Series de Taylor y Ley de Hooke

[follonic]

Para obtener la Ley de Hooke, MARION/THORNTON escriben:

"...We consider here only cases in wich the restoring fore F is function only of the displacement: F=F(x). We assume that the function F(x) that describes the restoring force possesses continuous derivatives of all orders so that the function can be expanded in a Taylor series:

$F(x)= F_0+x(\frac{dF}{dx})_0+\frac{1}{2!}x^2(\frac{d^2F}{dx^2})_0+\frac{1}{3!}x^3(\frac{d^3F}{dx^3})_0+...$

where $F_0$ is the value of $F(x)$ at the origin $x=0$, and $(\frac{d^nF}{dx^n})_0$ is the value of the nth derivative at the origin. Because the origin is defined to be the equilibrium poiny, $F_0$ must vanish...If, then, we confine our attention to displacements of the particle are sufficiently small, we can normally neglect all terms involving $x^2$ and higher powers of $x$. We have, therefore, the approximate relation

$F(x)=-kx$

where wh have substituted $k= -(\frac{dF}{dx})_0$. Because the restoring force is always directed toward the equilibrium position(the origin), the derivative $(\frac{dF}{dx}_0)$ is negative, and therefore k is a positive constant. Only the first power of the displacement occurs in $F(x)$, so the restoring force in this approximation is a linear force"

Al margen del restringir la Ley de Hooke a las 'small oscillations'(que no comparto, como ya he dicho en otro hilo), me parece arbitrario obtener la Ley de Hooke recurriendo a Taylor. Los autores parten de que la 'restoring force' depende de $x$, indiscutible. Ahora bien, dado que suponen que tal 'restoring force', $F(x)$, tiene 'nth derivative at the origin', el polinomio de Taylor de la hipotética $F(x)$ debería o bien converger o bien extenderse hasta el infinto. Pero ocurre que, una vez desechado el primer monomio($F_0$), resulta que adjudican al segundo monomio el valor de una constante $k$ (sin explicar por qué), lo que, por tanto, y siguiendo las condiciones de los autores, significa que $F(x)$ no tiene n-derivadas, sino sólo una con un valor $\ne 0$, precisamente a primera derivada. A la que además, adjudican por fuerza un signo negativo: $k= -(\frac{dF}{dx})_0$. Siendo así, está claro que, la 2nda y n-derivadas siguientes, como derivadas de una constante $k$, son 0.


Gracias

[Weip]

Hola follonic. No sé si has visto mi última intervención antes de que se cerrara el anterior hilo, conviene bien que entiendas aquello que preguntabas porque esto es exactamente lo mismo. Si ya lo has leído y no quedan dudas de aquello, te comento esta duda.

Al margen del restringir la Ley de Hooke a las 'small oscillations'(que no comparto, como ya he dicho en otro hilo), me parece arbitrario obtener la Ley de Hooke recurriendo a Taylor. Los autores parten de que la 'restoring force' depende de $x$, indiscutible. Ahora bien, dado que suponen que tal 'restoring force', $F(x)$, tiene 'nth derivative at the origin', el polinomio de Taylor de la hipotética $F(x)$ debería o bien converger o bien extenderse hasta el infinto. Pero ocurre que, una vez desechado el primer monomio($F_0$), resulta que adjudican al segundo monomio el valor de una constante $k$ (sin explicar por qué), lo que, por tanto, y siguiendo las condiciones de los autores, significa que $F(x)$ no tiene n-derivadas, sino sólo una con un valor $\ne 0$, precisamente a primera derivada. A la que además, adjudican por fuerza un signo negativo: $k= -(\frac{dF}{dx})_0$. Siendo así, está claro que, la 2nda y n-derivadas siguientes, como derivadas de una constante $k$, son 0.

