1r ciclo órbitas elípticas

[lokeno100]

Hola, buenas tardes, tengo un problema que creo que los datos están mal o lo estoy haciendo mal pero no me sale.

Un meteorito en el perihelio su distancia es de 5.10^9 m y su velocidad en el perihelio es de 7.10^3 m/s, La masa del sol es 2.10^30 kg. Calcular la velocidad en el afelio y su excentricidad.

Yo lo he hecho con la conservación del momento angular y la conservación de la energía, me sale una ecuación de segundo grado pero me sale algo extraño, me sale el perihelio de nuevo.

saludos.

[Richard R Richard]

Hola lokeno100 te invito a que pases por el siguiente blog a leer y aprender de estos temas



tienes que valerte de estas fórmulas y conceptos

• La conservación del momento angular

$$L=m r_pv_p=mr_av_a$$

donde $m$ es la masa del asteroide, pero no la necesitas, solo te sirve saber que $r_pv_p=r_av_a$

• la tercera le de kepler

$$\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM}=C$$

Sabiendo que $T=1$ año en las unidades que quieras por ejemplo en segundos $T=365.25d/a\times 24h/d\times60min/h\times60s/min$ y $M$ es la masa del sol

• algo de geometría de las elipses

la suma de las distancias en el perihelio y el afelio es igual a 2 semiejes mayores

$$2a=r_p+r_a$$

con la 2 despejas y calculas cuánto vale el semieje mayor $a$ de la órbita alrededor del sol , y con la 1 y 3 armas un sistema de 2x2 ecuaciones donde sacas la velocidad en el afelio y su distancia radial.

• la excentricidad la sacas sabiendo que

$$\epsilon =\dfrac{c}{a}=\dfrac{a-r_p}{a}=1-\dfrac{r_p}{a}$$

[lokeno100]

Hola, gracias, he usado todo eso, pero y la conservación de la energía?, saludos.

Muchas gracias.

[Richard R Richard]

Hola, gracias, he usado todo eso, pero y la conservación de la energía?, saludos.

La energía mecánica de la órbita se conserva para todo punto de la órbita, por ser la gravedad una fuerza central, la suma entre la energía cinetica y la energía potencial gravitatoria es una constante.

$E_m=\dfrac{1}{2}mv_R^2+\dfrac{L^2}{2mR^2}-\dfrac{GmM}{R}=Cte$

el primer sumando es la energía cinética en dirección radial,
el segundo la energía cinética en dirección tangencial
y el tercero es la energía potencial gravitatoria.

Haz números, reemplaza $R$ por $r_p$ o $r_a$ sabiendo que en el afelio y en el perihelio la velocidad en dirección radial es nula.

[Alriga]

A partir de la conservación de la energía y la conservación del momento angular, es posible hallar la expresión de la velocidad "v" en un punto arbitrario de la órbita elíptica en función de la distancia al Sol "r" en ese momento. Es una expresión muy útil:

$$v=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1 r-\dfrac 1{2 \ a} \right )}$$

La deducción de esta expresión la encontrarás en Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

A partir de ella la resolución del ejercicio es muy sencilla, despejando el semieje mayor de la órbita:

$a=\dfrac{G M}{\dfrac{2G M}r-v^2}$

Que particularizada a la posición del perihelio es:

$$a=\dfrac{G M}{\dfrac{2G M}{r_p}-v_p^2}$$

Una vez ya hemos calculado el semieje mayor, aplicamos conocidas propiedades de la elipse para calcular, primero la excentricidad:

$r_p=a(1-e)$

$$e=1-\dfrac{r_p}a$$

Con la excentricidad, calculamos la distancia en el afelio:

$r_a=a(1+e)$

Y finalmente volvemos a utilizar la expresión (1) para calcular la velocidad en el afelio:

$$v_a=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1{r_a}-\dfrac 1{2 \ a} \right )}$$

Y ejercicio resuelto. Pero resulta que con los datos del ejercicio

$G=6.6743\cdot 10^{-11}$ en unidades del SI

$M=2\cdot 10^{30} \ kg$

$r_p=5 \cdot 10^9 \ m$

$v_p=7\cdot 10^3 \ m$

Se obtiene aplicando la expresión (2) para calcular el semieje mayor:

$$a=2.5\cdot 10^9 \ m$$

¡¡Obtenemos que el semieje mayor de la órbita es menor que la distancia en el perihelio!!

