1r ciclo Momento angular y fricción

[bruno_uy]

Hola, tengo una duda sobre la interpretación de un resultado de un problema ya hecho por docente.
El problema es el siguiente:


El cilindro de masa M puede rotar alrededor de su centro, se dispara un cuerpo de masa m con velocidad inicial $\vec{v_o}$
Pasa por la parte superior del cilindro, entre la masa m y el cilindro hay fricción, entre la masa m y la superficie horizontal no la hay.
Hay que calcular la velocidad final con la que termina la masa m al haber pasado al otro lado.

Entonces aplicando conservación del momento angular se llega a que la velocidad final es:

$\vec{v} = \displaystyle\frac{mv_oR}{ mR + \displaystyle\frac{I}{R}}$

Mi duda es la siguiente:
Cómo se entiende que no importe cual sea el coeficiente de rozamiento?
Da igual que sea poquito a que sea una superficie sumamente rugosa?
Ya que cómo ven en el resultado de la velocidad final sólo depende de la velocidad inicial, radio y momento de inercia del cilindro.

Saludos.

[skynet]

Re: Momento angular y fricción

Cómo se entiende que no importe cual sea el coeficiente de rozamiento?
Da igual que sea poquito a que sea una superficie sumamente rugosa?

sí que importa, imagino que se supone que el coeficiente de rozamiento es lo suficientemente alto.
al principio de entrar en contacto, mientras que el cilindro se acelera, se producirá deslizamiento entre las dos superficies, pero antes de que dejen de estar en contacto , si el coeficiente de rozamiento es lo suficientemente alto, las dos superficies irán a la misma velocidad y dejará de haber deslizamiento.

[bruno_uy]

Re: Momento angular y fricción

gracias por responder, ok cuando dejen de estar en contacto estarán a la misma velocidad, pero esto no podría ser de otra manera, si dejan de estar en contacto la velocidad de la masa m y la velocidad tangencial del cilindro van a ser las mismas.
Ahora, que otros casos posibles habría en función de los valores del coeficiente de rozamiento? por ejemplo si fuera insuficiente..

yo veo que si el coef. de rozamiento es demasiado alto entonces no habría deslizamiento, la masa m se posaría sobre el cilindro y este la trasnportaria hasta la otra punta donde se despegarían. Es deslizamiento cuando se da?

[felmon38]

Re: Momento angular y fricción

Bruno, abundando en lo que dice supernena, fíjate que se supone que v=w.R, es decir, que no existe deslizamiento y la fuerza de rozamiento será inferior a N. μ, por lo que si, al resolver el problema, esta fuerza es superior a N.μ la hipótesis de que no hay deslizamiento no es válida y hay que rehacer el problema, pero sin suponer que v=w.R ¡Vaya pedazo de problema!
Saludos

[skynet]

Re: Momento angular y fricción

yo veo que si el coef. de rozamiento es demasiado alto entonces no habría deslizamiento, la masa m se posaría sobre el cilindro y este la trasnportaria hasta la otra punta donde se despegarían. Es deslizamiento cuando se da?

al principio tienes deslizamiento, ten en cuenta que el cilindro no puede acelerarse instantaneamente hasta la velocidad final, necesita un tiempo, durante ese tiempo se produce deslizamiento, si el coeficiente de rozamiento es alto la aceleracion es grande y el tiempo de aceleracion corto de modo que el cilindro alcanza la velocidad necesaria para que no se produzca desliazamiento antes de que el cuerpo termine de pasar.

[bruno_uy]

Re: Momento angular y fricción

Disculpen la insistencia, entiendo que el cuerpo al principio se desliza y luego deja de hacerlo cuando alcanza la velocidad final.
Pero esa velocidad final quién la determina? el coeficiente de rozamiento supongo
Analíticamente cómo puedo verlo eso? ya que no termino de entender el problema.
$\vec{F_{roz}} \leqslant \vec{N}\mu_k$

a la masa que viene con velocidad inicial $\vec{v_o}$ se le aplica la fuerza de rozamiento entonces sufre una desaceleracion tal que:

$\vec{F_{roz}} = m\vec{a}$

o sea que:

$<br /> m\vec{a} \leqslant \vec{N}\mu_k = m\vec{g}\mu_k$

hasta acá sólo consigo ver que la desaceleración en este caso está acotada, y que esta desaceleración es respecto a la superficie, ya que el centro de masas se seguirá moviendo.
Cómo puedo seguir este razonamiento, si es correcto, y ver en que momento la velocidad dejará de desacelerar en algún momento y que esto depende del coeficiente de rozamiento que es lo único indefinido aún, se me ocurre quizá derivar esto pero no veo que me da la derivada de: $m\vec{g}\mu_k$

[Richard R Richard]

Re: Momento angular y fricción

Si reemplazas el valor del momento de inercia del cilindro en la ecuación que pones

$\vec{v} = \displaystyle\frac{mv_oR}{ mR + \displaystyle\frac{I}{R}}$

llegas a que la relación entre la velocidad inicial y final en función de las masas m y M del cilindro es

$\vec{v} = \displaystyle\frac{\vec{v_o}}{ 1 + \displaystyle\frac{M}{2m}}$

Edito :Lo siguiente es incorrecto , como apunta luego supernena en el mensaje #17


para mi no es correcto , ni siquiera sería cierto si la fuerza de rozamiento no hiciera trabajo, pues consideras el problema como de colisión.

