Otras carreras Momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje señalado

[cristianoceli]

Hola tengo dudas con este ejercicio:

Se tiene una varilla de largo L y masa M, la que esta sujeta a un eje, a la distancia L/4 de un extremo y en torno al cual puede oscilar. Suponga que a la distancia L/3 del otro extremo de la varilla, se adhiere a aquélla un disco de masa m (= 2 M) y radio R (= L/4). Determine una expresión para el momento de inercia de este cuerpo respecto al eje señalado, en función de M y L.



Lo que he hecho:

El momento de inercia de este cuerpo será la suma de los momentos de inercia de la varilla y el disco


Momento de inenrcia de la varilla


Podemos hacer la relación


$\displaystyle\frac{M}{L} = \displaystyle\frac{dm}{dx}$
$I = \displaystyle\int_{a}^{b} R^2\, dm$
$I = \displaystyle\int_{-\displaystyle\frac{3L}{4}}^{\displaystyle\frac{L}{4}} x^2 M/L\, dx$ donde x es la distancia entre dm y el eje de giro


Resolviendo la integral resulta que el momento de inercia de la varilla con respecto al eje es


$I = \displaystyle\frac{7ML^2}{48}$


- Momento de inercia del disco


Podemos aplicar el teorema se Steiner (creo que si)


$I' = I + Md^2$ , donde $d = 5L/12$


$\displaystyle\frac{7ML^2}{48} + 2M (\displaystyle\frac{5L}{12})^2$


Resultando finalmente $\displaystyle\frac{71ML^2}{144}$


Sumando los momentos de inercia resulta


$\displaystyle\frac{92ML^2}{144}$ muy lejano a lo que dice la guía que es $\displaystyle\frac{5}{9} ML^2$


De antemano gracias

[arivasm]

Re: Momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje señalado

Creo que aplicas mal el teorema de Steiner. El mdi del disco respecto del eje es $mR^2+md^2$. Por tanto, el primer sumando no es el mdi de la varilla, sino el del disco respecto de un eje que pase por su centro.

[Richard R Richard]

Re: Momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje señalado

hola el teorema de steiner para el disco de radio r ubicado a una distancia d del eje de giro es

$I_{disco}=\frac 12 mr^2+md^2$

Luego el momento de inercia total es

$I_T=I_{barra}+I_{disco}=\dfrac{7mL^2}{48}+\frac 12 m{(\frac L4)}^2+m(L\frac{5}{12})^2=mL^2(\frac{7}{48}+\frac{1}{32}+\frac{25}{144})=mL^2\dfrac{101}{288}$

no llego a tu 5/9 conclusión erronea ya que

Edito:
con la correccion que me da arivasm

$I_T=I_{barra}+I_{disco}=\dfrac{7ML^2}{48}+\frac 12 2M{(\frac L4)}^2+2M(L\frac{5}{12})^2=$$ML^2(\frac{7}{48}+\frac{2}{32}+\frac{50}{144})=ML^2\dfrac{160}{288}=\dfrac 59ML^2$

[arivasm]

Re: Momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje señalado

El enunciado dice que la masa del disco es doble de la de la barra

[Richard R Richard]

Re: Momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje señalado

cierto perdon, $\dfrac {160}{288}=\dfrac 59$

[cristianoceli]

Re: Momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje señalado

Gracias ahora me quedo claro

Saludos