1r ciclo Cinemática de Rotación e Integrales

[bruno_uy]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Una rueda gira con una aceleración angular $\alpha$ dada por: $\alpha = 4at^{3} - 3bt^{2}$, donde a y b son constantes. Si la rueda tiene una velocidad angular inicial $w_o$ escriba las ecuaciones para la velocidad angular y el ángulo de barrido en función del tiempo.

Entonces es más que nada un problema de integrales

Tengo la siguiente duda de notación:

$\alpha = \frac{dw}{dt}$ integro ambos lados: $\displaystyle\int_{t_o}^{t}\frac{dw}{dt} = \displaystyle\int_{t_o}^{t}\alpha$

está bien anotado así o debería haber despejado $dt$ primero y después integrar ambos lados? o sea así..

$\displaystyle\int_{t_o}^{t}dw = \displaystyle\int_{t_o}^{t}\alpha dt$

Se entiende?

Y por otro lado, para resolver el problema se necesitan dos constantes una me la dan que es la velocidad angular inicial, debo considerar que $\varphi_o = 0$?

[Visitante]

Re: Cinemática de Rotación e Integrales

[FONT=Times][FONT=Times]Aunque ambas formas sean válidas, encuentro más correcta la primera (para no recurrir al despeje de diferenciales y demás artimañas que, a esta altura...creo que se aceptan sin importar la rigurosidad matemática xd). Eso sí, no olvides agregar el diferencial de t luego de $\frac{d\omega}{dt }$ y de $\alpha$, indicando que estás integrando ambos miembros de la igualdad en función del tiempo.

Fijate que te preguntan por el ángulo barrido, que es lo mismo que decir $\theta-\theta_o$. Cuando integres $\frac{d\theta}{dt }$ entre t y to vas a llegar a esa diferencia...que no es ni más ni menos que el ángulo barrido.[/FONT][/FONT]

[bruno_uy]

Re: Cinemática de Rotación e Integrales

Gracias por responder.

Claro! eso mismo pienso, estoy integrando en función del tiempo y me falta un $dt$, pero tengo que agregarlo de la nada? eso justamente es lo que no me convence.

A la diferencia del ángulo de barrido llego después que obtengo la ecuación de la velocidad angular en función del tiempo, hago el mismo procedimiento pero pero integrando la velocidad, para lo que voy a necesitar otra constante, por eso preguntaba si debo tomar el angulo inicial como cero, ya que otro dato no me han dado. Así finalmente obtengo la ecuación $\varphi (t)$ y allí ya lo tengo todo.

[Alriga]

Re: Cinemática de Rotación e Integrales

$\alpha=\dfrac{d\omega}{dt}$

$d\omega=(4at^3-3bt^2) \ dt$

$\dst \omega(t)=\int (4at^3-3bt^2) \ dt$

$\omega(t)=at^4-bt^3+k$

$\omega(0)=\omega_0=a \ 0^4-b \ 0^3+k$

$k=\omega_0$

$$\boxed{\omega(t)=\omega_0+at^4-bt^3}$$

$\omega=\dfrac{d\theta}{dt}$

$\dst \theta(t)=\int (\omega_0+at^4-bt^3) \ dt$

$\theta(t)=\theta_0+\omega_0 t+\dfrac a 5 t^5-\dfrac b 4 t^4$

$$\boxed{ \theta-\theta_0=\omega_0 t+\dfrac a 5 t^5-\dfrac b 4 t^4}$$

$\theta - \theta_0$ es el ángulo barrido, como ha explicado rodstring

Saludos.

[Weip]

Re: Cinemática de Rotación e Integrales

$\alpha = \frac{dw}{dt}$ integro ambos lados: $\displaystyle\int_{t_o}^{t}\frac{dw}{dt} = \displaystyle\int_{t_o}^{t}\alpha$

Puesto así tal cuál a pesar de que está bien, puede llevar a equívocos puesto que lo normal sería pasar el $dt$ al otro lado antes de integrar. Como dice rodstring $\displaystyle\int_{w_o}^{w}dw = \displaystyle\int_{t_o}^{t}\alpha dt$ es lo mismo que hacer $\displaystyle\int_{t_o}^{t}\frac{dw}{dt}dt = \displaystyle\int_{t_o}^{t}\alpha dt$ y que $\displaystyle\int_{t_o}^{t}\frac{dw}{dt} = \displaystyle\int_{t_o}^{t}\alpha$ si omitimos la variable respecto a la que integramos. No sé qué criterios usáis en clase pero en física lo más normal es pasar el $dt$ al otro lado.

Claro! eso mismo pienso, estoy integrando en función del tiempo y me falta un $dt$, pero tengo que agregarlo de la nada? eso justamente es lo que no me convence.

En principio no hay que agregarle nada, es una notación que se usa mucho también, pero si en clase no os lo enseñan así mejor ponlo de la otra forma.

Detallito final:

$\displaystyle\int_{t_o}^{t}dw = \displaystyle\int_{t_o}^{t}\alpha dt$

Los límites de integración de la primera integral deberían ir así, ya que integras respecto $w$: $\dst\int_{w_0}^w dw$.

Espero haberte ayudado.

PD: Alriga te ha escrito la versión con integrales indefinidas. Por si acaso, decir que el método es equivalente al que tú estabas intentando.

[bruno_uy]

Re: Cinemática de Rotación e Integrales

Gracias a todos, en particular esta era la clave (el expresarlo así).

$\displaystyle\int_{t_o}^{t}\frac{dw}{dt}dt$

y el desarrollo de Alriga impeacable, saludos.