Arbitrario no es. Si quieres hacer una aproximación Taylor es lo primero que se nos viene a la cabeza. La constante $k$ le puedes dar el nombre que quieras, el caso es que la derivada de $F$ respecto $x$ en $x=0$ es una constante, un número, y te va a quedar algo de la forma número multiplicado por $x$, es decir, la ley de Hooke. Cuidado también cuando vuelvas a derivar: La derivada de $k=-F'(0)$ evidentemente es cero, ¡pero $F''(0)$ no tiene porqué ser 0! La razón es que primero derivas $F'$ y luego evaluas en $x=0$, y $F'(x)$ no tiene porqué tener los mismos ceros que $F''(x)$.

Si quieres pasamos a un ejemplo concreto como en el anterior hilo pero diría que es más un tema de entendimiento de qué son las series de Taylor. En todo caso ya nos dices si aún no se aclara la duda.

[javisot20]

Arbitrario no es. Si quieres hacer una aproximación Taylor es lo primero que se nos viene a la cabeza. La constante $k$ le puedes dar el nombre que quieras, el caso es que la derivada de $F$ respecto $x$ en $x=0$ es una constante, un número, y te va a quedar algo de la forma número multiplicado por $x$, es decir, la ley de Hooke. Cuidado también cuando vuelvas a derivar: La derivada de $k=-F'(0)$ evidentemente es cero, ¡pero $F''(0)$ no tiene porqué ser 0! La razón es que primero derivas $F'$ y luego evaluas en $x=0$, y $F'(x)$ no tiene porqué tener los mismos ceros que $F''(x)$.

¿ qué números son los correctos para nombrar a la constante "k" ?

Si utilizo naturales y no abarco "k" terminará sucediendo eso mismo, que a partir de un punto terminaré llamando 0 todo lo que no pueda especificar ser algo distinto de 0, ¿no?.

[Weip]

Hola javisot20.

¿ qué números son los correctos para nombrar a la constante "k" ?

No es que haya "números correctos", la constante elástica da lo que tiene que dar y eso se puede comprobar experimentalmente para ver que en efecto se cumple la ley de Hooke.

Si utilizo naturales y no abarco "k" terminará sucediendo eso mismo, que a partir de un punto terminaré llamando 0 todo lo que no pueda especificar ser algo distinto de 0, ¿no?.

¿Con naturales te refieres a números naturales? Si es ese el caso da igual si $k$ es natural o no. La última parte de la frase no comento porque no le encuentro sentido.

[javisot20]

¿Con naturales te refieres a números naturales? Si es ese el caso da igual si $k$ es natural o no. La última parte de la frase no comento porque no le encuentro sentido.

Es la última parte lo que me preocupa, haber si puedo simplificarlo.. Por un lado tenemos el conjunto de todos los valores posibles que podría tomar "k",
por otro lado tengo el conjunto de los números naturales,

si no existe biyección jamás debería poder describir valores de "k" arbitrariamente grandes y pequeños.

[Weip]

Hola de nuevo.

Es la última parte lo que me preocupa, haber si puedo simplificarlo.. Por un lado tenemos el conjunto de todos los valores posibles que podría tomar "k",
por otro lado tengo el conjunto de los números naturales,

si no existe biyección jamás debería poder describir valores de "k" arbitrariamente grandes y pequeños.

Creo que la pregunta se desvía demasiado del tema inicial del hilo. Pero por responderla, no importa que $k$ sea real; no existe biyección entre los reales y los naturales pero aún así podemos describir cantidades "arbitrariamente grandes" y "arbitrariamente pequeñas" con los reales (comillas porque estas son nociones un poco así así).

[javisot20]

Gracias por la ayuda Weip.

Discrepo en que podemos describir cantidades "arbitrariamente" pequeñas o grandes con los reales, el conjunto de los reales no es numerable por lo tanto no es organizable de menor a mayor (y viceversa) respecto de otros conjuntos infinitos no numerables.

Entre 2 conjuntos infinitos no podemos responder si uno es mayor que el otro con total precisión porque perdimos la capacidad de contar elementos. Usamos naturales para representar cardinales al ser numerables, una opción sencilla para generar demostraciones pero escasa para definir conjuntos infinitos.




