1r ciclo problema de colision (Satelite)

[Jclucass]

Un satélite de masa m se mueve en una órbita circular de radio R alrededor de la Tierra. El satélite se mueve en el sentido de las agujas del reloj. De repente colisiona con un objeto de poca masa dm, basura espacial, que se movía en la misma órbita que el satélite, pero girando en sentido antihorario. Después de la colisión la basura queda incrustada en el satélite. Calcular:

a) El cambio en la energía total del satélite debido al choque.

b) Suponiendo que después de la colisión el satélite se estabiliza en otra órbita circular alrededor de la Tierra. Calcular el radio de la nueva órbita

Nota los resultados pedidos deben expresarse en función de las magnitudes conocidas :
Masa del satélite m
Radio del satélite R
Masa basura espacia dm
Constante de Gravitación Universal G
Masa Tierra M


El problema tengo claro que el apartado a), se conserva la cantidad de movimiento :

m_sa V_sa + m_ba V_ba = (m_sa + m_ba) Vf

La velocidad del satélite la puedo calcular usando la segunda Ley de Newton:


G M_T m_sa/ R² = m_sa V²_sa/R

Pero no sé sacar la velocidad de la basura espacial. ¿Alguna idea?

[Richard R Richard]

Pero no sé sacar la velocidad de la basura espacial. ¿Alguna idea?

Hola en lo posible , por favor utiliza LATEX para escribir tus ecuaciones, es sencillo de aprender en pocos minutos, pasate este link
Cómo introducir ecuaciones en los mensajes


Si la basura se incrusta en el satélite, la velocidad de la basura resulta ser igual a la del satélite ósea $v_f$
Edito y si la basura tenia la misma orbita circular que el satélite, su velocidad inicial es igual a la del satélite pero de signo contrario.

La orbita final luego del choque resulta ser elíptica, pero puedes calcular el radio de una orbita circular cuya energía mecánica sea igual a la posterior al choque., entiendo que a eso apunta la segunda pregunta.

[Jclucass]

Muchísimas gracias por la respuesta y la próxima vez utilizaré bien LATEX

[JCB]

Hola a tod@s.

Complementando lo ya dicho por Richard R Richard,

1) Velocidad final del conjunto satélite - basura. Aplicando la conservación de la cantidad de movimiento (como también has indicado en el enunciado),

$m_sv_s+m_bv_b=(m_s+m_b)v_f$. Como $v_b=-v_s$,

$v_f=\dfrac{m_s-m_b}{m_s+m_b}v_s$

2) Radio de la órbita circular final.

$\sum{F}=ma$,

$\dfrac{Gm_T(m_s+m_b)}{R_f^2}=(m_s+m_b)\dfrac{v_f^2}{R_f}$,

$R_f=\dfrac{Gm_T}{v_f^2}$. Como $v_s=\sqrt{\dfrac{Gm_T}{R}}$,

$R_f=\left(\dfrac{v_s}{v_f}\right)^2R$

3) Energía.

La energía inicial del satélite es $E_i=\dfrac{1}{2}m_sv_s^2-\dfrac{Gm_Tm_s}{R}$. Como $v_s=\sqrt{\dfrac{Gm_T}{R}}$,

$E_i=-\dfrac{1}{2}m_sv_s^2$

De igual forma, la energía final del conjunto satélite - basura es $E_f=-\dfrac{1}{2}(m_s+m_b)v_f^2$

Si alguien advierte algún error, espero su comentario.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a todos, mi interpretación es la siguiente.

es correcto tanto

m_sa V_sa + m_ba V_ba = (m_sa + m_ba) Vf

que en Latex se escribe ...(haz click en la formula para verlo)

$m_{sa} V_{sa} + m_{ba} V_{ba} = (m_{sa} + m_{ba}) V_f$ puesto que $V_{sa}=-V_{ba}$


como tambien es correcto

$v_f=\dfrac{m_s-m_b}{m_s+m_b}v_s$


pero a la hora de buscar una órbita circular lo que intentaría es conservar la energía mecánica.

Luego del choque tenemos $m=m_{sa}+m_{ba}$

$E_{m1}=\cancelto{0}{\dfrac{1}{2}m V_R^2}+\dfrac{L_1^2}{2mR^2}-\dfrac{GMm}{R}$

donde $L_1=mRV_f$

entonces

$E_{m1}=\dfrac12 mV_f^2-\dfrac{GMm}{R}$

en una Órbita circular el equilibrio de fuerzas

$m\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{GMm}{r^2}$

resultando

$$v^2=\dfrac{GM}{r}$$

la energía mecánica de esta órbita surge de

$E_{m2}=\cancelto{0}{\dfrac{1}{2}m V_r^2}+\dfrac{L_2^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}$

donde $L_2=mrv$

entonces

$E_{m2}=\dfrac12 mv^2-\dfrac{GMm}{r}$

reemplazando el resultado de la formula (1)

