Velocidad de caida con resistencia lineal(SYMON)

[follonic]

Para hallar la velocidad de caida con resistencia lineal SYMON(Mechanics, 1960) parte de
$m\frac{dv}{dt}= -mg-bv$ (b, constante de resistencia). Correcto. Pero después, tras integrar y establecer $v_0 =0$ en $t=0$, obtiene

$\int_{0}^{v}\frac{dv}{v+\frac{mg}{b}}= \frac{-bt}{m}$ (1)

Para llegar aquí, toma como referencia esta relación:

$m\frac{dv}{dt}= F(v)$ que, multiplicada por $[mF(v)]^{-1} dt$ e integrada de $t_0$ a $t$ da

$\int_{v_0}^{v}\frac{dv}{F(v)}= \frac{t-t_0}{m}$ (2)

¿Alguien ve como deducir (1) teniendo en cuenta (2)?

[Richard R Richard]

Hola follonic, cual es la duda realmente, no puedes integrar ? no sabes cuales son las fuerzas, ? Puedes explicarmelo por favor gracias!

Para hallar la velocidad de caida con resistencia lineal SYMON(Mechanics, 1960) parte de
$m\frac{dv}{dt}= -mg-bv$ (b, constante de resistencia). Correcto.

Correcto sería si b tiene valor menor que cero, es decir signo contrario----

Veamos un cuerpo cuando cae en un fluido viscoso como el aire o puedes llamarlo "medio resistivo" , esta sometido a dos fuerzas.

una es su peso $P=mg$

la otra es el rozamiento del aire que asumimos es proporcional a la velocidad, y no es del todo cierto te proponenen el libro pues la fuerza de rozamiento es contraria a la direccion de la velocidad y proporcional a su módulo , en ese mismo sistema de referencia la escribes

$F_r=-bv$

con b positiva.

por otro lado esta la segunda de ecuación de Newton que se cumple siempre

$\dst\sum F=ma=m\dfrac{dv}{dt}$

si miras lo que el libro dice el valor de $b$ debe ser negativo, puesto que como lo único que genera velocidad es la aceleracion gravitatoria, la resistencia del aire debe tener signo contrario a la gravedad.

Por lo tanto es correcto escribir

$m\dfrac{dv}{dt}=mg-bv$

y no como tu lo escribes del libro, si el libro presenta los dos sumandos con signo negativo entonces el valor de b debe ser negativo, puesto que el rozamiento siempre apunta en direccion contraria al desplazamiento.

ahora bien para resolver esa EC diferencial pasa de termino el denominador y el numerador del otro termina así

$m\dfrac{dv}{mg-bv}=dt$

ahora propones resolver la integral de ambos lados escogiendo correctamente los limites de integración

$\dst\int\limits_0^v m\dfrac{dv}{mg-bv}=\int\limits_0^t dt$

resuelves con un cambio de variable ejemplo

$u=mg-bv$

$du=-b dv\quad \to \quad \frac{-du}{b}=dv$

así transforma en

$\dst\int\limits_{mg}^{mg-bv} m\dfrac{\dfrac{-du}{b}}{u}=\int\limits_0^t dt=t$


$\dfrac{-m}{b}\dst\int\limits_{mg}^{mg-bv} \dfrac{du}{u}=t$

$\dst\dfrac{-m}{b}\ln u\big\vert_{mg}^{mg-bv} =t$

pasando términos exponentes te queda


$\ln \left (\dfrac{mg-bv}{mg} \right) = -\dfrac{bt}{m}$


$\dfrac{mg-bv}{mg}=\ee^{-\frac{bt}{m}}$

$mg-bv=mg\,\ee^{-\frac{bt}{m}}$

$v=\dfrac{mg}{b}\left (1-\ee^{-\frac{bt}{m}}\right)$

que es a lo que quieres llegar... por favor presta especial atención como hice este desarrollo y veras las diferencias de criterio de signos que ponen los que escriben los libros.

[Richard R Richard]

Tu ecuacion del hilo https://forum.lawebdefisica.com/foru...nte#post356147

es igual a la de este hilo solo observa que $k=\dfrac{b}{m}$

$v=\dfrac{mg}{b}\left (1-\ee^{-kt}\right)$

$v=\dfrac{g}{k}\left (1-\ee^{-kt}\right)$

$v=\dfrac{g}{k}-\dfrac{g}{k}\,\ee^{-kt}$

y en el caso de que la velocidad inicial no sea nula , si positivo es velocidad hacia abajo la ecuación te queda


$v=\dfrac{g}{k}-\dfrac{kv_0+g}{k}\,\ee^{-kt}$ tal cual te lo aclaro Alriga

[follonic]

Gracias. Tu desarrollo es perfectamente inteligible. Ahora bien, me queda la duda de cómo hace SYMON para llegar a la solución que apunto. Adjunto PDF's del autor que, cómo veras parte de $F=-mg-bv$. Dije que era correcto, pero no. El planteamiento ha de partir de $F=mg-bv$.