Satélite con órbita que decae

[carroza]

Hola a todos.

Este es un problema interesante, y más complicado de lo que parece.

Lo primero que debemos plantearnos es si la orbita es efectivamente circular, o no, conforme el satelite pierde energía y pasa a orbitas más bajas. Eso dependerá de cómo se modifiquen la energía y el momento angular, conforme actúa la fuerza de rozamiento.

Si partimos de una orbita circular, tendremos una orbita de energía $E = -1/2 (mMG/r)$, una velocidad $v = \sqrt{ MG/r}$ y un momento angular $L= m v r = m \sqrt{MGr}$. Eso implica que, para las orbitas circulares, $E = -1/2 {m^3 M^2 G^2/L^2}$. O, dicho de otra manera, el producto $(-E) L^2$ debe ser constante.

Vamos a ver cómo cambiaría la energía con el tiempo. En un intervalo corto de tiempo $dt$, la energía disminuye una cantidad $F_r dx = F_r v dt$, con lo cual (-E) aumenta en dicha cantidad: $d(-E) = F_r v dt$. El momento angular disminuye con el tiempo, debido a el momento de la fuerza de rozamiento, con lo que $dL = - F_r r dt$.
Podeis comprobar de las expresiones anteriores que $d( (-E) L^2) = 0$, con lo cual, efectivamente, la orbita sigue siendo, aproximadamente circular tras el efecto de rozamiento, aunque su radio vaya disminuyendo paulatinamente, su energia vaya disminuyendo (aumentando en valor absoluto), a la vez que su velocidad aumenta, y su meomento angular disminuye.

A partir de estas ecuaciones puede deducirse como varía la energía (-E) con el tiempo. A mi me sale $d (-E) / (-E) ^{1/2} = F_r \sqrt{2/m} dt$, a partir de lo cual se puede obtener el tiempo.

Un saludo

[arivasm]

Si no me equivoco, la ecuación de Carroza conduce al mismo resultado que expuse antes: integrando su última expresión tenemos que

$2(\sqrt{-E}-\sqrt{-E_0})=Fr\sqrt{\frac{2}{m}}t$

es decir

$\sqrt{2GMm}\left(\frac{1}{\sqrt{r}}-\frac{1}{\sqrt{r_0}}\right)=Fr\sqrt{\frac{2}{m}}t$

luego

$t=\dfrac{m\sqrt{GM}}{F_r}\left(\frac{1}{\sqrt{r}}-\frac{1}{\sqrt{r_0}}\right)$

Para el número de vueltas se me ha ocurrido lo siguiente. Partamos de esta expresión

$$\frac{\dd\theta}{\dd r}=\dfrac{\frac{\dd\theta}{\dd t}}{\frac{\dd r}{\dd t}}$$

Por una parte tenemos que

$$\frac{\dd \theta}{\dd t}=\frac{v}{r}=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}$$

Por otra, en mi mensaje anterior vimos que

$$\frac{\dd r}{\dd t}=\dot r=-2\frac{F_r}{m}\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$

Llevando (4) y (5) a (3) resulta

$$\frac{\dd\theta}{\dd r}=-\frac{GMm}{2F_r}\frac{1}{r^3}$$

Luego

$$\theta=\frac{GMm}{4F_r}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{1}{r_0^2}\right)$$

Edito para añadir el crédito, merecido, al resultado de Sater:
Por supuesto, en vueltas será la expresión que obtuvo Sater con anterioridad

$$n=\frac{GMm}{8\pi F_r}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{1}{r_0^2}\right)$$

Por cierto que haciendo los números obtengo un tiempo de 5,21 días y 80,7 vueltas.

[sater]

Esta es la expresión a la que yo llegué :P

[arivasm]

Efectivamente. Ni me había dado cuenta. Perdón por no mencionarlo!

[moboli]

Si no me equivoco, la ecuación de Carroza conduce al mismo resultado que expuse antes: integrando su última expresión tenemos que

$2(\sqrt{-E}-\sqrt{-E_0})=Fr\sqrt{\frac{2}{m}}t$

es decir

$\sqrt{2GMm}\left(\frac{1}{\sqrt{r}}-\frac{1}{\sqrt{r_0}}\right)=Fr\sqrt{\frac{2}{m}}t$

luego

$t=\dfrac{m\sqrt{GM}}{F_r}\left(\frac{1}{\sqrt{r}}-\frac{1}{\sqrt{r_0}}\right)$

Para el número de vueltas se me ha ocurrido lo siguiente. Partamos de esta expresión

$$\frac{\dd\theta}{\dd r}=\dfrac{\frac{\dd\theta}{\dd t}}{\frac{\dd r}{\dd t}}$$

Por una parte tenemos que

$$\frac{\dd \theta}{\dd t}=\frac{v}{r}=\sqrt{\frac{GM}{r^3}}$$

Por otra, en mi mensaje anterior vimos que

$$\frac{\dd r}{\dd t}=\dot r=-2\frac{F_r}{m}\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$

Llevando (4) y (5) a (3) resulta

$$\frac{\dd\theta}{\dd r}=-\frac{GMm}{2F_r}\frac{1}{r^3}$$

Luego

$$\theta=\frac{GMm}{4F_r}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{1}{r_0^2}\right)$$

Edito para añadir el crédito, merecido, al resultado de Sater:
Por supuesto, en vueltas será la expresión que obtuvo Sater con anterioridad

$$n=\frac{GMm}{8\pi F_r}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{1}{r_0^2}\right)$$

Por cierto que haciendo los números obtengo un tiempo de 5,21 días y 80,7 vueltas.

Muchísimas gracias es mucho más complejo de lo que pensaba

[arivasm]

Ten en cuenta que la opción de Sater para el número de vueltas es notablemente más sencilla que mi propuesta.

Con respecto a la de carroza es bastante más formal que la mía, y entiendo que en realidad es la realmente correcta, aunque quizá el profesor esperase que tiráseis por un camino semejante al que expuse en mi primer mensaje.