Velocidad de escape

[Visitante]

Hola! Una duda, porque cuando calculamos la velocidad de escape, la energia potencial gravitatoria la ponemos con un signo menos? Saludos!

[Richard R Richard]

El potencial gravitatorio es

$\cancel{U=-\dfrac{GmM}{R} }$

$V=-\dfrac{GM}{R}$


fijate que Si R aumenta el potencial aumenta , cuanto mas lejos te halles mas potencial tienes

en el cálculo de la velocidad de escape

partes, de un radio R y velocidad igual a la de escape, y tienes que llegar con la misma energía mecánica a un lugar en el infinito donde ya no te sobre energía cinetica es decir llegas con $v=0<br />$

$E_m=\dfrac{1}{2}mv^2_e-\dfrac{GmM}{R}=\dfrac{1}{2}m\overbrace{v^2}^0-\dfrac{GmM}{\underbrace{R}_{\infty}}=0$

luego

$\dfrac{1}{2}mv^2_e-\dfrac{GmM}{R}=0$

$\dfrac{1}{2}mv^2_e=\dfrac{GmM}{R}$

$v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$

[Alriga]

...Una duda, ¿por qué cuando calculamos la velocidad de escape, la energía potencial gravitatoria la ponemos con un signo menos?...

Para complementar la correcta respuesta de Richard: La energía potencial gravitatoria "va con signo menos" no solo cuando calculamos la velocidad de escape, sino siempre y el motivo es este: una definición y un convenio.

1. Definición: Sea una masa "M" (que situamos en el origen) que crea un campo gravitatorio. Cualquier masa de prueba "m" situada en un punto arbitrario "1" sufrirá una fuerza gravitatoria $\vec F_1$ hacia "M". Se define como diferencia de energía potencial gravitatoria (U final menos U inicial) al trabajo realizado por esa fuerza gravitacional al trasladar la masa "m" desde "1" hasta "2", cambiado de signo.

$U_2-U_1=-W_{12_G}$

$\displaystyle W_{12_G}=\int_1^2 \ \vec F_G \cdot d\vec r$

El $d\vec r$ tiene sentido contrario a la fuerza gravitatoria $\vec F_G$

$\displaystyle W_{12_G}=\int_{r_1}^{r_2} \ F_G \cdot dr \cdot \cos \pi=-\int_{r_1}^{r_2} \ F_G \cdot dr$

La Ley de Gravitación Universal de Newton:

$\displaystyle W_{12_G}=-\int_{r_1}^{r_2} \ G \ \dfrac{M \ m}{r^2} \cdot dr=-G M m \int_{r_1}^{r_2} \dfrac{dr}{r^2}=-GMm \left [ -\dfrac 1 r \right ]_{r_1}^{r_2}=GMm \left [ \dfrac 1 r \right ]_{r_1}^{r_2}$

$W_{12_G}=G M m \left ( \dfrac 1{r_2} - \dfrac 1{r_1} \right )$

$$U_2 - U_1=-G M m \left ( \dfrac 1{r_2} - \dfrac 1{r_1} \right )$$

2. Convenio. Se decide definir como punto de referencia de la energía potencial, (punto inicial de la energía potencial) aquel en el que la fuerza gravitatoria es cero:

$F_G=0 \quad \Rightarrow \quad U_1 = 0$

$F_G=G \ \dfrac{M m}{r^2}=0 \quad \Rightarrow \quad r=\infty$

Sustituyendo:

$U_2 - 0=-G M m \left ( \dfrac 1{r_2} - \dfrac 1{\infty} \right )$

Y por lo tanto, en general la Energía Potencial Gravitatoria es:

$$U=-G \ \dfrac{M m} r$$

Nota además que como la distancia es siempre $r>0$ cuando $r \rightarrow \infty \Rightarrow U \rightarrow 0$ y la energía potencial es máxima ya que, como siempre es negativa, el máximo que puede alcanzar es cero.

Saludos.

PD: Si estás estudiando estos temas puede interesarte echar un vistazo a Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

Y finalmente corrijo un pequeño gazapo:

El potencial gravitatorio es La energía potencial gravitatoria es

$U=-\dfrac{GmM}{R}$

fíjate que Si R aumenta el potencial la energía potencial aumenta, cuanto mas lejos te halles mas potencial energía potencial tienes...

Recordar que el Potencial Gravitatorio creado por una masa M es:

$V_G=-G \ \dfrac M r$

Lo que quiero decir es que, aunque la frase

... fijate que Si R aumenta el potencial aumenta , cuanto mas lejos te halles mas potencial tienes...

es correcta, no se deduce da manera absolutamente directa de la expresión matemática

$U=-\dfrac{GmM}{R}$

ya que esa "U" no es el potencial sino la energía potencial.

[javisot20]

Perdón Alriga, llevo desde ayer repasando información y el convenio (punto 2) se me resiste...

¿ Quiere decir que se toma como referencia un punto allá por el infinito que siendo su energía potencial gravitatoria =0 es un punto que no se encuentra ni se encontrará dentro del campo gravitatorio ?
Saludos y gracias.

