cuesta entender porque sí sucede dentro del planeta y porque no fuera.

Así que con estos gráficos no pruebo nada

[teclado]

Hola aquí va el código del calculo de la integral

He probado de varias maneras y siempre llego a lo mismo , g no es constante, y apunta no al centro pero si para allí, no permanece con dirección constante para cualquier punto de dentro de la esfera hueca.

Hola de nuevo Richard.

Sobre el código que has puesto, no le veo ningún fallo, y yo lo daría por bueno al margen de que no estás estimando el error cometido de ninguna manera, cosa que creo que es lo que te ha generado la confusión. No reconozco el lenguaje que usas, pero lo he transcrito a Python:

#!/usr/bin/python3
from math import acos, sin, cos, sqrt


"""
Constantes
"""
G = 6.67408e-11 # Constante de gravitacion universal (N m^2 / kg^2)
Mt = 5.9736e+24 # Masa de la Tierra (kg)
Rt = 6.371e6 # Radio de la Tierra (m)
Pi = acos(-1) # Pi

"""
Hueco
"""
a = Rt / 2.0 # Distancia entre el centro de la esfera y el centro del hueco
rh = 1.0e5 # Radio del hueco
th = 45 # Ángulo que subtiende el punto en el que se realiza el cálculo y el eje X respecto al centro del hueco
dh = 0.9 # Fracción del radio del hueco que separa el centro del mismo del punto en el que se obtiene el resultado

"""
Parámetros
"""
divisiones = 100

"""
Pârámetros calculados
"""
den = Mt / (4.0 / 3.0 * Pi * Rt * Rt * Rt) # Densidad de la Tierra
x0 = a + rh * dh * cos(Pi * th / 180.0)
y0 = rh * dh * sin(Pi * th / 180.0)
z0 = 0.0

"""
Inicialización
"""
gx = 0.0
gy = 0.0
gz = 0.0

for i in range(divisiones + 1):
    for j in range(divisiones + 1):
        for k in range(divisiones + 1):
            x = (i / divisiones - 0.5) * Rt * 2.0
            y = (j / divisiones - 0.5) * Rt * 2.0
            z = (k / divisiones - 0.5) * Rt * 2.0
            dt = sqrt(x*x + y*y + z*z) # Distancia al centro de la Tierra
            if dt <= Rt:
                dh = sqrt((x-a)*(x-a) + y*y + z*z) # Distancia al centro del hueco
                if dh >= rh:
                    dx = x - x0
                    dy = y - y0
                    dz = z - z0
                    d = sqrt(dx*dx + dy*dy + dz*dz)
                    d3 = d * d * d
                    gx += dx / d3
                    gy += dy / d3
                    gz += dz / d3

gx *= G * den * Rt * Rt * Rt / divisiones / divisiones / divisiones
gy *= G * den * Rt * Rt * Rt / divisiones / divisiones / divisiones
gz *= G * den * Rt * Rt * Rt / divisiones / divisiones / divisiones

print("gx = " + str(gx))
print("gy = " + str(gy))
print("gz = " + str(gz))

Ejecutándolo tal cual (con 100 subdivisiones del cubo de lado igual al diámetro de la Tierra) me da las siguientes componentes:

gx = -0.6180610430944228
gy = -0.00397699084004421
gz = -1.5578140270149839e-18

Es notable que gz es minúsculo, y podríamos asumir que es 0. A mi modo de ver, lo que está pasando con gy es que en tu código original tienes un paso demasiado grande. Estás usando un paso de 50 000 m, lo que da lugar a que estés empleando 255 subdivisiones en cada eje.

Con 1 000 subdivisiones (me ha tardado 30 minutos, por lo que calculo que añadir un 0 a esta cantidad haría que tarde 20,8 días, y no estoy dispuesto a esperar tanto ;-)), el resultado ha sido el siguiente:

gx = -0.6139721077493108
gy = -7.876830280999874e-05
gz = -5.436518106361869e-08

El valor de gx ha permanecido casi igual, ya que lo único que ha hecho es ganar precisión. Sin embargo gy ha disminuido en dos órdenes de magnitud, lo que me hace pensar que si tuviéramos más precisión y paciencia obtendríamos cada vez valores más cercanos a 0. Lo de que haya aumentado gz lo achaco a casualidades en la distribución del mayado, pero esperaría que también se mantenga cercano a 0 y disminuyendo con el número de subdivisiones.