Eso significa que es imposible que un objeto a una distancia del Sol de 5 millones de km, con una velocidad en ese punto de 7 km/s, esté en ese momento en el perihelio de una órbita elíptica.

Los datos del enunciado son erróneos, serían aceptables si por ejemplo, la distancia en el perihelio, en vez de ser $5\cdot 10^9$ metros fuese de $5\cdot 10^9$ kilómetros.

También sería un enunciado aceptable si en él con los valores que da, intercambias entre si las palabras “perihelio” con “afelio”. No sería aceptable, puesto que entonces el asteroide se estrellaría contra el Sol, tal como comenta Richard R. Richard abajo.

Saludos.

[Richard R Richard]

Invertir afelio por perihelio ,tampoco sirve, da un radio de perihelio de 4.5e8m, por lo que el asteroide chocaría con el sol cuyo radio es 6.78e8m

[lokeno100]

Me ha salido exactamente igual que alriga.

Muchas gracias a todo. saludos.

[Alriga]

Invertir afelio por perihelio, tampoco sirve, da una distancia de perihelio de 4.5e8m 4.6E+6 metros, por lo que el asteroide chocaría con el Sol cuyo radio es 6.78e8m 6.96E+8 metros

Ok Richard buena puntualización, gracias. Al invertir afelio con perihelio yo solo había calculado el semieje mayor, obteniendo 2.50E+9 m, que sale menor que el afelio de 5E+9 m, sin continuar en el resto del ejercicio, por lo que no me había dado cuenta de lo que acertadamente comentas.

Saludos.

[Richard R Richard]

Yo tampoco había hecho cuentas, hasta que notaste el error en los datos, las cuentas por la mañana me salen torcidas como siempre por el efecto almohada, por poner una excusa divertida digamos. También hubiese apostado un poroto por que la velocidad era baja como dice Abdulai mas adelante, pero proponer un k faltante en el enunciado como 7e3km/s era demasiado alta ya que la velocidad de escape del sol es solo 617.7km/s Saludos.

[Abdulai]

El dato de la velocidad en el perihelio es absurdamente bajo.

Debería estar comprendido entre la velocidad correspondiente a una órbita circular y una parabólica, esto es:

$\underbrace{\displaystyle\sqrt{\dfrac{GM}{r_p}}}_{circular} < v_p < \underbrace{\displaystyle\sqrt{\dfrac{2GM}{r_p}}}_{parabolica}\;\;\longrightarrow\;\; 1.63\cdot 10^5 < v_p < 2.31\cdot 10^5$

[Alriga]

El dato de la velocidad en el perihelio es absurdamente bajo. Debería estar comprendido entre la velocidad correspondiente a una órbita circular y una parabólica, esto es:

$\underbrace{\displaystyle\sqrt{\dfrac{GM}{r_p}}}_{circular} < v_p < \underbrace{\displaystyle\sqrt{\dfrac{2GM}{r_p}}}_{parabolica}\;\;\longrightarrow\;\; 1.63\cdot 10^5 < v_p < 2.31\cdot 10^5$

Correcto, si la distancia en el perihelio es de 5 millones de km como dice el enunciado, la órbita solo puede ser elíptica si la velocidad está comprendida entre 163.4 y 231 km/s, no unos míseros 7 km/s como dice el enunciado.

A lokeno100 tal vez le resulte interesante echar un vistazo a una cuestión similar que aparece en este comentario

Saludos.