Divulgación Rotacion de un cilindro

[davidgruty]

Buenas,

Me acabo de encontrar un problema que pensaba que era facil y directo y al final no acabo de verlo.

Tengo un cilindro colgado del techo con una cuerda alrededor. La cuerda va por los dos lados tangente al cilindro y esta anclada al techo.

Quiero girar el cilindro haciendo mas corto solo un lado de la cuerda.

¿Cuanto tengo que hacer mas corta la cuerda (en ese lado) para girar un determinado angulo, digamos 30º?

Razonamientos:

Si la cuerda fuese continua (como una cadena de bicicleta) y lo que sube de un lado, lo baja del otro. La distancia seria el arco de la circunferencia del angulo. En este caso el centro del cilindro estaria en el mismo sitio. Con los 30º seria PI*r/6.

Pero al subir solo un lado el cilindro tambien sube en su vertical. Cuanto? Pues entiendo que la mitad que la cuerda.

Entonces para el angulo... tiene que ser la mitad tambien?

saludos,

[JCB]

Hola a tod@s.

Considero ordenada $y=0$ al techo. Llamo $y_c$ a la ordenada del centro del cilindro. Llamo $y_e$ a la ordenada del extremo libre de la cuerda. Como la longitud total de la cuerda es constante, debe cumplirse

$y_c+\pi R+(y_c-y_e)=cte.$,

$2y_c+\pi R-y_e=cte$. Derivando,

$2dy_c-dy_e=0$,

$dy_e=2dy_c$.

Es decir, la variación en altura del extremo libre es igual al doble de la variación en altura del centro del cilindro. No obstante, aún no acabo de ver, analíticamente, la relación entre el ángulo girado por el cilindro y la variación en altura del extremo libre.

Saludos cordiales,
JCB.

[Alriga]

Hola davidgruty , observa el dibujo.

Llamamos D a la distancia entre los puntos a y b de la cuerda de la imagen de la izquierda. El cilindro sube sin deslizar de tal manera que los puntos a y b iniciales de la cuerda pasan a ocupar las posiciones a' y b'

Si la cuerda es inextensible la distancia entre a' y b' es también D, que ahora coincide con el arco de circunferencia entre a' y b'. El ángulo es el cociente entre el arco y el radio, por lo tanto el ángulo A (en radianes) es:

$A=\dfrac D R$

Saludos.

[davidgruty]

Buenas,

Entonces lo que se acorta la cuerda es la longitud del arco.

Y lo que sube el cilindro es la mitad de esa longitud

Muchas gracias!

Quiero ir un paso mas alla.

Supongamos que el centro de masa del cilindro no esta en el centro, si no mas hacia un lado, a una distancia "g". Como afecta ese descentrado sobre la friccion en la cuerda?

O dicho de otro modo. Cuan grande tiene que ser "g" para que haga girar el cilindro sobre la cuerda.

El peso "P" del cilindro actua hacia abajo. Pero la friccion se de a lo largo de toda la mitad inferior del mismo. Puedo hacer una suma de momentos alrededor del centro?

P*g=N*mue*R {1}

N: fuerza de reaccion en la cuerda.
mue: coeficiente de friccion estatico
R: radio del cilindro

En general P=mue*N {2}

Encontes saco "N", y se la enchufo a la ecuacion {1} para sacar "g"?

gracias
saludos,

[Alriga]

...Entonces lo que se acorta la cuerda es la longitud del arco ... Y lo que sube el cilindro es la mitad de esa longitud...

No lo veo así. Según veo en mi dibujo, si el lado izquierdo se ha alargado D, el lado derecho se ha acortado D y el centro del cilindro ha subido también una altura D

Vamos a verlo en detalle. Inicialmente=subíndice 1, en donde los subíndices i=izquierda y d=derecha. L es la longitud total de la cuerda.

$$L=L_{i1}+L_{d1}+\pi R$$

En otra posición subíndice=2 en la que la longitud de la cuerda de la izquierda es la inicial +D

$$L=(L_{i1}+D)+L_{d2}+\pi R$$

Si a la expresión (2) le restamos la expresión (1)

$L_{d2}=L_{d1}-D$

Como el centro del cilindro siempre está al mismo nivel que el extremo del segmento derecho de la cuerda, si inicialmente estaba a nivel $L_{d1}$ y ahora está a nivel $L_{d2}=L_{d1}-D$ ha subido una distancia $L_{d1}-L_{d2}=D$

Saludos.