$E_{m2}=\dfrac12 m\dfrac{GM}{r}-\dfrac{GMm}{r}=-\dfrac12 m\dfrac{GM}{r}$

igualando $E_{m1}=E_{m2}$

$\dfrac12 \cancel m V_f^2-\dfrac{GM\cancel m}{R}=-\dfrac12 \cancel m\dfrac{GM}{r}$

solo queda despejar $r$

$r=-\dfrac{GM}{2\left(\dfrac{V_f^2}{2}-\dfrac{GM}{R}\right)}$

o bien

$r=\dfrac{R}{2-\dfrac{RV_f^2}{GM}}=\dfrac{R}{2-\dfrac{V_f^2}{V_{sa}^2}}=\dfrac{R}{2-\left(\dfrac{m_{sa}-m_{ba}}{m_{sa}+m_{ba}}\right)^2}=R\dfrac{m_{sa}^2+2m_{sa}m_{ba}+m_{ba}^2}{m_{sa}^2+6m_{sa}m_{ba}+m_{ba}^2}$

Luego surge $r<R$ como era de esperarse , al disminuir la energía , ya que $\dfrac{m_{sa}^2+2m_{sa}m_{ba}+m_{ba}^2}{m_{sa}^2+6m_{sa}m_{ba}+m_{ba}^2}<1$

[Jclucass]

Una pregunta Richard no entiendo este apartado $/E_{m2}=\cancelto{0}{\dfrac{1}{2}m V_r^2}+\dfrac{L_2^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}$
Si solo sumas la Energía cinética y Potencial te sale igual

[Richard R Richard]

Una pregunta Richard no entiendo este apartado $E_{m2}=\cancelto{0}{\dfrac{1}{2}m V_r^2}+\dfrac{L_2^2}{2mr^2}-\dfrac{GMm}{r}$
Si solo sumas la Energía cinética y Potencial te sale igual

Hola , cuando dices te sale igual, te refieres a que da el mismo resultado, es cierto siempre y cuando la órbita sea circular o bien la evalues en el periastro o en el apoastro de una orbita elíptica, el tema es que la expresión de la energía mecánica es una ecuación general para todos los casos, en el caso de la orbita circular la velocidad radial es nula es decir no hay componente de velocidad en direccion hacia el astro , y no es nula la velocidad transversal que es la que compone al momento angular. En cualquier otro caso la velocidad total (con la que calculas la energía cinetica) es la suma vectorial de la velocidad radial y la transversal, En mi formula evalúo por separado la energía cinetica en sentido radial $\cancelto{0}{\dfrac{1}{2}m V_r^2}$ que dijimos es nula . y la energía cinetica debido a la componente transversal, o la que permite modificar la velocidad para que se conserve el momento angular $\dfrac{L_2^2}{2mr^2}$ resumiendo, cuando $V_R=0$ sucede $|V_{sa}|=|V_{total}|$ y el problema entonces te sale directo evaluando la energía cinetica como $\dfrac{1}{2}m V_{total}^2$

[JCB]

Hola a tod@s.

Para aclararme un poco más el asunto, hago un ejemplo numérico. Supongamos un satélite de masa $m_s=500\ kg$, en una órbita circular de radio $R=6.671\ km$ (esto es, a $300\ km$ de la superficie terrestre). La masa de la basura es $m_b=1\ kg$.

La velocidad orbital del satélite antes del impacto es $v_s=\sqrt{\dfrac{Gm_T}{R}}=7.730,64\ m/s$.

La velocidad orbital final tras el impacto es $v_f=\dfrac{m_s-m_b}{m_s+m_b}v_s=7.699,78\ m/s$.

El radio de la nueva órbita circular tras el impacto es $R_f=\left(\dfrac{v_s}{v_f}\right)^2R=6.724,58\ km$.

La energía inicial del satélite es $E_{is}=-\dfrac{1}{2}m_sv_s^2=-1,4941\cdot 10^{10}\ J$.

La energía inicial de la basura es $E_{ib}=-\dfrac{1}{2}m_bv_b^2=-2,9881\cdot 10^{7}\ J$.

La energía total inicial es $E_{it}=-1,4971\cdot 10^{10}\ J$.

La energía final del conjunto satélite - basura es $E_f=-\dfrac{1}{2}(m_s+m_b)v_f^2=-1,4851\cdot 10^{10}\ J$.

Esto último significa que la energía mecánica ha aumentado, pues es menos negativa que la inicial.

¿ Alguien me puede corroborar si estos valores son correctos ?.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a tod@s.

Para aclararme un poco más el asunto, hago un ejemplo numérico. Supongamos un satélite de masa $m_s=500\ kg$, en una órbita circular de radio $R=6.671\ km$ (esto es, a $300\ km$ de la superficie terrestre). La masa de la basura es $m_b=1\ kg$.

La velocidad orbital del satélite antes del impacto es $v_s=\sqrt{\dfrac{Gm_T}{R}}=7.730,64\ m/s$.