Tiene que ver con el hilo en que,

- si no utilizamos un lenguaje que tenga el mismo cardinal exacto que "k" no podremos definir todos los valores posibles que "k" puede tomar.

- si no podemos definir todos los valores posibles que "k" puede tomar, no podemos asegurar en toda circunstancia que F"(0) vale 0 o algo diferente.

[Weip]

Hola javisot20. Creo que es claro que $k$ es real y añadir más no creo que ayude a disipar la duda de follonic. Es mejor que hagas otro hilo si quieres tratar cosas de conjuntos, y aquí mejor centrarse en la serie de Taylor y la ley de Hooke.

[follonic]

. La constante $k$ le puedes dar el nombre que quieras, el caso es que la derivada de $F$ respecto $x$ en $x=0$ es una constante, un número, y te va a quedar algo de la forma número multiplicado por $x$, es decir, la ley de Hooke.

Dejando de lado el tema si, en este caso concreto, las derivadas de igual o superior orden al 2, valen o no 0, lo que no comprendo es que, definida la 'restoring force' como $F=F(x)$, es decir, en abstracto, Marion/Thornton obtengan una constante $k$ de la primera derivada, como tú apruebas. Es decir, $k=(\frac{dF}{dx})_0$. Esto me parece un arbitrio; si no conocemos la función F(x) a desarrollar por Taylor, ¿cómo establecer que su primera derivada es una constante?.

En cuanto si se trata de un tema de comprensión de la serie de Taylor, no le encuentro especial dificultad, al menos al nivel matemático en que me enuentro: se trata de obtener valores tanto más aproximados para una f(x) derivable n veces en un x determinado como términos se componga el polinomio; si converge, la aproximación es total y el resto del polinomio es 0.

Saludos

[Weip]

Es decir, $k=(\frac{dF}{dx})_0$. Esto me parece un arbitrio; si no conocemos la función F(x) a desarrollar por Taylor, ¿cómo establecer que su primera derivada es una constante?.

La primera derivada de $F$, que llamamos $F'(x)$, no tiene porqué ser constante. En general dependerá de $x$. Pero la primera derivada de $F$ evaluada en , $F'(0)$ sí lo es, siempre, porque $F'(0)$ no depende de $x$ nunca. Pasa con todas las funciones, todos los Taylors aproximan por un polinomio, así que los términos son de la forma número * $(x-a)^n$ con $a$ y $n$ apropiados. En nuestro caso, llamamos $k$ a ese número que multiplica delante en el caso que nos ocupa, $n=1$ y $a=0$.

Pongo un ejemplo cuantitativo. Imagina algo estilo del otro hilo, $F(x)=\sin(x)$. Su derivada es $F'(x)=\cos(x)$. Como puedes ver, no es una función constante. Pero si evaluamos en obtenemos $F'(0)=\cos(0)=1$, que sí es constante. Esto cuadra con la serie de Taylor del seno en el origen, que empieza de la siguiente manera:

$F(x)=\sin(x)=x-\dfrac{x^ 3}{6}+...=1\cdot x-\dfrac{x^ 3}{6}+...$

Esa multiplicación por uno $1\cdot$ lo pongo para enfatizar que $1=F'(0)$, que es constante, y que le podemos llamar $k$. Quizás no es el mejor ejemplo del mundo porque hay un signo por ahí que baila pero creo que se entiende mejor así. El caso es que la primera derivada una vez evaluada en un punto es un número, por tanto constante.

[JCB]

Hola a tod@s.

Disculpad si lo que voy a escribir se aleja del tema principal, pero quisiera aportar mi comentario. Consideremos una barra de acero sometida a un ensayo de tracción. Los resultados del ensayo demuestran que los alargamientos unitarios, son proporcionales a los esfuerzos de tracción (ley de Hooke),

$\dfrac{\Delta l}{l}=\dfrac{1}{E}\dfrac{F}{S}$

$\epsilon=\dfrac{1}{E}\sigma$

$$\sigma=E\epsilon$$

Expresión habitual de la ley de Hooke en Ingeniería, donde $E=$ módulo de Young.

