Divulgación Calculo de la altura máxima en tiro balístico con g variable.

[inakigarber]

Buenas noches;

El problema que yo planteo se me ha ocurrido a mí y no sé si la solución a que llego es correcta.

Supongamos que lanzo un proyectil a una altura H, y que este alcanza la altura máxima en el tiempo T. Despreciando la rotación de la tierra y el rozamiento con el aire y considerando el valor de g como variable, conociendo el valor de T ¿podríamos calcular el valor de H?

Bien, para intentar hacerlo parto de lo siguiente;
$dE=Fdr$
$F=\dfrac{GMm}{r^2}$
$E=\int_R^{R+H}\dfrac{GMm}{r^2}dr$
Resolviendo esta integral definida me sale;
$E=GmM\left[\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{(R+H)}\right]$
Como el proyectil lo lanzo desde un cañón y presupongo que toda la energía cinética se transformará en energía potencial tendremos;
$\dfrac{mV_i^2}{2}=GmM\left[\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{(R+H)}\right]$
De lo cual deduzco que;
$V_i=\sqrt{2GM\left[\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{(R+H)}\right]}$

Parto de la suposición (no se si acertada) de que la velocidad medía en el trayecto de subida será;
$V_m=\dfrac{V_i}{2}$
$V_m=\sqrt{\dfrac{GM\left[\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{(R+H)}\right]}{2}}$

Como la altura alcanzada sería $H=V_m\cdot T$
$H=\sqrt{\dfrac{GM\left[\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{(R+H)}\right]}{2}}\cdot T$
Para despejar todos los términos con H al lado izquierdo de la ecuación elevo todo al cuadrado para quitarme la raíz y tras una série de manipulaciones me sale;
$2H^2(R+H)-\dfrac{T^2GMH}{R}=0$

Esto me conduce a una ecuación de $2º$ grado uno de cuyos resultados es negativo y se desprecia y el positivo es;
$H=\dfrac{-2R+\sqrt{4R^2+\dfrac{8T^2GM}{R}}}{4}$
Donde;
H=altura alcanzada;
T=Tiempo de subida
R=Radio terrestre
G=Constante de gravitación universal
M=Masa de la tierra.

¿Sería esto correcto?

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Parto de la suposición (no se si acertada) de que la velocidad medía en el trayecto de subida será;
$V_m=\dfrac{V_i}{2}$
.

Eso solo es cierto si la aceleración es constante, en este caso tu dices que es variable, así que no es cierto.

la velocidad media surge de

$V_m=\dfrac{\displaystyle{\int_{T_i}^{T_f} V(t) dt}}{T_f-T_i}$


sino usa

$\begin{aligned}<br /> \dfrac{\dd H}{\dd t}&=v(H),\\<br /> \dd t&=\dfrac{\dd H}{v(H)},\\<br /> \int_0^t \dd t&=\int_{H_0}^H\frac{\dd H}{v(H)},\\<br /> t(H_f)&=\int_{H_0}^{H_f}\dfrac{\dd H}{v(H)}.<br /> \end{aligned}<br />$

[Alriga]

...Supongamos que lanzo un proyectil a una altura “H”, y que este alcanza la altura máxima en el tiempo “T”. Despreciando la rotación de la tierra y el rozamiento con el aire y considerando el valor de g como variable, conociendo el valor de T ¿podríamos calcular el valor de H?...

No, no podemos, faltan datos. Pongo un ejemplo para que veas que el mismo tiempo “T” puede provocar distintas alturas “H”

a)

La cumbre del Chimborazo en Ecuador es el punto geográfico que se halla a mayor distancia del centro de la Tierra, (en rigor podríamos decir que es la montaña más alta del mundo, que no el Everest. Aunque el Everest es 2585 metros más alto que el Chimborazo medido desde el nivel del mar, debido al achatamiento ecuatorial de la Tierra, la cima del Everest está 1811 metros más cerca del centro de la Tierra que la cima del Chimborazo)

Masa de la Tierra M = 5.972E+24 kg

Constante de gravitación universal G = 6.743E-11 unidades SI

Distancia de la cima del Chimborazo al centro de la Tierra

R + h = 6384.4 km

Imaginemos que con un cañón lanzamos un proyectil en dirección horizontal desde la cima del Chimborazo con una velocidad

$v=\sqrt{\dfrac{G M}{R+h}}$

v = 7901.4 m/s

Con esa es la velocidad, el proyectil describirá una órbita circular de radio R+h=6384.4 km. Como no hay ningún otro punto geográfico a mayor distancia del centro de la Tierra que el Chimborazo, no podrá chocar con nada, hasta que el proyectil de la vuelta completa a la Tierra y choque contra el mismo cañón que lo ha lanzado.