La velocidad orbital final tras el impacto es $v_f=\dfrac{m_s-m_b}{m_s+m_b}v_s=7.699,78\ m/s$.

Decimal mas o decimal menos hasta aquí coincido

La energía inicial del satélite es $E_{is}=-\dfrac{1}{2}m_sv_s^2=-1,4941\cdot 10^{10}\ J$.

La energía inicial de la basura es $E_{ib}=-\dfrac{1}{2}m_bv_b^2=-2,9881\cdot 10^{7}\ J$.

La energía total inicial es $E_{it}=-1,4971\cdot 10^{10}\ J$.

La energía final del conjunto satélite - basura es $E_f=-\dfrac{1}{2}(m_s+m_b)v_f^2=-1,4851\cdot 10^{10}\ J$.

Esto último significa que la energía mecánica ha aumentado, pues es menos negativa que la inicial.

¿ Alguien me puede corroborar si estos valores son correctos ?.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

No esos no son correctos , la energía cinetica es positiva siempre, solo la energía mecánica y la potencial son negativas.


La energía cinetica inicial del satélite es $E_{is}=\dfrac{1}{2}m_sv_s^2=1,4941\cdot 10^{10}\ J$.

La energía cinetica inicial de la basura es $E_{ib}=\dfrac{1}{2}m_bv_b^2=2,9881\cdot 10^{7}\ J$.

La energía cinetica total inicial es $E_{it}=1,4971\cdot 10^{10}\ J$.

La energía cinetica final del conjunto satélite - basura es $E_f=\dfrac{1}{2}(m_s+m_b)v_f^2=1,4851\cdot 10^{10}\ J$.

lo cual es lógico la diferencia se ha perdido en calor,

Como todo el problema se desarrolla a la misma altura R el potencial gravitatorio , no varia.

$Ep_{sa}=\dfrac{Gm_Tm_{sa}}{R}$

$Ep_{ba}=\dfrac{Gm_Tm_{ba}}{R}$

$Ep_{sa+ba}=\dfrac{Gm_T(m_{sa}+m_{ba}}{R}=Ep_{sa}+Ep_{ba}$

Luego $\Delta Ep=0$


Luego $\Delta Em=\Delta Ep+\Delta Ec=\Delta Ec=1,4971\cdot 10^{10}\ J-1,4851\cdot 10^{10}\ J=1.2\cdot 10^{8}\ J=-W$

Luego la variación de energía mecánica es igual a la variación de la energía cinetica, e igual en modulo al calor liberado en el impacto.

[Jclucass]

Sois unos cracks. Muchas gracias

[JCB]

... / ...

No esos no son correctos , la energía cinetica es positiva siempre, solo la energía mecánica y la potencial son negativas.

... / ...

Hola a tod@s.

Claro, Richard R Richard, aunque yo no calculé en ningún momento las energías cinéticas, sino las totales. Si revisas lo que escribí, en ningún sitio verás tal adjetivación (cinética).

Recordando lo que escribí en el punto 3) de mi mensaje # 4, la energía del satélite antes del impacto es $E_{is}=\dfrac{1}{2}m_sv_s^2-\dfrac{Gm_Tm_s}{R}$, y como $v_s=\sqrt{\dfrac{Gm_T}{R}}$, $E_{is}=-\dfrac{1}{2}m_sv_s^2=-1,4941\cdot 10^{10}\ J$.

Por otra parte, el enunciado indica que después de la colisión, el satélite se estabiliza en otra órbita circular, aunque no tengo claro el desarrollo del punto 2) de mi mensaje # 4. Seguiré con el tema.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola JCB está entendido ahora lo del signo , no había prestado atención al detalle que en módulo eran iguales. Luego del impacto , la energía mecanica que que la suma de la potencial y la cinética, si la potencial no se altera porque la comisión sucede a una altura única, si la cinética cae entonces la energía mecánica cae justamente en el valor de energía de deformación. plástica.

La energía luego de la colisión esta calculada distinto en tu ejemplo porque lo haces del mismo modo que para las órbitas iniciales, pero la final no es una órbita circular sino elíptica

El radio de la nueva órbita circular tras el impacto es $R_f=\left(\dfrac{v_s}{v_f}\right)^2R=6.724,58\ km$.


La energía final del conjunto satélite - basura es $E_f=-\dfrac{1}{2}(m_s+m_b)v_f^2=-1,4851\cdot 10^{10}\ J$.

SI con la velocidad final quieres tener una órbita circular entonces debes cambiar de radio(aumentarlo) , lo que no conservará la energía mecánica (aumenta) , necesitas aportar energía más allá de la que se pierda en el impacto. Lo que es seguro que si velocidad de la órbita disminuye entonces el radio de la órbita circular aumenta y con ello el potencial gravitacional aumenta (es menos negativo)
PD tengo problemas para estar conectado luego edito y completo.