Otras carreras ¿Conservación de Momento angular?

[johnbear02]

Sobre una mesa sin roce pueden girar libremente, respecto de los puntos A y B, dos cuerdas ideales que tienen en sus extremos masas, tal como indica la figura.

Inicialmente la cuerda de largo $a$, unida a una masa $m_1$, está girando con rapidez angular $\omega_1$ mientras que la otra cuerda de largo $b$ y que tiene en su extremo una masa $m_2$ está con rapidez angular $\omega_2$ . De pronto las masas se encuentran frontalmente chocando en forma elástica.

Mi pregunta es la siguiente: ¿El momento angular se conserva?

Tengo que llegar a la relación: $a^2m_1(\omega_1-\omega_1')=b^2m_2(\omega_2'-\omega_2)$ donde $\omega_1'$ y $\omega_2'$ son las velocidades angulares después del choque.

[JCB]

Hola a tod@s.

Las fuerzas presentes son los pesos, las reacciones normales y las tensiones de las cuerdas. El momento del peso se anula con el momento de la reacción normal y la tensión no provoca momento, por lo que no hay momento neto de ninguna fuerza. Entonces, diría que el momento angular se conserva.

Antes del choque: $L_{1i}=m_1a^2\omega_1$ y $L_{2i}=m_2b^2\omega_2$.

Después del choque: $L_{1f}=m_1a^2\omega_1'$ y $L_{2f}=m_2b^2\omega_2'$.

Si se conserva el momento angular, $L_i=L_f$,

$m_1a^2\omega_1+m_2b^2\omega_2=m_1a^2\omega_1'+m_2b^2\omega_2'$, relación equivalente a la ecuación que has indicado.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

La conservación de l energía cinética rotacional también te lleva a deducir esa ecuación.
como es un choque frontal también se conserva el momento lineal. Con esto puedes calcular las velocidades angulares finales.

[johnbear02]

Pero, si las velocidades angulares (en un caso donde ambas cambien de sentido) harán que la dirección del momento angular cambie, o sea que no se conserva, ¿en dónde me estoy equivocando?

[Richard R Richard]

Lo que se conserva es la suma de los momentos angulares de los dos sistemas en rotación.
ej mismas masas longitudes y velocidades angulares resultará que ambos comienzan a girar en sentido contrario pero la suma inicial y final de momentos angulares permanece constante, y el momento lineal inicial y final es nulo.
Los momentos individuales cambian de valor pero no el del conjunto.

[johnbear02]

¿Todo esto lo puedo hacer de manera vectorial?

[Richard R Richard]

Si

$\vec {L} =m\vec{r}\times (\vec {r} \times \vec {\omega})$

$\vec{P}=m \vec{r}\times \vec{\omega}$

Conservación del momento líneal

$\vec{P_{i1}}+\vec{P_{i2}}=\vec{P_{f1}}+\vec{P_{f2}}$

Conservación del momento angular
$\vec{L_{i1}}+\vec{L_{i2}}=\vec{L_{f1}}+\vec{L_{f2}}$
conservación de la energía cinética rotacional

$\frac12I_1\omega_{i1}^2+\frac12I_2\omega_{i2}^2=\frac12I_1\omega_{f1}^2+\frac12I_2\omega_{i2}^2$

$I_1=m_1a^2$

$I_2=m_2b^2$