[davidgruty]

ahá,
cierto. ahora lo veo en el dibujo
entonces la idea de JCB no es correcta

[JCB]

Hola a tod@s.

Sigo pensando que la conclusión a la que llegué en mi mensaje # 2 es correcta: la variación en altura del extremo libre de la cuerda, es igual al doble de la variación en altura del centro del cilindro. Como ya expuse una manera de llegar a esta conclusión, y parece que ha tenido poca aceptación, ahora voy a intentar demostrar la misma conclusión con argumentos energéticos. Para ello, considero que el trabajo de la fuerza aplicada en el extremo libre, debe ser igual a la variación de la energía potencial gravitatoria de la masa que cuelga del eje de la polea (a partir de aquí, utilizo polea, en lugar de cilindro). En una polea móvil, la fuerza mínima que se debe aplicar al extremo libre, para vencer un peso $P$ que cuelga del eje de la polea, es $\dfrac{P}{2}$. Supongamos que tiramos del extremo libre con esta fuerza $\dfrac{P}{2}$ y recorremos una altura $h_1$. El trabajo de esta fuerza será $W=\dfrac{P}{2}h_1$.

Por otra parte, la variación de energía potencial gravitatoria será $\Delta E_{pg}=Ph_2$. Igualando esta última con la primera,

$\dfrac{P}{2}h_1=Ph_2$,

$h_2=\dfrac{h_1}{2}$. Es decir, el eje de la polea sube la mitad que el extremo libre.

Nota: evidentemente, la fuerza a aplicar en el extremo libre, debe ser, momentáneamente, superior a $\dfrac{P}{2}$, para poder iniciar el movimiento.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a tod@s.

Sigo pensando que la conclusión a la que llegué en mi mensaje # 2 es correcta: la variación en altura del extremo libre de la cuerda, es igual al doble de la variación en altura del centro del cilindro. .

tu resultado es correcto JCB, , hablas del lado izquierdo y Alriga del lado derecho,

El lado derecho toma $\pi R$ de soga y el centro asciende $\pi R$ el lado izquierdo asciende $\pi R$ y a la vez suelta $\pi R$ de soga,

se puede reemplazar pi por cualquier angulo arbitrario y sucederá lo mismo.

cada unidad de soga que tome del lado izquierdo el centro asciende una unidad.
Cada unidad de soga que suelte el lado derecho,el centro ascenderá la mitad de una unidad.

[JCB]

Yo creo que sí, Richard. Aunque de todas maneras, todavía no es la respuesta a lo que planteaba davidgruty.

[Richard R Richard]

Entonces para el angulo... tiene que ser la mitad tambien?

Si rotas un angulo $\theta$ el cilindro estarás tomando del lado derecho $\theta R$ de soga o cadena, y el centro sube esa misma cantidad.
pero si la opcion es tirar de la cadena o soga desde la izquierda hacia arriba, lo que asciende un eslabon de la cadena es el doble de lo que asciende el centro es decir la cadena debe subir $2 \theta R$ para que el centro suba solo $\theta R$.

[JCB]

Hola a tod@s.

Aunque no es mi intención complicar el asunto, ahora considero a la polea móvil sobre un plano horizontal (el comportamiento en cuanto a los desplazamientos, es el mismo que en la disposición convencional vertical).



