1r ciclo Velocidad de caída por una semicircunferencia

[juliana prada]

Se suelta un bloque de masa m, desde el reposo, desde la parte más alta de una superficie semicircular de radio R y sin fricción, como se muestra en la figura. El bloque se desliza sobre la superficie. La velocidad del bloque en el momento en que pierde contacto con la superficie semicircular es:

[Alriga]

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Creo que el problema que has intentado plantear está resuelto en este otro hilo:

Re: Objeto que cae sobre una semiesfera



El objeto se supone puntual y que se desliza sin rozamiento desde el punto más alto de la cúpula semiesférica.

Si no hay rozamiento, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que desliza son el Peso y la Normal que ejerce la superficie sobre el cuerpo. Si "A" es el ángulo polar medido desde la vertical, ($A=90\º - \phi$ en tu dibujo), descomponiendo el peso en una componente radial y otra tangencial, y planteando que la componente radial de la Fuerza total es igual a la masa por la aceleración centrípeta se obtiene:

$$m g \cos A - N= m \left (\dfrac{v^2}{R}\right )$$

Por otro lado, de la conservación de la energía, ( $U_0=m g R$ = energía potencial inicial cuando el objeto está quieto en el punto más alto)

$U_0=U+E_c$

$mg \ R=mg \ R \cos A +\dfrac 1 2 m v^2$

Despejando el cuadrado de la velocidad:

$$v^2=2 g R \ (1- \cos A)$$

Sustituyendo (2) en (1) y operando para despejar la fuerza normal:

$N=m g \ (3 \cos A -2)$

Despegará de la cúpula hemisférica cuando la fuerza normal sea nula, N=0

$\cos A=\dfrac 2 3$

A = 0.8411 rad = 48,19º

$\boldsymbol{\phi}$ = 0.7297 rad = 41.81º

La distancia recorrida es un arco de circunferencia:

$a=A \cdot R=0.8411 \cdot 3= 2,52 m$

Saludos.

PD: Si la cúpula no es esférica, ver resolución caso curva general aquí: Caída deslizando por una cúpula: condición de despegue

PD: Si en vez de ser un cuerpo puntual que desliza, el objeto es una esfera que baja rodando sin deslizar, ver este hilo: Problema cinemática: esfera que rueda sobre otra esfera

A partir de la expresión (2) se obtiene el módulo de la velocidad. Si quieres calcular el ángulo de la velocidad, al ser ésta tangencial a la esfera, observa que el ángulo del vector velocidad con la horizontal es -A.

Repásalo y si tienes alguna duda, vuelve a preguntar.

Saludos y de nuevo, bienvenida.