Otras carreras Velocidad angular

[jssln]

Buenas, os voy a explicar los pasos que he seguido para un ejercicio pero no me sale la solución que propone.

Una bola de plastilina de masa M/3, que se mueve horizontalmente con velocidad v, golpea el extremo superior de una varilla de longitud L y masa M que se encuentra apoyada sobre una mesa en posisción vertical. Si la colisión es completamente inelástica y el punto de apoyo de la varilla con la mesa no se mueve, calcula la velocidad angular, el momento angular y la energia cinética del sistema cuando alcanza la mesa.

Lo que yo he realizado es comparar la energia mecanica inicial con la final.
$E = v + K_{r}$
$E_{choque} = V_{1} + K_{1} = Mg\frac{L}{2} +\frac{1}{2}(\frac{1}{3})ML^{2})W_{f}^{2}$
$E_{suelo} = V_{2} + K_{2} = 0 +\frac{1}{2}(\frac{1}{3})ML^{2})W_{suelo}^{2}$
$\frac{ML}{2}(g + \frac{1}{3}LW_{f}^{2}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}ML^{2}W_{suelo}^{2})$
$g + \frac{1}{3}LW_{f}^{2} = \frac{1}{3}LW_{suelo}^{2}$
$\frac{3g}{L} + W_{f}^{2} = W_{suelo}^{2}$
$W_{suelo} = \sqrt{\frac{3g}{L} + W_{f}^{2}}$

Ahora calculo $W_{f}$

$L_{i} = L_{f}$
$\frac{M}{3}V L = \frac{1}{3}M L^{2}W_{f}$
$W_{f} = \frac{V}{L}$

y al sustituir en la ecuacion la solucion se me queda:

$W_{suelo} = \sqrt{\frac{3Lg + V^{2}}{L^{2}}} = \frac{\sqrt{3Lg + V^{2}}}{L}$

Y la solución del ejercicio es:
$\frac{\sqrt{10Lg + V^{2}}}{2L}$

me podeis ayudar a ver donde me he equivocado y ya a resolver los otros dos apartados que estan vinculados a este.

[pod]

En una colisión inelástica la energía mecánica no se conserva (tanto si es parcial como totalmente inelástica). Lo que se conserva es el momento lineal (también el angular).

[carroza]

Hombre, pod. 4.21: insomnio, o fiesta salvaje?

[pod]

¿Cuál es la diferencia?

[jssln]

¿Y como lo planteo?

[Richard R Richard]

Conservación momento lineal angular en el impacto

$mv_iL=m\omega_iL^2+I\omega_i$

Luego conservación de la energía hasta caer

$\frac12(I_M+I_m)\omega_i^2+mgL+Mg\dfrac L2=\frac12(I_M+I_m)\omega_f^2$

Con la velocidad angular final y la longitud puedes calcular la velocidad en el extremo de la barra.

pd de haberse conservado la energía ...igualmente estaría mal calculada.

Cómo te aclaran que el punto de apoyo no se mueve no hay energía cinética final de traslación.

[carroza]

Hola, Richard. Momento angular, no momento lineal, no? Saludos

[Richard R Richard]

oops¡!!!¡!!!!

Pero alguien me lo dejo en bandeja...

[jssln]

He intentado hacer asi y tampoco obtengo el resultado que da el ejercicio, no sé exactamente donde cometere el fallo pero es que se me queda un pepinazo de ecuacion.

[JCB]

Hola a tod@s.

Salvo error u omisión, en el instante inmediatamente posterior al impacto, obtengo $\omega_i=\dfrac{v}{2L}$.

Seuo, cuando la varilla alcanza al suelo, obtengo $\omega_f=\sqrt{\dfrac{v^2}{4L^2}+\dfrac{5g}{2L}}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Richard: no entiendo tu comentario # 5.3

[jssln]

Si, esa es la solución, ¿te importaría desarrollarme como llegas hasta ella?

[JCB]

jssln: no es que me entusiasme la idea, porque es bastante tedioso, pero te lo resumiré.

[JCB]

Hola a tod@s.

Allá va un resumen del desarrollo.

a) Velocidad angular en el instante inmediatamente posterior al impacto. Aplico la conservación del momento angular, antes y después del choque.

$\dfrac{M}{3}vL=\left(\dfrac{M}{3}L^2+\dfrac{1}{3}ML^2\right)\omega_i$,

$\omega_i=\dfrac{v}{2L}$.

b) Velocidad angular cuando la varilla alcanza el suelo. Aplico la conservación de la energía mecánica.

La energía mecánica inicial se compone de: energía cinética de rotación de la plastilina, energía cinética de rotación de la varilla, energía potencial gravitatoria de la plastilina, energía potencial gravitatoria de la varilla.

La energía mecánica final solo se compone de la energía cinética de rotación de la plastilina y de la energía cinética de rotación de la varilla, ya que el suelo se toma como referencia 0 de la energía potencial gravitatoria.

$\dfrac{1}{2}\dfrac{M}{3}L^2\omega_i^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}ML^2\omega_i^2+\dfrac{M}{3}gL+Mg\dfrac{L}{2}=\dfrac{1}{2}\dfrac{M}{3}L^2\omega_f^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{3}ML^2\omega_f^2$. Substituyendo $\omega_i=\dfrac{v}{2L}$, llegas a que

$\omega_f=\sqrt{\dfrac{v^2}{4L^2}+\dfrac{5g}{2L}}$.

No te lo he desarrollado más porque entiendo que serás capaz de simplificar y despejar. Si hay algún término que te hace dudar, vuelve a preguntar.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

$mv_i=m\omega_iL^2+I_M\omega_i$

como
$m=\dfrac M3$

$I_M=\dfrac13 ML^2$

$I_m=\dfrac13 M L^2$

$\dfrac M3 v_i=\dfrac M3\omega_iL^2+\dfrac13ML^2\omega_i$

Despejo $\omega_i =\dfrac{v_i}{2L}$

$\frac12(I_M+I_m)\omega_i^2+mgL+Mg\dfrac L2=\frac12(I_M+I_m)\omega_f^2$

En esta ecuación reemplazo $\omega_i$ y $m$ por lo calculado antes

$\frac12(\dfrac13ML^2+\dfrac13ML^2)\dfrac{v_i^2}{4L^2}+\dfrac13 MgL+Mg\dfrac L2=\frac12(\dfrac13 ML^2 +\dfrac13 ML^2) \omega_f^2$

$\dfrac{ ML^2v_i^2}{12L^2}+(\dfrac13+\dfrac12) M gL =\dfrac13 ML^2 \omega_f^2$

$\dfrac{\dfrac{ ML^2v_i^2}{12L^2}+(\dfrac13+\dfrac12) M gL}{\dfrac13 ML^2 } =\omega_f^2$

$\dfrac{\dfrac{ Mv_i^2}{12}+\dfrac 5 6 M gL}{\dfrac13 ML^2 } =\omega_f^2$

$\dfrac{ v_i^2}{4L^2}+\dfrac {5g }{2L}=\omega_f^2$


$\omega_f = \sqrt{\dfrac{v_i^2}{4L^2}+\dfrac {5g}{2L}}$

$\omega_f =\dfrac{1}{\sqrt{4L^2}} \sqrt{v_i^2+10gL}$

$\omega_f =\dfrac{1}{2L} \sqrt{v_i^2+10gL}$

$\omega_f =\dfrac{ \sqrt{v_i^2+10gL}}{2L}$ cqd

PD se nota que es feriado