Convención de signos y su aplicación en la Dinámica.

[VictorBoyle]

Muy buenas, compañeros.

El otro día estuve revisando unos problemas de rotación que encontré resueltos y me surgieron varias preguntas que hicieron tambalear los cimientos de mis conocimientos (así de duro…). Son cuestiones básicas en referencia a los signos de las magnitudes vectoriales, de sus componentes, módulos etc. Tras una búsqueda en la web, llegué aquí y vi un tema en el que el compañero Al2000 trataba parte del asunto (https://forum.lawebdefisica.com/forum/el-aula/mecánica-newtoniana/35135-convención-de-signos?p=258883#post258883), y la verdad es que consiguió en gran parte hacerme ver la luz, aunque sigo con inseguridades y por eso estoy aquí. Perdonad la larga introducción.
Tengo varias cuestiones:

1. Planteamos las ecuaciones de la dinámica para el problema. Imaginemos que tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas cada una. Entiendo que, fijada la referencia, una forma de trabajar es introducir todos los signos de las componentes de los vectores cuyo sentido se conoce con certeza, y que en caso de no conocer el signo este se considera positivo. La solución del sistema determinará los signos de las incógnitas. ¿Todo esto es cierto? ¿También se introducen los signos de los ángulos?
2. En los sistemas en los que hay rotación tengo problemas con los signos de la velocidad angular y la aceleración angular. Supongamos que la velocidad angular es positiva si el cuerpo gira en sentido antihorario (al igual que el ángulo barrido). ¿El signo de la aceleración angular lo determina el aumento o disminución de w? (¿Si w aumenta sería positiva; y si disminuye, negativa?).
3. En un caso con rodadura pura, he visto que la condición de rodadura puede ser v= - w·R o v= w·R (o también a= - alfa·R o a= alfa·R). Supongo que el signo depende de la referencia tomada. ¿Si se introduce el signo negativo significa que se está tomando w como negativa, o sea, un giro en sentido horario?

Tengo un lío tremebundo.
Agradezco mucho un poco más de luz. Un saludo.

[Richard R Richard]

La mayoría de las preguntas se responden con un si correcto, pero me temo que no interpretas lo que hace al fondo de la cuestión.
la posición, la velocidad y la aceleracion, sean lineales o angulares son magnitudes vectoriales.Que significa esto que para calcularlas o representarlas en una ecuación debes tener en cuenta que cada una cuenta con tres parámetros a determinar...

Módulo, que te da la idea cantidad y valoriza la magnitud, estoy siendo poco riguroso pero aquí no tienes el problema , este valor es siempre positivo.

Dirección : orientación espacial , según el tipo de coordenadas puedes desglosar el módulo en componentes según su proyección trigonométrica sobre el sistema de coordenadas, o bien usar el módulo y ángulo en coordenadas polares.

Por último el sentido que hacía adónde dibujas que apunte la flecha del vector.

Esto es una convención es decir escoges la que te plazca, pero una vez escogida, la respetas a rajatabla para todos y cada uno de los vectores del problema.
En caso de resolver el problema y alguno de los valores te diera negativo entonces lo que ha sucedido es que el sentido que escogiste es el contrario al real , es decir el vector apunta con la flecha para el otro lado.

Bueno entonces que haces escoges siempre el mismo sistema de referencia para que se te familiarice su uso, por ejemplo

X positiva hacía la derecha , si la componente apunta hacía la derecha es + si la supones hacía la izquierda -
Y positiva hacía arriba, en ese caso la gravedad como aceleración siempre usará el signo negativo delante
Z positivo saliendo de la hoja y negativo entrando.

Ángulos: los antihorario son positivos,
si gira con sentido contrario a las agujas Omega es positivo
y si acelera en el sentido contrario a las agujas asignas positivo a alfa no a Omega como escribiste.

Si respetas la convención todos los valores de los módulos de los vectores deberían resultarte positivos, pero si alguno te resulta negativo es que el sentido que le asignaste no es el correcto y apunta hacía el otro lado o bien 180 ° corrido.

[VictorBoyle]

Hola, Richard. Muchas gracias por responder tan detalladamente. Todo me queda claro salvo una cosa.
En cuanto a esto que mecomentas:

Ángulos: los antihorario son positivos,
si gira con sentido contrario a las agujas Omega es positivo
y si acelera en el sentido contrario a las agujas asignas positivo a alfa no a Omega como escribiste.

Yo quería decir que, tomando el giro antihorario con omega positiva:
-Si el cuerpo gira en sentido antihorario aumentando su omega, entonces alfa es positivo.
-Si el cuerpo gira en sentido antihorario disminuyendo su omega, alfa es negativo.
-Si el cuerpo gira en sentido horario aumentando su omega, alfa es negativo.
-Si el cuerpo gira en sentido horario disminuyendo su omega, alfa es positivo.
¿Estas cuatro afirmaciones son verdaderas?
Gracias!

