Consulta sobre la ecuación de Poisson y su significado.

[inakigarber]

Buenas noches;

Estoy leyendo este blog, en el que se trata de explicar como para velocidades no relativistas y para campos gravitatorios débiles, los resultados de la Relatividad General deben de corresponderse con los resultados de la mecánica Newtoniana, a pesar de que la mecánica Newtoniana tiene como pilar fundamental la fuerza gravitatoria y la relatividad niega la existencia de tal fuerza. Según el autor de dicho blog la forma de superar esta aparente incompatibilidad parte de la ecuación de Poisson. Aquí es donde estoy un poco pez y empiezo a perderme.
Concretamente cuando dice;
"En las teorías del campo gravitacional derivadas de la filosofía Newtoniana, la ecuación de campo es obtenida de la ecuación de Poisson ∇²φ = 4πGρ, siendo φ el potencial gravitacional, ρ la densidad de masa y ∇² el operador Laplaciano tri-dimensional, en conjunción con la ecuación del movimiento de Newton que nos dice que la aceleración de una partícula está dada por el gradiente de su potencial gravitacional, o sea da/dt = - ∇φ".

Si la aceleración fuera invariante con respecto al tiempo entonces esto significaría que el gradiente del campo gravitatorio sería nulo. Siendo el operador nabla un operador diferencial ¿significaría esto que en ese caso el potencial gravitatorio sería también invariante. Por otra parte me he planteado ¿en que unidades se mide $\nabla \varphi$?
Bien, para ello me he fijado en la ecuación

$$\nabla ^2 \varphi=4\pi G \rho$$

$\rho=\dfrac{m}{x^3}$
$m\dfrac{x}{t^2}=\dfrac{Gm^2}{x^2}$
$G=\dfrac{x^3}{t^2 m}$
m=masa, t=tiempo, x=espacio.
sustituyendo en (1)
$\nabla ^2 \varphi=4\pi \dfrac{x^3}{t^2 m} \dfrac{m}{x^3}$
Como $4\pi$ es un factor adimensional el único que me queda es; $\nabla ^2 \varphi=t^{-2}$ por lo que $\nabla \varphi=t^{-1}$.
¿Es esto correcto? A mi me resulta extraño.

Saludos y gracias.

[Al2000]

Camarada, el operador nabla es una derivada espacial. El potencial gravitacional (energía potencial por unidad de masa) tiene dimensiones $\mathrm {L^2 T^{-2}}$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

...la aceleración de una partícula está dada por el gradiente de su potencial gravitacional, o sea da/dt = - ∇φ

Kaixo Iñaki, nota que el texto del blog está bien pero la expresión matemática que escribe a continuación está mal, debería decir:

..., o sea $\boldsymbol{\vec a}=- \nabla \phi$

Para la intensidad del campo gravitatorio no suele usarse "a" sino que habitualmente se usa "g"

$\boldsymbol{\vec g} =- \left ( \dfrac{\partial \phi}{\partial x} \ \hat{i}+\dfrac{\partial \phi}{\partial y} \ \hat{j}+\dfrac{\partial \phi}{\partial z} \ \hat{k} \right )$

Las unidades del potencial gravitacional son J / kg que corresponden a unas dimensiones $[\phi]=L^2T^{-2}$ como bien te explica Al2000

Por lo tanto:

$[\nabla \phi]=\dfrac{L^2T^{-2}}L=LT^{-2}$

$[\nabla^2 \phi]=\dfrac{L^2T^{-2}}{L^2}=T^{-2}$

Saludos.

[inakigarber]

....

$[\nabla \phi]=\dfrac{L^2T^{-2}}L=LT^{-2}$

De manera que el operador $\nabla\phi$ designa una aceleración. Sería la proyección de los componentes del vector aceleración en un espacio tridimensional.

....

$[\nabla^2 \phi]=\dfrac{L^2T^{-2}}{L^2}=T^{-2}$

Saludos.

Esto último no logro entenderlo.

[Alriga]

$\boldsymbol{\vec g}=- \nabla \phi$

De manera que el operador $\nabla\phi$ designa una aceleración. Sería la proyección de los componentes del vector aceleración en un espacio tridimensional.

Esa no sería la manera más correcta de expresarlo, con mayor claridad lo que se debería decir es que:

• El gradiente del potencial gravitatorio cambiado de signo en un punto del espacio, es la intensidad del campo gravitatorio en ese punto.
• La intensidad del campo gravitatorio en un punto, es el vector aceleración que sufriría una masa de prueba situada en ese punto.

Esto último no logro entenderlo.

$\dst \nabla^2 \phi ={\partial^2 \phi \over \partial x^2 } +{\partial^2 \phi \over \partial y^2 } +{\partial^2 \phi \over \partial z^2 }$

La dimensión de los numeradores $[\phi]=L^2T^{-2}$

Las dimensiones de los denominadores son $[x^2]=[y^2]=[z^2]=L^2$

Por lo tanto:

$[\nabla^2 \phi]=\dfrac{L^2T^{-2}}{L^2}=T^{-2}$

Ponte como ejemplo similar la definición cinemática de la aceleración:

$\vec a=\dfrac{\dd^2 \vec r}{\dd t^2}$

En donde $\vec r$ es el vector de posición. ¿Cuáles son las dimensiones de la aceleración?

Numerador $[r]=L$

Denominador $[t^2]=T^2$

$[a]=\dfrac L{T^2}=LT^{-2}$ es decir, unidades $m/s^2$

Saludos.

[inakigarber]

$\boldsymbol{\vec g}=- \nabla \phi$



Esa no sería la manera más correcta de expresarlo, con mayor claridad lo que se debería decir es que:

• El gradiente del potencial gravitatorio cambiado de signo en un punto del espacio, es la intensidad del campo gravitatorio en ese punto.
• La intensidad del campo gravitatorio en un punto, es el vector aceleración que sufriría una masa de prueba situada en ese punto.

$\dst \nabla^2 \phi ={\partial^2 \phi \over \partial x^2 } +{\partial^2 \phi \over \partial y^2 } +{\partial^2 \phi \over \partial z^2 }$

La dimensión de los numeradores $[\phi]=L^2T^{-2}$

Las dimensiones de los denominadores son $[x^2]=[y^2]=[z^2]=L^2$

Por lo tanto:

$[\nabla^2 \phi]=\dfrac{L^2T^{-2}}{L^2}=T^{-2}$

....

Muchas gracias por tú respuesta, la clave como ya apuntó Al2000, es que se trata de una derivada temporal, mejor dicho, una segunda derivada personal. Luego $[\phi]=L^2T^{-2}$
$\nabla^2 \phi=\dfrac{d}{dL}\dfrac{dL t^{-2}}{dL}=\dfrac{d}{dL}(2t^{-2}x)=-2t^{-2}$. El factor 2 es un factor adimensional, luego $\nabla^2\phi$ se mide en dimensiones de $Seg^{-2}$.

La verdad es que no se me había ocurrido pensar que la derivada de la aceleración con respecto al espacio es $t^{-2}$, pero es así de obvio.

Muchas gracias.