Por otro lado, con 254 subdivisiones el resultado ha sido:

gx = -0.6179520904665419
gy = -5.854614706026335e-06
gz = 2.4999712194565737e-06

Y con 255:

gx = -0.6139953516540088
gy = -0.0002492168596144752
gz = 6.8475685984647096e-18

Un resultado tan sensible al número de subdivisiones como el de gy y gz no puede ser concluyente, y debería tomarse como cota superior. Habría que aumentar el número de subdivisiones mucho para tener un valor mínimamente aceptable (por supuesto lo ideal sería poder estimar el error del cálculo, en lo que no me voy a parar ahora porque no sabría ni por dónde empezar).

PD: Ahora en serio, ¿qué lenguaje es el que usaste? ;-).

PDD: Nótese que los valores numéricos no son del todo correctos debido a un error en el último grupo de multiplicaciones. Las líneas correctas son

gx *= G * den * Rt * Rt * Rt / divisiones / divisiones / divisiones * 8
gy *= G * den * Rt * Rt * Rt / divisiones / divisiones / divisiones * 8
gz *= G * den * Rt * Rt * Rt / divisiones / divisiones / divisiones * 8

[Eludio]

teclado, la integral que planteas, ¿no se puede descomponer en una resta de dos integrales?: Hacer una para la contribución a $\vec{g}$ de toda la esfera planetaria y restarle otra integral con la contribución de la la esfera correspondiente al hueco, por lo que obtendríamos exactamente lo mismo que con el planteamiento del vídeo (superposición).

$\displaystyle\iiint_{V}\frac{\vec{r}-\vec{r_0}}{|\vec{r}-\vec{r_0}|^3}\rho\dd V = \iiint_{V_{planeta}}\frac{\vec{r}-\vec{r_0}}{|\vec{r}-\vec{r_0}|^3}\rho\dd V - \iiint_{V_{hueco}}\frac{\vec{r}-\vec{r_0}}{|\vec{r}-\vec{r_0}|^3}\rho\dd V$

[Richard R Richard]

Es precisamente eso lo que hacemos, por un lado evaluamos que cada cubo pertenezca a la esfera mayor, y a la vez que no pertenezca a la esfera menor descentrada. solo sumamos contribución en caso afirmativo.
Si haces las dos integrales el tiempo de ejecución es el doble.

[Eludio]

No lo digo para que las calculéis, sino porque una vez descompuesta en dos integrales cuyos resultados ya son harto conocidos, solo tenemos que hacer la resta de los mismos sin realizar la integración numérica. Eso es lo en definitiva hace el vídeo: Restar el resultado (conocido) de esas dos integrales.
Es que, de hecho, integrar no deja de ser aplicar el principio de superposición a cada punto infinitesimal de masa...

NOTA: Agradezco y sigo con sumo interés tu intento de visualizar de alguna manera este efecto de las direcciones paralelas. No lo considero en absoluto tiempo perdido. Aunque pueda parecer que estoy seguro del resultado que expresé, yo tampoco lo veo claro del todo, me haces dudar... xD.

[Richard R Richard]

Yo lo programe en Visual basic, 6.0 es arcaico y lento , pero es lo que mas conozco.

El tema es que cuando aumentas el numero de divisiones, al doble, el tiempo de ejecución se multiplica por 8, por eso busqué , unos cubos grandes, pero por sobretodo que el tamaño del cubo, sea, al menos un orden menor o mejor 2 al del radio del hueco.
fíjate que 256 divisiones son cubos de 50 km de largo... revisa porque con esos datos a mitad de camino en el radio de la tierra gx debe rondar la mitad de $g \cong 5 m/s^2$ no 0.61 y si debe darte negativa por el sistema de referencia que hemos tomado, el hueco hacia la derecha y gravedad hacia la izquierda. A vista de pájaro no he visto nada mal, quizá sea la conversión en la que divides por lel numero de divisiones y en realidad es un ajuste de unidades debes dividir por las divisiones que hay en un km (al cubo).