A partir de cierto esfuerzo $\sigma_p$, llamado límite de proporcionalidad, ya no existe una dependencia lineal entre $\sigma$ y $\epsilon$. Deja de cumplirse (1).

Por encima de $\sigma_p$, encontramos $\sigma_e$, llamado límite elástico. Una vez superado este, se producirán deformaciones permanentes.

Tanto $\sigma_p$ como $\sigma_e$, son característicos de cada material.

Lo anterior (con las debidas conversiones para los esfuerzos cortantes) también es aplicable a un muelle helicoidal (utilizado en las suspensiones de la mayoría de los automóviles actuales).

Saludos cordiales,
JCB.

[follonic]

La primera derivada de $F$, que llamamos $F'(x)$, no tiene porqué ser constante. En general dependerá de $x$. Pero la primera derivada de $F$ evaluada en , $F'(0)$ sí lo es, siempre, porque $F'(0)$ no depende de $x$ nunca. Pasa con todas las funciones, todos los Taylors aproximan por un polinomio, así que los términos son de la forma número * $(x-a)^n$ con $a$ y $n$ apropiados. En nuestro caso, llamamos $k$ a ese número que multiplica delante en el caso que nos ocupa, $n=1$ y $a=0$.

.

Disiento. En el caso de seno por Taylor, la 1ª derivada en 0 si es constante($1$). Pero en el caso del coseno igualmente evaluado en , no ($-sen(0)=0$), razón por lo que el desarrollo de la función coseno por Taylor omite las potencias impares($1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}...$). Todo ello, a menos que se iguale $k$ a , lo que me parece matemáticamente discutible(aunque ahí no me meto). Con esta salvedad, opino que la 1ª derivada de una función $f(x)$ evaluada en 0(o en cualquier valor o en potencias de $(x-a)$) no es siempre una constante. Puede serlo o no.

Si el planteamiento de Marion/Thorton fuese correcto y la Ley de Hooke se obtuviese por Taylor, ¿por qué no hacer lo mismo con la 2nda Ley de Newton?. Recordemos el planteamiento inicial de los autores en punto a la aludida Ley de Hooke:

"...We consider here only cases in wich the restoring fore F is function only of the displacement: F=F(x)...Because the origin is defined to be the equilibrium point, $F_0$ must vanish.." (*)

Pues bien. Supóngase un cuerpo suspendido por una cuerda y en reposo; puesto que la aceleración es función del desplazamiento($\frac{d^2x}{d^2t}$) y el cuerpo parte del reposo, el problema al cortar la cuerda se prodría plantear por Taylor. Sin meterme en esta cuestión, que me sobrepasa, me parece que, salvo recurrir a arbitrios, no se obtendría nada.

Saludos

(*) El planteamiento de las fuerzas en funcion del desplazamiento ya estaba años atrás en SYMON, Mechanics, 2nd. ed.:'Conservative force depending on position', p.30, fuerzas entre las que incluía la de ley Hooke)

[Weip]

Hola follonic.

Disiento.

Bueno, no es una cuestión de opiniones, pero me parece bien jaja.

En el caso de seno por Taylor, la 1ª derivada en 0 si es constante($1$). Pero en el caso del coseno igualmente evaluado en , no ($-sen(0)=0$),

es una constante. Igual de constante que $1$, $-3$ o $27.87$. Lo raro sería que si evaluaras en un punto el resultado del seno fuera algo como $x^2$. No tendría sentido.

Todo ello, a menos que se iguale $k$ a , lo que me parece matemáticamente discutible(aunque ahí no me meto).

Es físicamente discutible porque el ejemplo es más cosa de matemáticas; pero prefiero solucionarlo con un ejemplo de una función conocida primero porque es más fácil. Matemáticamente es impecable.

Con esta salvedad, opino que la 1ª derivada de una función $f(x)$ evaluada en 0(o en cualquier valor o en potencias de $(x-a)$) no es siempre una constante. Puede serlo o no.