[Alriga]

Cuando el "infinito" está en medio las palabras pueden ser traidoras, (paradoja de Aquiles y la tortuga o similares), es mejor analizar las ecuaciones. En la mecánica clásica newtoniana, la fuerza que ejerce una masa "M" sobre otra "m" a una distancia "r" es:

$F=G\dfrac{M m}{r^2}$

La energía potencial de la masa "m" debida al campo gravitatorio creado por la masa "M" es:

$U=-G\dfrac{M m}r$

Si miramos ambas expresiones vemos que la fuerza gravitatoria y la energía potencial gravitatoria van disminuyendo en valor absoluto pero no son nulas nunca por mucho que nos alejemos $\equiv$ por muy grande que sea la distancia "r". Si ahora usamos el concepto de límite matemático, otra manera de decir lo mismo es que el límite de "F" y de "U" cuando la distancia "r" tiende a infinito es cero.

$\dst \lim_{r \rightarrow \infty} F=0$

$\dst \lim_{r \rightarrow \infty} U=0$

Y ahora como abuso de lenguaje, se dice (impropiamente) que "la fuerza y la energía potencial son nulas en el infinito" aunque sabemos que el infinito no es un punto físicamente alcanzable.

Saludos.

[javisot20]

Gracias Alriga por la clara explicación pese a lo abstracto del tema. Decir que cuando formulé la pregunta no analizaba si para nosotros existe tal punto de referencia en el universo, analizaba si tal punto existe en el horizonte de sucesos de un agujero negro para una masa cayendo en él.

[Richard R Richard]

Hola Pacomeco para responder al hilo usa por favor el boton responder, no el de comentarios.

[Pacomeco]

Me queda una duda respecto del potencial. ¿Qué pasa al aumentar la masa que genera ese potencial? Es decir, no parece intuitivo pensar que tanto la energía potencial como el potencial en un punto disminuye al aumentar la masa generadora del campo. Si aumenta la masa, el potencial V=-GM/r disminuye en ese mismo punto a la misma distancia.

Cerca de la superficie terrestre o de cualquier otro planeta, la forma clásica de la energía potencial, Ep=m·g·h, nos dice que al aumentar la masa del planeta (masa generadora del campo) aumenta el campo, g, y por tanto aumenta la energía potencial. Pero cuando estamos a distancias grandes, en las que no se puede despreciar la distancia frente al radio del planeta, usamos una fórmula en la que al aumentar la masa disminuye le energía potencial.

Te estaría muy agradecido si me pudieras dar una respuesta a esta duda, no encuentro nada en los libros ni en internet. Solo veo explicaciones de cómo varía la energía potencial frente a la distancia

[Abdulai]

Los potenciales no son valores absolutos, siempre están referidos a una posición de referencia (potencial 0), es decir son diferencias de potencial.

Cuando usas $V = mgh$ el potencial está referido a una altura 0, por ejemplo la superficie terrestre, de una mesa o la terraza de un edificio.
En cambio con $V=-\dfrac{GMm}{r^2}$ el potencial 0 es en el infinito.

Aplicando la segunda fórmula podés deducir la primera.
Si busco el potencial referido a la superficie terrestre ($R_t:$ Radio terrestre): $V(h) = \dfrac{-GMm}{R_t+h}-\dfrac{-GMm}{R_t}=GMm\left(\dfrac{-1}{R_t+h}+\dfrac{1}{R_t}\right) = \dfrac{GM}{R_t(R_t+h)}mh$

Mientras $h<<R_t \;\;\longrightarrow\;\; \dfrac{GM}{R_t(R_t+h)} \approx \dfrac{GM}{R_t^2} = g$

[Richard R Richard]

Me queda una duda respecto del potencial. ¿Qué pasa al aumentar la masa que genera ese potencial? Es decir, no parece intuitivo pensar que tanto la energía potencial como el potencial en un punto disminuye al aumentar la masa generadora del campo.
Si aumenta la masa, el potencial V=-GM/r disminuye en ese mismo punto a la misma distancia.

Cerca de la superficie terrestre o de cualquier otro planeta, la forma clásica de la energía potencial, Ep=m·g·h, nos dice que al aumentar la masa del planeta (masa generadora del campo) aumenta el campo, g, y por tanto aumenta la energía potencial. Pero cuando estamos a distancias grandes, en las que no se puede despreciar la distancia frente al radio del planeta, usamos una fórmula en la que al aumentar la masa disminuye le energía potencial.

Te estaría muy agradecido si me pudieras dar una respuesta a esta duda, no encuentro nada en los libros ni en internet. Solo veo explicaciones de cómo varía la energía potencial frente a la distancia.

Hola , fijate que si la masa aumenta , el trabajo necesario para elevar la masa m se incrementa proporciomnalmente al valor de g que ha su vez es proporciona a la masa de la tierra

$g=M_T\dfrac{G}{R_T^2}$

una forma de ver lo que estas preguntando es si hacer el mismo análisis para ver cual es el trabajo necesario para elevar la masa m desde la posición r hasta el infinito, veras que se incrementa también proporcionalmente con el valor de la masa gravitante

$W_{r\to\infty}=\dst\int\limits_r^\infty F dr=mM_TG\dst\int\limits_r^\infty \dfrac{1}{r^2}dr=\dfrac{mM_TG}{r}$

si se conserva la energía mecanica y sabemos que tanto la energia potencial como la energía cinetica en el infinito son nulos , la energía mecanica es nula, por lo que la energía potencial entes de aplicar el trabajo mas el trabajo aplicado deben tambien ser nulos

luego $E_m=0=W_{r\to\infty}-P_{ot}$

Luego $P_{ot}=-W_{r\to\infty}=-\dfrac{mM_TG}{r}$

por lo que si $M_T$ aumenta necesitas mas trabajo para alejar la masa m misma distancia desde r hasta infinito.

[Pacomeco]

Gracias, ya lo veo claro.