La altura constante de todo el vuelo medida desde el centro de la Tierra ha sido R+h=6384.4 km. La altura "H" alcanzada medida desde el punto de disparo ha sido H=0

Una circunferencia de radio R + h = 6384.4 km tiene una longitud de:

$L=2\pi (R+h)=40114.4 \ km$

Como una órbita circular tiene velocidad constante, el tiempo de vuelo del proyectil habrá sido de:

$\boldsymbol T=\dfrac L v=5076.9 \ s$ = 1 hora 24 minutos y 36.9 segundos

Resumen, en T=1.41 horas de vuelo, altura alcanzada medida desde el centro de la Tierra R+h=6384.4 km. Y será H=0 la altura medida desde el punto de disparo.

b)

Imaginemos ahora que desde la misma cima del Chimborazo disparamos el cañón verticalmente.

Si disparamos con velocidad v=0 el tiempo de vuelo es T=0 y alcanzaremos una altura H=0

Calculemos la velocidad de escape desde la cima del Chimborazo:

$v=\sqrt{\dfrac{2 G M}{R+h}}$ = 11174.2 m/s

Si disparamos verticalmente con $v \geq 11.2$ km/s, el tiempo de vuelo será $T=\infty$ y alcanzaremos una altura $H=\infty$

Luego está claro que yo puedo ajustar el cañón para que la velocidad inicial del proyectil 0 < v < 11.2 km/s en tiro vertical sea tal, que el tiempo de vuelo sea exactamente T=1.41 horas. Y en ese tiro vertical la altura desde el centro de la Tierra R+h alcanzada, será muchísimo mayor que los R+h= 6384.4 km que alcanzamos cuando tiramos en horizontal con velocidad 7.9 km/s que dio un tiempo de vuelo de 1.41 horas.

Saludos.

[inakigarber]

....
Luego está claro que yo puedo ajustar el cañón para que la velocidad inicial del proyectil 0 < v < 11.2 km/s en tiro vertical sea tal, que el tiempo de vuelo sea exactamente T=1.41 horas. Y en ese tiro vertical la altura desde el centro de la Tierra R+h alcanzada, será muchísimo mayor que los R+h= 6384.4 km que alcanzamos cuando tiramos en horizontal con velocidad 7.9 km/s que dio un tiempo de vuelo de 1.41 horas.

Saludos.

Cunado pensé en el problema pensé en un tiro vertical, pero al escribir el enunciado se me olvidó. La clavé sería, supongo, calcular la velocidad medía tal y como Richard R Richard lo sugería en el post anterior y sustituir ese resultado al que yo proponía como velocidad medía. El valor que yo propuse solo valdría en un caso de g constante. Dado que el valor de g disminuye con la altura, la disminución de la velocidad sería mayor al principio (g grande) e iría disminuyendo progresivamente. El valor de dicha velocidad medía deberá ser menor que la que yo propuse.

[Alriga]

Kaixo Iñaki, si el tiro es radial respecto del centro de masa de "M" que genera el campo gravitacional, el problema es unidimensional. Supongamos que el cañón dispara un proyectil de masa “m” con velocidad "$v_0$" desde una distancia "$r_0$" en sentido radial contrario a la posición de "M". Podemos calcular la velocidad de dos formas:

a) Integrando la ecuación diferencial que nos proporciona la Segunda Ley de Newton:

$-\dfrac{ G M m}{r^2}=m \ \ddot r$


b) Usando la Conservación de la Energía Mecánica:

$\dfrac 12 \ m v_0^2-\dfrac{GMm}{r_0}= \dfrac 12 \ m v^2-\dfrac{GMm}r$


Con ambos métodos obviamente se obtiene la misma solución. En el hilo Ecuaciones de movimiento rectilíneo bajo la acción de un campo gravitatorio está el detalle de la resolución integrando la ecuación diferencial, solución que para nuestro caso particular es:

$v(r)=\sqrt{v_0^2+2 \ G M \left ( \dfrac 1 r - \dfrac 1{r_0} \right )}$

La altura máxima $r_M$ se obtendrá cuando el proyectil que sube frenando por el campo gravitatorio se detenga, antes de empezar a caer, es decir cuando $v=0$

$v_0^2+2 \ G M \left ( \dfrac 1{r_M} - \dfrac 1{r_0} \right )=0$

Despejando obtenemos la altura máxima medida desde el centro de “M”

$$\boxed{r_M=\dfrac{2GMr_0}{2GM-r_0v_0^2}}^{\boldsymbol *}$$

Observa que si la velocidad inicial fuese exactamente:

$v_0=\sqrt{\dfrac{2 G M}{r_0}}$

Entonces el denominador de la expresión de la altura máxima es cero, y la altura máxima sería infinita porque habríamos disparado el proyectil justo a la velocidad de escape correspondiente al punto de disparo.

Si tu dato, en vez de la velocidad inicial, fuese la altura máxima $r_M$ alcanzada por el proyectil, puedes calcular a qué velocidad inicial se ha disparado mediante:

$v_0^2+2 \ G M \left ( \dfrac 1{r_M} - \dfrac 1{r_0} \right )=0$

$v_0^2=2 \ G M \left ( \dfrac 1{r_0} - \dfrac 1{r_M} \right )$

Sustituyendo en la expresión de la velocidad:

$v(r)=\sqrt{2 \ G M \left ( \dfrac 1 r - \dfrac 1{r_M} \right )}$

Para hallar la ecuación del movimiento $r=r(t)$ debemos hacer:

$v=\dfrac{dr}{dt} \ \Rightarrow \ dt=\dfrac{dr}{v}$

Ecuación diferencial en variables separadas

$dt =\dfrac{dr}{\sqrt{2GM \left (\dfrac 1 r - \dfrac 1 {r_M} \right )}}$

Y obtendremos la ecuación del movimiento de forma ímplicita $t=t(r)$

Cuando tenga tiempo miraré de resolver la integral y postear la solución.