Insisto en que no es una cuestión de opiniones. E insisto de que es un tema no tanto de ley de Hooke sino de entendimiento de cómo funciona una serie de Taylor. Todos los coeficientes del polinomio por el que desarrollas la función son constantes porque sino no tendrías un polinomio. Si tu tomas la imagen de una función por un punto $x_0$ el resultado es un número, siempre.

$f(x)$ es una función que depende de $x$. En general no es constante.
$f(0)$ es una constante, da igual el número que de, es constante siempre (siempre que tenga sentido evaluar $f$ en porque como sabes, el punto ha de pertenecer al dominio).
$f'(x)$ es la derivada de $f$ respecto a $x$ y es una función.
$f'(0)$ vuelve a ser una constante igual que pasaba con $f(0)$.

Aquí uso la notación:

$f'(0)=\left(\dst\frac{df}{dx}\right)_{x=0}$

Si el planteamiento de Marion/Thorton fuese correcto y la Ley de Hooke se obtuviese por Taylor, ¿por qué no hacer lo mismo con la 2nda Ley de Newton?. Recordemos el planteamiento inicial de los autores en punto a la aludida Ley de Hooke:

"...We consider here only cases in wich the restoring fore F is function only of the displacement: F=F(x)...Because the origin is defined to be the equilibrium point, $F_0$ must vanish.." (*)

Pues bien. Supóngase un cuerpo suspendido por una cuerda y en reposo; puesto que la aceleración es función del desplazamiento($\frac{d^2x}{d^2t}$) y el cuerpo parte del reposo, el problema al cortar la cuerda se prodría plantear por Taylor. Sin meterme en esta cuestión, que me sobrepasa, me parece que, salvo recurrir a arbitrios, no se obtendría nada.

En tu ejemplo el Taylor se hace también y da un resultado que conoces bien. Cuando dejas caer el cuerpo actúa la gravedad, que tiene dos fórmulas de la energía potencial si recuerdas (lo hago con la energía porque igual te suena más pero con la fuerza se hace igual):

$U=-G\dst\frac{Mm}{r}$

$U=mgh$

La relación entre las dos fórmulas es que la segunda es aproximación de la primera, aproximación que puedes sacar por Taylor:

$U(r)=U(R)+\left(\dst\frac{dU}{dr}\right)_{R}(r-R)+...$

Aquí $M$ es la masa de la Tierra y $R$ su radio. Calculando la derivada y recordando que $g=GM/R^ 2$ obtienes la aproximación. Y observa que $g$ es una constante, el clásico $9.8$ $m/s^2$.

[Richard R Richard]

Hola follonic , es difícil agregar algo más a lo que muy bien te explico Weip, Veo que no estas llegando a comprender en definitiva el potencial que tiene y lo que significa la aproximación por polinomios de Taylor.

Si tienes una función de $x$ cualquiera, y por mediciones o cualquier otro método puedes obtener el valor de la función y todas las derivadas respecto de $x$ para algún punto $x_0$, entonces la aproximación de Taylor te puede dar justamente un valor aproximado al que tendría la función original para valores de x en un entorno cercano al valor $x_0$.

Cuanto más valores de derivadas enésimas tengas , mas podrás extender el rango de valores de x donde el polinomio te dé una buena aproximación cometiendo un error por debajo de cierto límite. Salvo para las funciones de $x$ polinómicas puras el polinomio de Taylor no será exacto, pero es una excelente herramienta para obtener resultados mucho más fácilmente , que por otros métodos como los ceros de funciones, y otros métodos numéricos.

