Problema Olimpiada Argentina de Fisica

[Visitante]

Buen dia! Me llamo Juan, me gusta la fisica, voy al secundario y este año quiero ir a la OAF (olimpiada Argentina de Fisica). Estuve revisando el archivo de enunciados, y necesito ayuda en uno de los problemas. Dice lo siguiente:

PROBLEMA 2:UN JUEGO INTERESANTE. Un lugar del "Córdoba Shopping Center" había un juego consistente en un pista, con "lomo de burro" y rampas, como se esquematiza en la figura. El juego consistía en lanzar un tejo desde A, de tal manera que quedara aprisionado en el pozo CD. Un jugador con conocimientos de física, inspirado en el juego, decidió hacer algunos cálculos como los que se piden a continuación, suponiendo la pista sinrazonamiento, salvo en el tramo HG:

a) ¿Cuál es la mínima velocidad con la que se deberá lanzar el tejo, desde A, para que supere el punto C?

b) ¿Cuál es la máxima velocidad con la que deberá partir el tejo, desde A, para que esté siempre en contacto con la pista? (es decir, que no vuele; si se despega de la pista el jugador pierde).

c) ¿Cuál es la máxima fuerza de razonamiento que puede actuar sobre el tejo, entre los puntos H y G, para que, habiendo pasado por C sin que el jugador haya perdido, regrese justo hasta el
punto C?.

Intente el punto a, utilice conservacion de la energia entre el punto A y C, de tal manera que la energia cinetica en A tiene que ser mayor a la energia potencial gravitatoria en C. La verdad es que me estanque en el punto B, en el apartado B no se como encararlo, si alguien me pudiese dar una mano le agradeceria muchisimo. Saludos y gracias desde ya!

[Abdulai]

En el ítem (B) tenés que conocer que la aceleración centrífuga que va a experimentar el tejo en el tramo cilíndrico es $a_c=\dfrac{v^2}{R}$ y ésta debe ser menor que la proyección normal de la gravedad, o se despegará...
Es decir $\dfrac{v^2}{R} < g \cos\alpha$ como el mínimo del coseno es con $\alpha=30^o$ debe ser $\dfrac{v^2}{R} < \dfrac{\sqrt{3}}{2}g$
Planteando conservación de la energía como en el punto anterior mas esta desigualdad obtenés la velocidad máxima.
(Hice números y hay poca diferencia entre velocidad máxima y mínima, así que hay que tener buen pulso )


Para el ítem (C) tenés que notar que si no hubiera rozamiento, habiendo pasado la loma el tejo volvería al punto de partida. Para que quede en el punto C se debe perder por rozamiento la diferencia de energía entre la velocidad máxima (para que no despegue) y la mínima (para que pase la loma)
O sea : $\frac{1}{2}mV_{max}^2 - \frac{1}{2}mV_{min}^2 = 2\mu d mg\cos\alpha$ (el 2 es porque pasa dos veces)

[Visitante]

Muchas gracias por tu respuesta! Una cosa, no entiendo bien lo que planteas en la parte C, lo que habia pensado era que si la velocidad en c es $V_c$, la energia disipada por el rozamiento tendria que ser igual a la cinetica, o sea $\frac{1}{2}.m.V_c = 2 . d . F_r$, y como me piden la fuerza maxima, remplazo el valor de $V_c$ maximo y me da la fuerza de rozamiento maxima. Espero que se haya entendido y gracias por la pronta respuesta, saludos!

[Abdulai]

Mejor miralo así: La condición límite (el máximo rozamiento posible) es cuando el tejo sale sale con la máxima velocidad posible (no se despega en la loma) , y al volver le alcanza justo para llegar a C.
Como en esta situación la velocidad final es 0 , solo hay energía potencial --> La diferencia es lo que se fue por rozamiento.

Es decir: $\frac{1}{2}m V_{max}^2 - mgR = 2\mu d m g \cos\alpha$

(notá que $mgR=\frac{1}{2}mV_{min}^2$ )

[Alriga]

Hola ICO bienvenido a La web de Física, como miembro reciente echa un vistazo a Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva.

Independientemente de las respuestas que te ha dado el compañero, si estás estudiando estos temas también puede interesarte consultar este hilo: Objeto que cae sobre una semiesfera

Saludos.

[Richard R Richard]

Para hallar la velocidad mínima planteas la conservación de la energía mecánica entre el punto inicial y el punto C, para que este punto sea superado la velocidad debe ser mínimamente superior a 0 que ponemos como limite por que que en C hay solo energía potencial

$$\dfrac12mv_{min}^2=mgR$$

$$v_{min}^2=2gR$$

la velocidad mínima es entonces es la raíz cuadrada de de lo que obtienes en 2, pero usar la expresión al cuadrado te sera util luego.

Para hallar la velocidad máxima debe plantear la conservación de la energía en el punto donde comienza la circunferencia el Punto B

usemos que $\cos 30=\dfrac{\sqrt3}{2}$

$$\dfrac12mv_{max}^2=mgR\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12mv_{B}^2$$

y a la vez debe cumplirse que la fuerza de contacto o normal del tejo sobre la rampa sea mayor que la fuerza centrípeta.

$$m\dfrac{v_B^2}{R}=mg\dfrac{\sqrt3}{2}$$

de remplazar $v_B$ de la 4 en la ecuación 3 llegas a

$$v_{max}^2=3\dfrac{\sqrt3}{2}Rg$$

Si no hubiese rozamiento el tejo supere o no la velocidad mínima regresara de todos modos al punto inicial. para que no lo haga el trabajo de la fuerza de rozamiento debe ser tal que baje la energia cinetica maxima por debajo de la mínima osea debe quitar la diferencia de energías entre ambas(recuerda que pasa dos veces)

$$\dfrac12mv_{max}^2-\dfrac12mv_{min}^2=2F_rd=2\mu mg\dfrac{\sqrt3}{2}d$$

si reemplazas en esta ecuación los resultados de 2 y 5

$$\dfrac12m3\dfrac{\sqrt3}{2}Rg-\dfrac12m2rg=2F_rd=2\mu mg\dfrac{\sqrt3}{2}d$$

de donde

$$F_r>mg\dfrac Rd \left( \dfrac{3\sqrt3}{8}-\dfrac12\right)$$

o que el coeficiente de rozamiento dinámico debe ser

$$\mu>\dfrac Rd \left( \dfrac{3}{4}-\dfrac1{\sqrt3}\right)$$

Lo que Alriga te da como referencia en ese hilo es que si el angulo $\alpha$ fuera mayor que $\text{41\° 48' 37.13"}$ en vez de ser $\text{30 \°}$ como en este problema no habría forma de mantener el tejo tocando contra la superficie cilíndrica y perderías siempre sin importar la velocidad con la que lo tiraras el tejo.