[Richard R Richard]

-Si el cuerpo gira en sentido antihorario disminuyendo su omega, alfa es positivo.

ojo o es un error de tipeo, o esa ultima no es correcta.

[VictorBoyle]

Perdón, quería decir horario. Lo cambio. Gracias.

[VictorBoyle]

Me surge otra pregunta, y quizá no sea la última...
¿Cuándo interpreto el signo de la magnitud y cuándo no (y la pongo positiva)? Entiendo que si en algunas de las magnitudes meto el signo y en otras no, el sistema de ecuaciones tendrá distintas soluciones.
Perdón por lo básico de mis preguntas.
Gracias.

[Richard R Richard]

Bueno vamos con un ejemplo

las ecuaciones de la cinemática de un lanzamiento vertical puedo escribirlas así


$H=h_o+v_ot+\frac 12 gt^2$

esa ecuación ro refleja la física tal como está planteada, , por ejemplo si escojes que positivo es hacia arriba , la gravedad g debes usarla con signo negativo $g=-9.8m/s^2$


pero si usas

$H=h_o+v_ot-\frac 12 gt^2$

es porque ya estas viendo que la gravedad va en contra de tu sistema de referencia (hacia abajo) y en ese caso pones el menos en la formula, pero el valor de g es $9.8m/s^2$ positivo

si el lanzamiento en con velocidad hacia arriba la velocidad $v_o$ sera positiva y si es hacia abajo su signo deberá ser negativo. y lo mismo para h_o, si escojo el cero del sistema de referencia a cierta altura , todo lo que esté por encima será positivo, y por debajo todo será negativo.


en definitiva el signo tu lo presupones en función de cómo crees que el sistema se moverá.. otro ejemplo

si fuera un auto que acelera desde cero puedes usar esta fórmula ,


$x=x_o+\frac 12 at^2$


pero si sabes que el auto esta frenando desde una determinada velocidad


$x=x_o+v_ot-\frac 12 at^2$


y si te pidieran cualquier valor tanto la aceleracion como la velocidad o la posición inicial , todos los cálculos darían valores positivos , si escogiste bien como se moverá el objeto, si pones los signos como esperas se mueva, y si te has equivocado entonces alguno tendrá el signo contrario.

[VictorBoyle]

Richard, muchas gracias por tu mensaje y tu tiempo, el ejemplo que has puesto es muy clarificador. La cosa se complica cuando hay que resolver un sistema de ecuaciones. Voy a utilizar un ejemplo que viene resuelto en https://www.cartagena99.com/recursos..._Problemas.pdf (problema 10). No sé utilizar Latex, espero que se entienda bien y siento que la estética del texto no sea la que merece el foro. Voy:

En una bolera se lanza una bola de masa M y radio R de modo que en el instante que toque el suelo se está moviendo horizontalmente con una velocidad v_o deslizando sin rodar. La bola se desliza durante un tiempo t₁ a lo largo de una distancia s₁ antes de empezar a rodar sin deslizar. El coeficiente de rozamiento al deslizamiento entre la bola y el suelo es k_c.
a) Calcular s₁, t₁ y la velocidad v₁ de la bola en el momento que rueda sin deslizar. b) Calcular el valor de las magnitudes anteriores para v_o = 8m/s, y k_c = 0,4.

La bola se traslada hacia la derecha (velocidad v_o positiva) y cuando comience a girar lo hará en sentido horario (velocidad angular negativa), tenemos:
- 2ª Ley de Newton: - Fr = m·a (1)
- Ecuación fundamental de la dinámica de rotación: - Fr·R = I_o· alfa (2)
En estas dos ecuaciones se ha interpretado el signo de la fuerza de rozamiento y del momento originado por la fuerza de rozamiento respecto al cdm de la bola. No se interpreta el signo de las aceleraciones (ni la lineal ni la angular). Me parece lógico pues ambas aceleraciones son incógnitas.
Hay una tercera ecuación:
- Condición de rodadura: v = w·R (3) con v igual a la velocidad del cdm.
En la resolución del problema, introducen el signo de la velocidad angular, de manera que tenemos v = - w·R (4)
De (1) se obtiene a = - k_c·g (5), y de (2) se tiene que alfa = - 5k_c·g/2R (6). De acuerdo, me cuadran los signos según el criterio seguido.
Integrando (5) y (6) se obtienen las velocidades en función del tiempo: v = vo - k_c·g·t (7) (velocidad lineal del cdm) y w = - (5k_c·g/2R)·t (8). Todo bien por ahora.
Quién resuelve los ejercicios introduce (4) en (7) y obtiene t₁ = 2v_o/7k_c·g. La resolución sigue pero ya me han surgido dos cuestiones:
I) ¿Por qué se interpreta el signo de w y se utiliza (4) en lugar de (3)? Yo había pensado introducir todos los signos salvo los de las incógnitas.
II) Si en lugar de utilizar (1) y (2) introduzco el signo de las aceleraciones (sé que ambas son negativas), las ecuaciones (5) y (6) "quedan positivas" y, por tanto, al integrarlas no obtengo ni (7) ni (8). Esto me hace pensar que cuando integre he de integrar las componentes con su signo, nunca el módulo. ¿Es así?

