1r ciclo Sistemas de particulas

[bruno_uy]

Hola, tengo el siguiente ejercicio..

Dos patinadores de masas: $m_1 = 65kg$ y $m_2 = 42kg$ están de pie en una pista de hielo sosteniendo una vara de $9,7m$ de longitud y masa despreciable. Comenzando desde los extremos de la vara los patinadores avanzan a lo largo de la misma hasta que se encuentran.
¿Qué distancia recorrerá el patinador de 42 kg?

El problema lo resuelvo fácilmente ubicando el origen del sistema de referencia en una de las masas, y calculando la posición del centro de masas, los patinadores se encuentran en la posición del centro de masas, la cual permanece constante porque la suma de fuerzas exteriores es nula.

Ahora la consulta es la siguiente, en el repartido se recomienda resolver este problema aplicando la conservación de la posición del centro de masas (que fue lo que hice) así como también aplicando la conservación de la cantidad de movimiento..
De esta ultima manera no me doy cuenta como resolverlo, ya que la cantidad de movimiento relaciona las velocidades y las masas, y el problema habla de distancias..

Se agradece cualquier comentario al respecto.

[Richard R Richard]

Re: Sistemas de particulas

aplicando la conservación de la cantidad de movimiento..
De esta ultima manera no me doy cuenta como resolverlo, ya que la cantidad de movimiento relaciona las velocidades y las masas, y el problema habla de distancias..

Pero has hecho la suposición de la conservación de la cantidad de movimiento para poder resolver este problema, pues la cantidad de movimiento inicial y final del conjunto de ambos patinadores es la misma, es nula y se conserva.

Ahora bien de otro modo puedes pensar el mismo problema con ambos patinadores moviéndose a con determinadas velocidades iniciales sujetos a la vara, y también el centro de masas conservará su cantidad de movimiento lineal y angular. El desplazamiento relativo a la vara será el mismo.

[bruno_uy]

Re: Sistemas de particulas

Yo sólo usé que la posición del centro de masa no varía, y entonces se encuentran en el centro de masa, ya que no puede ser de otra manera, dado que cuando se encuentran es como si fueran una particula sola, por lo que el centro de masa necesariamente debe estar ahí, por tanto se encuentran en la posición del centro de masa.

La definición de cantidad de movimiento que es $P = m v$ no la usé en ningún momento.

[Richard R Richard]

Re: Sistemas de particulas

Es que no la usas intuitivamente, $P_i=P_f=0$ el sistema esta estático,eso implica hacer uso de la suposición, aunque ni siquiera uses las formulas $mv$. Cualquiera sea el que tire de la vara, llevara al otro y a si mismo al centro de masa,y tal como en el otro hilo habrá un movimiento hacia el centro de masa.

del mismo modo hubiese sucedido, si la cantidad de movimiento lineal inicial y la cantidad de movimiento angular hubiesen sido distintas de 0, se hubiesen encontrado en el centro de masas, la cantidad de movimiento lineal final sería la misma que la inicial, y al reducirse la distancia entre ambos la velocidad angular se hubiese incrementado, para conservar el momento angular.

[felmon38]

Re: Sistemas de particulas

Para que utilices la expresión de la cantidad de movimiento puedes igualar ambas y entonces te sale que la relación entre las dos velocidades, que es la relación entre las distancias, es la misma que la inversa de la relación entre las masas y como conoces la suma de llos recorridos, que es la longitud de la barra, puedes calcular éstos:
.
m₁v₁=m₂v₂

v_1/v₂=m₂/m₁=l₁/l₂

l₁=L.m₂/(m₁+m₂) .l₂=L.m₁/(m₁+m₂)


NOTA. He puesto muy a la ligera las ecuaciones y el razonamiento, que serían válidos si la vara perteneciera al S.I. ya que las velocidades, hay que expresarlas en el S.I. así como su integral, el vector posición. Por lo tanto las ecuaciones serían ahora vectoriales y r serían los vectores posición respecto del suelo (S.I)

m₁v₁=m₂v₂
m₁.(r₁-r₀₁)=m₂.(r₂-r₀₂)
m₁.l₁=m₂.l₂
m₁.l₁=m₂.l₂

Llegando al mismo resultado pero como es debido. Ruego que se me perdone este error, para mí, imperdonable.

[Alriga]

Re: Sistemas de particulas

... Yo sólo usé que la posición del centro de masa no varía,...