Reitero el problema pero por el ángulo a las antípodas dentro del hueco 225° , alli veras que gz se mantiene estable cerca de 0, si no es cero es por errores de precisión de la máquina conque este en 1e-18 esta bien, eso es lo que supongo que le estamos errando también en las sumas de gx y gy,
pero si cambias como dije el ángulo veras que gy invierte el signo, por eso , si mejoramos la precisión reduciendo el tamaño de los cubos, si ambas medidas de las componentes de gy tienden a 0 , entonces Eludio lleva la razón, y me estaré enterando que en cualquier cueva será imposible notar la fuerza de marea- Además que Einstein, se ha matado pensando como evitarla , para validar su principio de equivalencia, ya que en un hueco cerrado , no podríamos saber si estas acelerando con g(r), o bien estas en un hueco en la tierra.
y la verdad que ese experimento en el interior o exterior de la tierra debe arrojar los mismos resultados existe la fuerza de marea, por eso sigo dando batalla.

[teclado]

Claro Eludio , estamos en las mismas. Lo propuse porque cuando me entran dudas suelen resolvérseme con la solución "a lo bruto". Después de proponerlo pasé un rato intentando hacer la integración directamente, pero perdí la paciencia. De la simetría cilíndrica, al final debería quedar, por cada componente del campo una integral como

$\dst I = \iint f(r,z)\dd r\dd z$

Para integrar sobre r, habría que distinguir tres regiones en función de z:

$\dst I = \int_{-R}^{a-R_h}\dd z \int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}\dd r f(r,z) + \int_{a-R_h}^{a+R_h}\dd z\int_{\sqrt{R_h^2-(z-a)^2}}^{\sqrt{R^2-z^2}}\dd r f(r,z) + \int_{a+R_h}^{R}\dd z \int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}\dd r f(r,z)$

Atendiendo a la segunda,

$\dst I_2 = \int_{a-R_h}^{a+R_h}\dd z\int_{\sqrt{R_h^2-(z-a)^2}}^{\sqrt{R^2-z^2}}\dd r f(r,z) = \int_{a-R_h}^{a+R_h}\dd z\int_0^{\sqrt{R^2-z^2}}\dd rf(r,z) - \int_{a-R_h}^{a+R_h}\dd z\int_0^{\sqrt{R_h^2-(z-a)^2}}\dd rf(r,z)$

Con lo que al final queda

$\dst I = \int_{-R}^{R}\dd z \int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}\dd r f(r,z) - \int_{a-R_h}^{a+R_h}\dd z\int_0^{\sqrt{R_h^2-(z-a)^2}}\dd rf(r,z)$

Que es lo mismo que aparecería haciendo lo que propones.

La verdad es que me arrepiento bastante de haberlo propuesto, porque me llevó un buen rato darme por vencido con esta manera de resolver el problema y francamente espero que nadie lo haya intentado por su propio bien xP.

Un saludo.

[teclado]

Yo lo programe en Visual basic, 6.0 es arcaico y lento , pero es lo que mas conozco.

El tema es que cuando aumentas el numero de divisiones, al doble, el tiempo de ejecución se multiplica por 8, por eso busqué , unos cubos grandes, pero por sobretodo que el tamaño del cubo, sea, al menos un orden menor o mejor 2 al del radio del hueco.
fíjate que 256 divisiones son cubos de 50 km de largo... revisa porque con esos datos a mitad de camino en el radio de la tierra gx debe rondar la mitad de $g \cong 5 m/s^2$ no 0.61 y si debe darte negativa por el sistema de referencia que hemos tomado, el hueco hacia la derecha y gravedad hacia la izquierda. A vista de pájaro no he visto nada mal, quizá sea la conversión en la que divides por lel numero de divisiones y en realidad es un ajuste de unidades debes dividir por las divisiones que hay en un km (al cubo).

Correcto, tenía un error cuando multiplicaba por el volumen de uno de los elementos cúbicos de un factor de 8, estaba multiplicando por el radio de la Tierra y no por su diámetro. Lo corrijo para que no haya confusiones.

Dicho sea de paso, lo he reescrito en C y, en contraste con los 30 minutos que me tardó en Python con 1000 subdivisiones, ahora me ha tardado 7 minutos con 2500. Lo añado al post por si alguien quiere probarlo:

#include <stdio.h>
#include <math.h>

const double G = 6.67408e-11; // Constante de gravitacion universal (N m^2 / kg^2)
const double Mt = 5.9736e+24; // Masa de la Tierra (kg)
const double Rt = 6.371e6; // Radio de la Tierra (m)
const double Pi = acos(-1.0); // Pi

const double dc = Rt / 2.0; // Distancia entre el centro de la esfera y el centro del hueco
const double rh = 1.0e5; // Radio del hueco
const double th = 45.0; // Ángulo que subtiende el punto en el que se realiza el cálculo y el eje X respecto al centro del hueco
const double dh = 0.9; // Fracción del radio del hueco que separa el centro del mismo del punto en el que se obtiene el resultado

const int divisiones = 2500;

const double den = Mt / (4.0 / 3.0 * Pi * Rt * Rt * Rt); // Densidad de la Tierra

int main(int nargs, char **argv)
{
double _x0 = dc + rh * dh * cos(Pi * th / 180.0);
double _y0 = rh * dh * sin(Pi * th / 180.0);
double _z0 = 0.0;

double gx = 0.0;
double gy = 0.0;
double gz = 0.0;

double x, _x, y, z;
double dx, dy, dz;
double dt, dh;
double d, d3;

double _divisiones = (double) divisiones;

int i, j, k;
for (i=0; i<=divisiones; i++)
{
x = (((double) i) / _divisiones - 0.5) * Rt * 2.0;
dx = x - _x0;
_x = x - dc;
for (j=0; j<=divisiones; j++)
{
y = (((double) j) / _divisiones - 0.5) * Rt * 2.0;
dy = y - _y0;
for (k=0; k<=divisiones; k++)
{
z = (((double) k) / _divisiones - 0.5) * Rt * 2.0;
dt = sqrt(x*x + y*y + z*z); // Distancia al centro de la Tierra
if (dt <= Rt)
{
dh = sqrt(_x*_x + y*y + z*z); // Distancia al centro del hueco
if (dh >= rh)
{
dz = z - _z0;
d = sqrt(dx*dx + dy*dy + dz*dz);
d3 = d * d * d;
gx += dx / d3;
gy += dy / d3;
gz += dz / d3;
}
}
}
}
}

gx *= G * den * Rt * Rt * Rt / _divisiones / _divisiones / _divisiones * 8.;
gy *= G * den * Rt * Rt * Rt / _divisiones / _divisiones / _divisiones * 8.;
gz *= G * den * Rt * Rt * Rt / _divisiones / _divisiones / _divisiones * 8.;

printf("gx = %g\n", gx);
printf("gy = %g\n", gy);
printf("gz = %g\n", gz);
}

Se puede compilar con GCC con algo como

gcc -o vitruvio.exe vitruvio.c -lm

(hay que ejecutarlo desde consola).

Los resultados que me ha dado esta vez son los siguientes:

gx = -4.91106
gy = 7.97334e-05
gz = -1.09225e-07

Ahora sí, en m/s².

Nota que ahora gy me ha cambiado de signo. Valga la redundancia, el valor no tiene valor.

[Eludio]

Con estos resultados parece que la fórmula es cierta, ¿no? la gx es igual a la de la fórmula (4.9111 con los datos que usáis) y las componentes gy y gz con casi nulas.

[Richard R Richard]

Al final lo ejecute en Phyton

	gx	gy	gz
100 div +45°	-4.944488344755382	-0.03181592672035368	-1.2462512216119871e-17
100 div+225°	-4.880575064295893	0.031821081391585265	3.4189618051934793e-18
1000 div +45°	-4.911776861994486	-0.00063014642247999	-4.3492144850894953e-07
1000 div+225°	-4.910516146525201	0.0006293004069578116	-4.415911527223542e-07

Si gy cae con el numero de divisiones... tengo que convencerme, porque el error crece 10 ordenes, y ya esta cerca de valor significativo, aún tienen signos opuestos, pero convergen

[Anaximandro22]

En efecto, no importa el tamaño del hueco interior. Si imaginas un punto dentro del hueco alejado del centro una cierta distancia, digamos hacia arriba, habrá más masa tirando de él hacia abajo que hacia arriba, pero la ley de la inversa del cuadrado de la distancia hace que las fuerzas en cada dirección se anulen exactamente

De acuerdo con esto , como no puede ser de otra manera , pero en este caso difiero en lo que se refiere a la aplicación de la ley del cuadrado de la distancia y me explico :

Si bien , como se ha dicho

la gravedad en un planeta que tiene densidad constante, crece proporcionalmente con el radio

, en este caso que se plantea inicialmente tenemos un radio determinado e invariable de un planeta y lo que cambia es la posición de una esfera hueca en su interior.

Quiero decir con esto , y si me equivoco me corrigen , que en el ejemplo propuesto de una esfera hueca descentrada en el interior de un planeta de masa homogénea no se ha tenido en cuenta en las explicaciones expuestas la masa del planeta que se encuentra entre la esfera hueca y la superficie del mismo.

