Otras carreras Ángulos de Euler y cosenos directores

[Visitante]

Hola muy buenas, alguién me puede explicar qué relación existe entre los cosenos directores y los ángulos de Euler? En un ejercicio me dan la matriz de cosenos directores y me piden los ángulos y parámetros de Euler. Muchas gracias por la ayuda.

[Abdulai]

La matriz de rotación dada por los ángulos de Euler consiste en el producto de 3 rotaciones sobre los ejes. Hay diferentes combinación de rotaciones y nomenclatura de los ángulos, pero para escribir menos usemos la primera de este documento de Wolfram

Los ítems (6)...(14) son los coeficientes de la matriz resultante $A=B(\psi)C(\theta)D(\phi)$
donde vemos que para despejar los ángulos nos bastan algunos coeficientes pues:

$\cos \theta = a_{33} \quad,\quad 0\le\theta\le\pi$

$\tan \phi = \dfrac{a_{31}}{-a_{32}}$ (calcular usando la versión de atan para los 4 cuadrantes: atan(y,x) )

$\tan \psi = \dfrac{a_{13}}{a_{23}}$ (ídem)

¿Y qué pasa con los otros cosenos directores? La matriz $A$ no es cualquiera, pues debe cumplir con $A^tA=I$ (6 condiciones) caso contrario no es una matriz de rotación.
Por lo tanto si una vez hallados $\theta\;,\;\phi\;,\; \psi$ con esas 3 ecuaciones, si el resto de los coeficientes no coincide es porque quien escribió el problema tenía Parkinson.

[Visitante]

Vaya muchas gracias, y muy útil el documento de Wolfram también. Entiendo, tras leerlo, que también puedo obtenerlos con las relaciones de los parámetros de euler? Por ejemplo, si me diesen una matriz cualquiera con unos coeficientes de rotación random, podría sacar ángulos y parámetros con esta relación no?

[Abdulai]

Vaya muchas gracias, y muy útil el documento de Wolfram también. Entiendo, tras leerlo, que también puedo obtenerlos con las relaciones de los parámetros de euler? Por ejemplo, si me diesen una matriz cualquiera con unos coeficientes de rotación random, podría sacar ángulos y parámetros con esta relación no?

Por supuesto, pero acordate que los 9 coeficientes de la matriz no son independientes, tendrías que generar 3 valores y con esos construir la matriz.
Pero mas simple que construirlas resolviendo $R^tR=$ es generarlas con la fórmula de Cayley: $R = (I-A)(I+A)^{-1}$
siendo $A$ una matriz antisimétrica (3 parámetros independientes) o con la fórmula de Rodrigues

[Abdulai]

O generar una con los ángulos de Euler y obtener de vuelta los angulos