Esa frase expresa que en este sistema $\vec a_{cm}=0$

Y por lo tanto se cumple:

$\dst \vec a_{cm}=\dfrac{\sum \vec F_{ext}}{M}=0$

En donde M es la masa total del sistema y $F_{ext}$ son las fuerzas exteriores al sistema

$M \vec a_{cm}=M \dfrac{d \vec v_{cm}}{dt}=\dfrac{d(M \vec v_{cm})}{dt}=0$

$\dfrac{d(M \vec v_{cm})}{dt}=\dfrac{d}{dt} \vec p=0$

Pero si la derivada temporal de la cantidad de movimiento es cero, eso significa que la cantidad de movimiento se conserva. Si inicialmente estaba quieto continuará quieto. Si inicialmente tenía una velocidad $\vec v$ continuará con esa velocidad siguiendo un movimiento rectilíneo uniforme.
Por lo tanto cuando has usado que “la posición del centro de masa no varía” has usado que:

-El centro de masa no tiene aceleración $\Longleftrightarrow$ La cantidad de movimiento se conserva.
-Como en el instante inicial su velocidad era cero, también será cero en la situación final

Como resumen para recordar, las siguientes afirmaciones en Mecánica Newtoniana son equivalentes:

La resultante de las fuerzas exteriores sobre un sistema es nula $\Longleftrightarrow$ se conserva la cantidad de movimiento $\Longleftrightarrow$ la aceleración del centro de masas es nula $\Longleftrightarrow$ el centro de masas está, o quieto o en movimiento rectilíneo uniforme.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Sistemas de particulas

Quiza lo que te hemos explicado lo puedas ver de esta manera. Sea cual fuere o ambos patinadores el que tire de la vara mientras el otro se sostenga, parten de una separación de 9,7 m a tiempo $T_i$ y llegan al centro de masa en un tiempo $T_f$

lo que se desplaza el patinador 1 sera $\Delta x_1=x_{cm}-x_{i_1}$

$$\Delta x_1=v_1\Delta T_1\quad \mapsto \quad v_1=\dfrac{\Delta x_1}{\Delta T_1}$$

lo que se desplaza el patinador 2 sera $\Delta x_2=x_{cm}-x_{i_2}$

$$\Delta x_2=v_2\Delta T_2\quad \mapsto \quad v_2=\dfrac{\Delta x_2}{\Delta T_2}$$

como coinciden en tiempo inicial y final

$$\Delta T_1=\Delta T_2=\Delta T$$

si impones la conservación de la cantidad de movimiento y reemplazas lo que has calculado en 1 y 2

$p_1+p_2=m_1v_1+m_2v_2=m_1\dfrac{\Delta x_1}{\Delta T_1}+m_2\dfrac{\Delta x_2}{\Delta T_2}$

si reemplazas lo que calculaste en 3

$0=m_1\dfrac{\Delta x_1}{\Delta T}+m_2\dfrac{\Delta x_2}{\Delta T}$

como $\Delta T$ esta en ambos miembros de la sumatoria, dividiendo , haciendo factor común, lo puedo eliminar de la ecuación volviendo a tu ecuación con la que calculaste el centro de masa

$0=m_1\Delta x_1+m_2\Delta x_2=m_1(x_{cm}-x_{i_1})+m_2(x_{cm}-x_{i_2})$

sabiendo que $x_{i_2}-x_{i_1}=9,7 m$

Aqui he supuesto la constancia de la velocidad de acercamiento, y si no hay fuerzas exteriores, no importa el modo que hgan fuerza y aceleren los patinadores siempre llegan el centro de masas en el mismo tiempo.

[felmon38]

Re: Sistemas de particulas

ℝ^3, el movimiento, de los centros de masas respecto del suelo,no tiene por qué ser rectilíneo.
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Sistemas de particulas

Claro felmon38 ya lo he dicho en el post #2 y #4 solo use una versión simplificada sobre como usar la conservación de la cantidad de movimiento para resolver el problema. Las fuerzas de los patinadores sobre la vara pueden ser variables, y sus velocidades iniciales tener cualquier módulo y dirección, pero el resultado será que se alcanzan en el centro de masa, y el sistema modificara alguna de sus variables pero conservará la cantidad de movimiento lineal y angular iniciales.

[bruno_uy]

Re: Sistemas de particulas

Muchas gracias, el detalle que buscaba leer era exactamente:

$$\Delta x_1=v_1\Delta T_1\quad \mapsto \quad v_1=\dfrac{\Delta x_1}{\Delta T_1}$$

$$\Delta x_2=v_2\Delta T_2\quad \mapsto \quad v_2=\dfrac{\Delta x_2}{\Delta T_2}$$

como coinciden en tiempo inicial y final

$$\Delta T_1=\Delta T_2=\Delta T$$

$0=m_1\dfrac{\Delta x_1}{\Delta T}+m_2\dfrac{\Delta x_2}{\Delta T}$

como $\Delta T$ esta en ambos miembros de la sumatoria, dividiendo , haciendo factor común, lo puedo eliminar de la ecuación volviendo a tu ecuación con la que calculaste el centro de masa

$0=m_1\Delta x_1+m_2\Delta x_2$

Que es la misma conclusión que mostró felmon38. O sea llegar a una ecuación que hable de los desplazamientos partiendo de la definición de cantidad de movimiento.
No obstante encontré aún más de lo que buscaba ya que todos los aportes me han ayudado a reafirmar varios conceptos.

Saludos.