Si defines por ejemplo

$f(x)=ln(x)$

y dispones de los siguientes datos

$f(2)=ln(2)= 0,69314718055994530941723212145818$

$f’(2)=\dfrac{\partial f(x)}{\partial x}_{x=2}=\dfrac{1}{x}|_{x=2}=\dfrac{1}{2}$

$f''(2)= -\dfrac{1}{x^2} |_{x=2}=-\dfrac14$

y suponiendo que no tienes una calculadora a mano para calcular cuánto vale el logaritmo de $x$ cuando $x$ es cercano a 2 por ejemplo $x=2.1$

entonces usas la aproximación de Taylor

$f_T(x)\cong f(x_0)+\dfrac{f’(x_0)(x-x_0)}{1!}+\dfrac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}…..$

reemplazando

$f_T(2.1)\cong f(2)+\dfrac{\dfrac{1}{2} (2.1-2)}{1!} +\dfrac{-\dfrac{1}{4} (2.1-2)^2}{2!}…..<br />$

calculando

$f_T(2.1)= 0,74189718055994530941723212145818<br />$

que lo comparas con lo que da la calculadora para

$ln(2.1)= 0,74193734472937731248260652568134$

que tienen entre si una diferencia de

$4,0164169432003065374404223164659e-5$
un error en la cuarta cifra significativa, que bastante pequeño, obviamente, el error crece cuando te alejas del punto de donde conoces los datos de las derivadas, es decir si te alejas en este caso e $x=2.$

Para el caso del potencial gravitatorio veamos si me sale

Definamos algo de nomenclatura
$r$ es la distancia al centro de la tierra en el punto que estamos evaluando,
$R$ es el radio de la diera o la distancia radial entre el centro y la superficie de la tierra
$h$ es la distancia entre el punto y la superficie

Así sale que $r=R+h$

Definamos lo que es la aceleración de la gravedad en superficie como

$g=\dfrac{GM}{R^2}$

Si el potencial gravitatorio en el infinito es supuesto nulo $U(\infty)=0$ , el potencial puede calcularse directamente, sin tener en cuanta algún valor de referencia.

Ahora quieres aproximar el potencial gravitatorio para una masa m cerca de la superficie de la tierra

$U(r)=-\dfrac{mGM}{r}$

Si haces el polinomio de Taylor sabiendo cuánto valen sus primeras derivadas cuando $r=R$

Si suponemos como caso ideal que en la superficie la gravedad es constante con la altura, entonces todas las derivadas a partir de la segunda son nulas

$\dfrac{\partial^n f(x)}{\partial x^n}_{R}=0 \, \forall n\geq 2$.

$U_T(r)= U_T(R+h) \cong U(R)+\dfrac{\dfrac{\partial U(r)}{\partial r_{r=R}}(r-R)}{1!}+0$

$U_T(r)\cong -\dfrac{mGM}{R}+\dfrac{mGM}{R^2}(r-R)$

Cuando quieres ver cómo cambia ese potencial con la altura $h$ respecto a la superficie tomas ese mimo potencial a la altura $R$

$U_T(R)\cong -\dfrac{mGM}{R}+\dfrac{mGM}{R^2}(R-R) =-\dfrac{mGM}{R}$

La diferencia de potencial

$\Delta U(h)= U_T(r)- U_T(R)= -\dfrac{mGM}{R}+\dfrac{mGM}{R^2}(r-R)-( -\dfrac{mGM}{R})<br />$

$\Delta U(h)=\cong \dfrac{mGM}{R^2}(r-R)= \dfrac{mGM}{R^2}h$


Y sabiendo lo que vale $g$

Reemplazamos y tenemos

$\Delta U=\dfrac{mGM}{R^2}h=mgh$ cqd

En este caso la aplicación del polinomio de Taylor nos permite bajo la condición de que la gravedad no varíe con la altura recuperar las ecuaciones de energía potencial gravitatoria de la dinámica Newtoniana.
Cualquier calculo cinemática o dinámica, podría hacerse perfectamente usando el potencial gravitatorio $U(r)$, pero la complejidad de cálculo es demasiada, para la poca perdida de rigor que se tiene al aplicar la linealidad para una gravedad constante en el entorno de la superficie terrestre, y es claro que cuanto más grande sea h, es decir cuánto más te alejes de la superficie, o de tu punto de evolución mas error cometerás si aplicas la formula Lineal, en vez del potencial directo.