Otras carreras velocidad de la tormenta

[alefriz]

Enunciado:

Los ferries de una línea de navegación salen de A hacia B cada 3 horas, recorren idéntica ruta a una velocidad de 18 nudos y, por tanto, llegan a B con intervalos de 3 horas. Un frente tormentoso muy amplio se va extendiendo progresivamente, siguiendo la ruta de los buques, desde A hacia B, donde los ferries llegan cada 3,5 horas por haber tenido que reducir su velocidad a 14 nudos en el tramo de tormenta.

¿Cuál es la velocidad a la que avanza el frente tormentoso?

La realidad es que no me sale el ejercicio, a pesar de ser un problema sencillo de velocidades constantes.

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Re: velocidad de la tormenta

Bueno, si cada barco llega 3.5 horas más tarde que el anterior, habiendo salido con una desventaja de 3 horas, significa que cada nuevo barco tarda media hora más que el anterior, debido a que pasa más tiempo en la tormenta.

Analicemos el movimiento de dos barcos consecutivos, que llamaremos 1 y 2 (originalidad al poder). Llamaremos $x_0$ a la posición del frente en el momento de salir el barco. Durante un tiempo $t_{1t}$ este barco navega por la tormenta, hasta llegar al límite del frente en una posición $x_1$. Esto nos da las dos primeras ecuaciones:

$$x_1 = v_t t_{1,t}\ ,$$

$$x_1 = x_0 + v t_{1,t}\ ,$$

donde $v_t = 14\textrm{nudos}$, y $v$ es la velocidad del frente. El resto del viaje se hace a la velocidad de tiempo despejado, si llamamos $d$ a la distancia entre A y B, tenemos

$$d = v_t t_{1,t} + v_d t_{1,d}\ .$$

El tiempo total de este primer viaje, claro, será la suma de los dos, $t_1 = t_{1,d}+t_{1,t}$.

Para el segundo viaje tenemos prácticamente las mismas ecuaciones, salvo que en este caso la posición del frente al zarpar es mayor, igual a $x_0 + (3\mathrm{h}) v$. Por tanto:

$$x_2 = v_t t_{2,t}\ ,$$

$$x_2 = x_0 + v (t_{2,t}+3)\ ,$$

$$d = v_t t_{2,t} + v_d t_{2,d}\ .$$

Nos falta por imponer la condición del problema, el segundo barco tarda media hora más,

$$(t_{2,d}+t_{2,t}) - (t_{1,d}+t_{1,t}) = 0.5\mathrm{h}\ .$$

Incógnitas: los cuatro tiempos, $x_1$, $x_2$, y por supuesto $v$. Siete, para siete incógnitas. $x_0$ y $d$ son también parámetros desconocidos, el valor de las diferentes incógnitas pueden depender de esas dos, pero por simples razonamientos se puede ver que $v$ no va a depender de estos dos parámetros.

Para aislar, resta (6) y (3), y formar un sistema de ecuaciones con (7) de la forma:

$$\begin{aligned}<br /> v_t \Delta t_t + v_d \Delta t_d & = 0 \ , \\<br /> \Delta t_t + \Delta t_d & = \Delta t \ , <br /> \end{aligned}$$

donde $\Delta t_t = t_{2,t}-t_{1,t}$, $\Delta t_d = t_{2,d}-t_{1,d}$ y $\Delta t = 0.5\mathrm{h}$. Este sistema se resuelve para dar

$$\begin{aligned}<br /> \Delta t_t & = \dfrac{v_d \Delta t}{v_d-v_t} = 2.25\mathrm{h}\ , \\<br /> \Delta t_d & = \dfrac{-v_t \Delta t}{v_d-v_t} = -1.75\mathrm{h}\ .<br /> \end{aligned}$$

Restamos (1) a (4):

$$x_2 - x_1 = v_t \Delta t_t \ ,$$

Restamos (2) a (5):

$$x_2 - x_1 = v (\Delta t_t + \Delta t_s ) \ ,$$

donde $\Delta t_s = 3\mathrm{h}$ es el intervalo entre salidas del barco. Podemos igualar (10) y (11):

$$v = \dfrac{v_t \Delta t_t}{\Delta t_t + \Delta t_s} = \dfrac{v_t}{1+\dfrac{\Delta t_s }{\Delta t}\dfrac{v_d-v_t}{v_d}}\ .$$

Substituyendo valores

$$v = (14\text{nudos})\dfrac{2.25}{2.25+3} = 6\text{nudos} \ .$$

Hay formas más sencillitas, pero menos sistemáticas, de resolverlo: uno se puede dar cuenta que lo que pasa entre la salida y $x_1$ no importa; igual que tampoco importa lo que pasa entre $x_2$ y $d$, por lo que uno puede simplificar los cálculos. Te dejo como deberes buscar esas formas de resolverlo, para que no se diga que te lo hago todo