Gracias de antemano, un saludo.

[Richard R Richard]

I) ¿Por qué se interpreta el signo de w y se utiliza (4) en lugar de (3)?

se utiliza (4) y no (3) porque v es positiva en tu sistema e referencia, es un vector que apunta a la derecha. pero si tu convención de signos dice que lo que es antihorario es positivo, para igualar esas magnitudes debes mirar para que lado gira omega , como es horario le debes asignar signo negativo , esto es ques si el valor de omega es negativo, al poner el negativo en la formula menos por menos es mas resultando correcto el signo obtenido de v.

yo veo que algo esta raro en como usaron los signos en el planteo veamos si lo descubro

$$- Fr = ma$$

si usas así esta formula con $F_r=k_c N=k_c Mg$ , ya que $N-Mg=0$ aquí calculas el módulo de $F_r$ pero apunta en contra de las x luego es correcto como se ha utilizado en la ecuación 1 esto hace que la aceleración a sea negativa en el sistema de referencia, en la fórmula le pones un más porque piensas que va hacia la derecha pero te resulta negativa



$a=-\dfrac{F_r}{M}=-k_cg$ donde si $k_c$ es positiva y g es positiva y que uso ese signo en $N-Mg=0$ de lo contrario se hubiese usado $N+Mg=0$ y $g =-9.8m/s^2$ resultando que $N$ mantendría su signo.

veamos a lo que voy es a que debes ser consistente con los signos que usas ,

$$- F_rR = I_0\alpha$$

de nuevo aquí se ve que \alpha tiene que ser negativa según la adopción de ese sistema de referencia positivo antihorario.

II) Si en lugar de utilizar (1) y (2) introduzco el signo de las aceleraciones (sé que ambas son negativas), las ecuaciones (5) y (6) "quedan positivas" y, por tanto, al integrarlas no obtengo ni (7)

en ese caso debería haber escrito 1)

$$-F_r=-Ma \quad \to \quad a=\dfrac{F_r}{M}$$

resultado que el valor de a es positivo, ya que asignaste el signo contrario al sistema de referencia porque sabes que debe ir frenando a v que es positiva.

7 debe entonces escribirse como

$$v=v_o-at$$

el signo menos tiene el mismo significado que le he dado en 1' la aceleración va hacia la izquierda, y su módulo es positivo

entonces usando el resultado de 1') volvemos a obtener 7

$$v=v_o-\left(\dfrac{F_r}{M}\right)t<br />$$

en fin pueden considerar todas las variables con valor positivo, y poner siempre el signo delante pues ese es el que esperas tenga según el sistema de referencia, según crees apunta el vector, resulta que si haces las cuentas y te da negativo, es que el sentido es el inverso.

fijate que si usas 4 para determinar omega cuando v es positiva , resulta en un valor negativo, que se interpreta correctamente con que gira en sentido horario.

si hubieses usado 3 estaría errónea tu interpretación del sistema de referencia, por lo tanto el signo positivo que obtenías era el equivocado.

Esto me hace pensar que cuando integre he de integrar las componentes con su signo, nunca el módulo.

ya te he dicho, que vuelves a obtener la misma ecuación 7 por lo que integraras del mismo modo la misma ecuación

veamos

si el valor de a que usas en la formula es positivo entonces debes asignarle el sentido con los signos de la fórmula que será el negativo

y si expresa como indica el sistema de referencia, $a$ debe ser negativo , pero entonces debes usar la formula $v=v_o+at$ de la cinemática, luego es el signo de $a$ el que te devuelve la ecuación 7 correctamente .

[VictorBoyle]

Richard R Richard , gracias de nuevo por el detalle en tus explicaciones y tu paciencia, que tiende a infinito...

Otra cuestión de carácter general: Supongo que cuando escribimos una ecuación podemos:
1) O introducir todos los signos conocidos de todas las magnitudes.
2) O bien introducir todos los signos conocidos de todas las magnitudes excepto una de ellas. Si no introdujera el signo de dos o mas magnitudes el resultado sería incorrecto.

Gracias nuevamente, saludos