Para la posición inicial (con la polea en el extremo izquierdo),

$$x_c+\pi R+x_c-x_e=cte.$$

Tiramos del extremo libre y la polea se desplaza hacia la derecha una distancia $\theta R$. En esta segunda posición,

$$x’_c+\pi R+x’_c-x’_e=cte.$$

La tercera expresión es

$$x_c-x’_c=\theta R$$

Igualando (1) con (2), substituyendo a (3) y operando,

$$x_e-x’_e=2\theta R$$

Es decir, si la polea gira un ángulo $\theta$, el extremo libre de la cuerda se desplaza una distancia $2\theta R$.

Por otra parte, la longitud inicial del extremo libre es $x_c-x_e$. La longitud final del extremo libre es $x’_c-x’_e$.

La diferencia de longitud que experimenta el extremo libre cuando la polea gira un ángulo $\theta$ es

$\Delta L=x’_c-x’_e-(x_c-x_e)=x’_c-x_c+x_e-x’_e$. Substituyendo a (3) y (4),

$\Delta L=-\theta R+2\theta R=\theta R$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Alriga]

Veo que JCB y yo, como apuntaba Richard R Richard, estamos diciendo lo mismo.

La diferencia de longitud que experimenta el extremo libre cuando la polea gira un ángulo $\theta$ es

$\Delta L=-\theta R+2\theta R=\theta R$

$$\boxed{\boldsymbol{\Delta L=\theta R}}$$

Hola davidgruty , observa el dibujo.

Llamamos D a la distancia entre los puntos a y b de la cuerda de la imagen de la izquierda. El cilindro sube sin deslizar de tal manera que los puntos a y b iniciales de la cuerda pasan a ocupar las posiciones a' y b'

Si la cuerda es inextensible la distancia entre a' y b' es también D, que ahora coincide con el arco de circunferencia entre a' y b'. El ángulo es el cociente entre el arco y el radio, por lo tanto el ángulo A (en radianes) es:

$A=\dfrac D R$

Yo a la diferencia de longitud del extremo libre la he llamado D y al ángulo A

$$\boxed{\boldsymbol{D=A \cdot R}}$$

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Ciertamente Alriga. Aunque el foco de mi atención principal, ha sido llegar a demostrar que el extremo libre, se desplaza $x_e-x'_e=2\theta R$, el doble de lo que se desplaza el eje de la polea ($\theta R$).

Saludos cordiales,
JCB.

[Alriga]

Sí, el desplazamiento del extremo libre es el doble que el desplazamiento del centro, mientras que el desplazamiento del centro es igual al alargamiento del extremo libre.
Yo siempre estuve hablando de alargamiento, mientras que tú siempre de desplazamiento. Saludos.

[JCB]

Estupendo Alriga

[davidgruty]

Gracias a todos por las explicaciones.

Parece que se ha creado un buen debate

[davidgruty]

Otra cosa,

Me gustaria insistir en el segundo problema. El deslizamiento en la cuerda.

Si se me permite pongo otra vez el enunciado:

Supongamos que el centro de masa del cilindro no esta en el centro, si no mas hacia un lado, a una distancia "g". Como afecta ese descentrado sobre la friccion en la cuerda?

O dicho de otro modo. Cuan grande tiene que ser "g" para que haga girar el cilindro sobre la cuerda.

El peso "P" del cilindro actua hacia abajo. Pero la friccion se de a lo largo de toda la mitad inferior del mismo. Puedo hacer una suma de momentos alrededor del centro?

P*g=N*mue*R {1}

N: fuerza de reaccion en la cuerda.
mue: coeficiente de friccion estatico
R: radio del cilindro

En general P=mue*N {2}

Encontes saco "N", y se la enchufo a la ecuacion {1} para sacar "g"?

PXL_20210203_101532456.jpg

[JCB]

Para respetar las normas del foro (un tema / pregunta por hilo), deberías abrir un hilo aparte sobre esta última cuestión. Otra cosa: la letra “g” está, normalmente, reservada para la aceleración de la gravedad. Puedes emplear cualquier otra, por ejemplo “a”, sin ir más lejos.

[davidgruty]

ok!
Empiezo un nuevo hilo y cambio la letra