Dicha masa , cuya forma es la de un casquete esférico cuya altura h es la distancia desde la esfera hueca hasta la superficie del planeta , actuará sobre cualquier objeto situado en el interior del hueco tirando de él hacia la superficie del planeta , en dirección radial , pero con sentido contrario a la fuerza de gravedad que atrae a dicho objeto hacia el centro del planeta .

El mencionado casquete , puesto que siempre será inferior a ½ del volumen del planeta ( y de la masa , puesto que la densidad la consideramos homogénea ) ejercerá una gravedad cuyo módulo siempre será menor al que corresponde al resto de masa del planeta , con la misma dirección radial , pero de sentido contrario , por lo que el sentido de atracción resultante será siempre hacia el centro del mismo , pero debido a la presencia de la masa que forma ese casquete esférico ya no será una función lineal , puesto que tenemos un elemento que no se había considerado hasta ahora en la formulación de los cálculos que se han expuesto , pues como se ha dicho :

Así que si esta descentrada la gravedad será solo la que cree toda la masa del planeta cuya distancia al centro este por debajo del radio donde se halla tu hombre de Vitruvio.

Por otra parte , puesto que entre el casquete esférico y el resto de masa del planeta no hay distancia , no será de aplicación la ley del cuadrado de la distancia.

No sé si voy bien...pero en cualquier caso agradezco mucho el tiempo que han empleado en las explicaciones y desarrollos , los cuales he seguido con atención.

Disculpad mi redundancia al repetir tanto la palabra "planeta" , pero quería evitar ambigüedades.

[teclado]

Quiero decir con esto , y si me equivoco me corrigen , que en el ejemplo propuesto de una esfera hueca descentrada en el interior de un planeta de masa homogénea no se ha tenido en cuenta en las explicaciones expuestas la masa del planeta que se encuentra entre la esfera hueca y la superficie del mismo.

Dicha masa , cuya forma es la de un casquete esférico cuya altura h es la distancia desde la esfera hueca hasta la superficie del planeta , actuará sobre cualquier objeto situado en el interior del hueco tirando de él hacia la superficie del planeta , en dirección radial , pero con sentido contrario a la fuerza de gravedad que atrae a dicho objeto hacia el centro del planeta .

Volviendo al principio del hilo, la contribución de este casquete esférico es nula en su interior. Vuelves al problema del campo gravitatorio dentro de una esfera con hueco concéntrico. La masa de este casquete sí se ha tenido en cuenta, pero el resultado ha sido que no contribuye al campo.

Donde se ha dicho "Así que si esta descentrada la gravedad será solo la que cree toda la masa del planeta cuya distancia al centro este por debajo del radio donde se halla tu hombre de Vitruvio." no se ha sido del todo exacto. Esto sólo se cumple en el caso de que la esfera sea maciza y no en una esfera con un hueco descentrado. Si la esfera fuera una pequeña esfera imaginaria en medio del espacio exterior vacío sin que se intersecte con el planeta, el campo no será nulo, y se debe por completo a masa que hay fuera de la esfera.

Por otra parte , puesto que entre el casquete esférico y el resto de masa del planeta no hay distancia , no será de aplicación la ley del cuadrado de la distancia.

¿No hay distancia entre el casquete y el resto de masa del planeta? Puede que no la haya entre sus superficies, pero hablamos de un punto general de cada parte (del casquete y del resto), entre los que siempre hay cierta distancia.

[Eludio]

Dándole vueltas a la integración directa, mirando la manera de hacer una sola integral de zona única y con los límites de integración fáciles, he encontrado una en coordenadas esféricas para el caso en que la bola hueca es tangente a la superficie del planeta y colocando el origen de coordenadas en dicho punto de contacto. Otro cantar es el integrando, que sale bastante complicado...

NOTA: Si hago el caso general, con el centro de coordenadas coincidiendo con el centro de la bola hueca, también es de zona única, pero los límites de integración se complican.

$\dst \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\int_{2r_h\cos(\phi)}^{2R\cos(\phi)} f(r,\phi,\theta) \dd r\dd\phi\dd \theta$

Con $r_h=\text{ radio de la bola hueca y }R=\text{radio del planeta}$

[Anaximandro22]

He estado observando los razonamientos y cálculos , aunque tengo que volver a ver todo esto con más detenimiento , pero sobre todo quería expresar - creo que no está fuera de lugar - que el tema se ha puesto realmente interesante.