Saludos.

* Observad que si realizamos el desarrollo de Taylor de la expresión de la altura máxima $x_M$ para velocidades iniciales pequeñas, $v_0 <<$ obtenemos:

$r_M=r_0+\dfrac{v_0^2}{2\dfrac{GM}{r_0^2}}+\dfrac{r_0^3}{4G^2M^2} \ v_0^4 + \dots$

Y si nos quedamos con los 2 primeros sumandos, se obtiene la expresión que se deduce del lanzamiento vertical con aceleración de la gravedad $g_0$ constante:

$r_M=r_0+\dfrac{v_0^2}{2 \ g_0}$

[Alriga]

Cuando tenga tiempo miraré de resolver la integral y postear la solución...

$dt =\dfrac{dr}{\sqrt{2GM \left (\dfrac 1 r - \dfrac 1 {r_M} \right )}}$

$\dst t =\int_{r_0}^r \dfrac{dr}{\sqrt{2GM \left (\dfrac 1 r - \dfrac 1 {r_M} \right )}}$

$\dst t =\dfrac{1}{\sqrt{2GM}} \int_{r_0}^r \dfrac{dr}{\sqrt{\dfrac 1 r - \dfrac 1 {r_M}}}$

$t =\dfrac{1}{\sqrt{2GM}}\left [-r_M^{3/2}\arctan \sqrt{\dfrac{r_M}r-1}-\sqrt{r r_M^2-r_M r^2} \right ]_{r_0}^r$

$$\boxed{t (r) =\dfrac{1}{\sqrt{2GM}}\left ( \sqrt{r_0r_M^2-r_Mr_0^2}+r_M^{3/2} \arctan \sqrt{\dfrac{r_M}{r_0}-1}-r_M^{3/2} \arctan \sqrt{\dfrac{r_M}{r}-1}- \sqrt{r r_M^2-r_M r^2} \right )}$$

Expresión válida para $r_0\leq r\leq r_M$

Finalmente, el tiempo que transcurre entre el instante del lanzamiento y el instante en el que el proyectil alcanza la altura máxima, se obtiene sustituyendo en la expresión anterior $r=r_M$

$$\boxed{t_M =\dfrac{1}{\sqrt{2GM}}\left ( \sqrt{r_0r_M^2-r_Mr_0^2}+r_M^{3/2} \arctan \sqrt{\dfrac{r_M}{r_0}-1} \ \right )}$$

También:

$t (r) =t_M - \dfrac{1}{\sqrt{2GM}}\left ( r_M^{3/2} \arctan \sqrt{\dfrac{r_M}{r}-1}+\sqrt{r r_M^2-r_M r^2} \right )$

Y la velocidad media sería:

$\bar v=\dfrac{r_M-r_0}{t_M}$

Saludos.

[inakigarber]

Muchas gracias por tus explicaciones.

Sobre el post #5 creo que no hay mucho con lo que insistir aunque se me olvida con frecuencia que la energía potencial se representa con un signo negativo y eso me ha caudado confusión, de manera que una de las claves está en asumir que;
$\dfrac 12 \ m v_0^2-\dfrac{GMm}{r_0}= \dfrac 12 \ m v^2-\dfrac{GMm}r$

Ahora bien, me pierdo en la solución de la siguiente integral

$dt =\dfrac{dr}{\sqrt{2GM \left (\dfrac 1 r - \dfrac 1 {r_M} \right )}}$

$\dst t =\int_{r_0}^r \dfrac{dr}{\sqrt{2GM \left (\dfrac 1 r - \dfrac 1 {r_M} \right )}}$

He intentado desarrollar la integral pero no lo he logrado, por lo que he optado por usar wolfram-alpha y calcular una integral del mismo tipo.

[Alriga]

Kaixo Iñaki, no había reparado en tu post,

...He intentado desarrollar la integral pero no lo he logrado, ...

La integral sale haciendo primero un cambio de variable

$u^2=\dfrac r{r_M}$

Y posteriormente otro cambio

$u=\sin x$

Así es como resolví la integral similar que aparece en el hilo Gráfico posición - tiempo y velocidad - tiempo de un electrón atraído por un protón. Pero entre cambios y deshacer los cambios, llené 4 folios de cálculo.

... he optado por usar wolfram-alpha y calcular una integral del mismo tipo...

Como esta vez me daba mucha pereza hacer tanto cálculo, aquí yo también he usado WolframAlpha.

Saludos.

[inakigarber]

Muchas gracias por tu comentario.

Otros aspectos me han mantenido alejado del foro de física y estaba un poco olvidado de este asunto. Este hilo es un nuevo ejemplo de un problema que puede parecer fácil pero resulta ser mucho más complicado.

Saludos.