La energía cinética inicial de la masa m es

$$E_{ci}=\frac 12 mv_o^2$$

La energía cinética final de la masa m es

$$E_{cf}=\frac 12 mv_f^2$$

sabemos que $\omega_f=\dfrac{v_f}{R}$

por lo que la energía cinética rotacional de M será

$$E_{cr}=\frac 12 I\omega^2=\frac 12 \frac 12 MR^2\dfrac{v_f^2}{R^2}=\frac14Mv_f^2$$

Aplicando la conservación de la energía mecánica es decir que no pierdo energía por rozamiento

$E_{mi}=E{ci}$
$E_{mf}=E_{cf}+E_{cr}$
$W_{fr}=-\Delta Em=E_{mi}-E_{mf}=0$

reemplazando por los valores de 1 2 y 3

$\frac 12 m v_o^2=\frac 12 m v_f^2+\frac14Mv_f^2$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Para que veas de donde viene voy a hacer mas real el problema voy a suponer lo siguiente

el largo del objeto de masa $m$ es $L_o$
mientras están en contacto la fuerza de rozamiento dinámica es $\mu_d N=\mu mg=Cte$
si la fuerza de rozamiento es constante la desaceleración de m y la aceleración angular de de m serán constantes

También vamos a suponer que la distancia que recorre la masa m hasta alcanzar la velocidad final es $L$ que seguramente es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] esto quiere decir que cuando se toque el cilindro y la masa pasada la longitud L sus velocidades tangencial serán iguales y no habrá rozamiento dinámico, como ya te indicaron, habrá rodadura y el trabajo neto de fricción será nulo sobre esta parte.

del mismo modo al cilindro le pasa lo mismo girando una longitud $\theta$ equivalente a una longitud de arco $L_a$ dividida por el radio $R$

Para hallar la longitud $L$ de la cinemática recurres a

$$v_f^2-v_o^2=2La$$

y por dinámica sobre el cilindro que $\frac 12 MR^2\alpha=\mu mgR$

donde

$$\alpha=\dfrac{2\mu mg}{MR}$$

$$\omega^2=2\alpha \theta =\dfrac{2\alpha L_a}{R}=\dfrac{v_f^2}{R^2}=\dfrac{4\mu mgL_a}{MR^2}$$

también sabemos que

$$-F_r=ma=-\mu mg\quad \to\quad a=-\mu g$$

y el trabajo de la fuerza de rozamiento será

$W_{fr}=-\mu mg(L-L_a)$

$$W_{fr}=\mu mg\left (\dfrac{v_o^2-v_f^2}{2\mu g}-\dfrac{Mv_f^2}{4\mu mg}\right )$$

si supones que el el trabajo de la fuerza de rozamiento es nulo es decir que no hay perdidas de calor debido al rozamiento entonces

la ecuación 8 se convierte en

$0=\frac 12 mv_o^2-\frac 12 mv_f^2-\frac 14 \frac Mmv_f^2$

que conduce al mismo (resultado 1) de la ecuación

como hemos visto que $W_{fr}=-\mu mg(L-L_a)$

Necesitas saber cuanto es esa distancia (L-L_a) para concluir cuanto es lo que disminuye la energía del sistema para que efectivamente puedas calcular $v_f$, pero como no te la dan en el problema solo puedes plantear la conservación y dar el resultado 1

[felmon38]

Re: Momento angular y fricción

Bruno, lo siento pero tengo otra posible solución. Los problemas de choque habría que resolverlos por la Teoría de la Elasticidad para después obtener la solución correspondiente a la Mecánica (hipótesis de punto material y de sólido rígido) hallando la solucíon como límite al hacer tender a cero las dimensiones del bloque y a infinito el módulo de elasticidad.

Bajo esta perspectiva el límite del tiempo del choque será cero, el limite de la fuerza de rozamiento será infinito ya que provoca un cambio brusco de la velocidad, el límite de los impulsos de la fuerza de rozamiento y de la normal (despreciaré el peso frente a N) será indeterminado, por ser el producto de una vaible que tiende a infinito por otra ue tiende a cero. En vista de que el tiempo de contacto es cero supongo el choque sin pérdida de energía.

Bueno ahora aplicamos las ecuaciones de la Mecánica, suponiendo que no hay deslizamiento (v_x y v_y son las componentes de la velocidad después del choque):

mv₀ = mv_x + I.w (1)

$\int$-f_r.dt = m(v_x-v₀) (2)

$\int$N.dt = mv_y (3)

$\int$ f_r.R.dt = I.w (4)

mv₀²/2 = mv_x²/2 + mv_y²/2 + Iw²/2 (5)

la ecuación (1) es combinación lineal de (2) y (4)

Con las ecuaciones (1) y (5) se obtiene v_x ,v_y

Ahora se puede calcular el valor mínimo de μ para que se cumpla la condición de que no haya deslizamiento. en este caso v_x = w.R. De las ecuaciones (2) y (3) el valor máximo de f_r es Nμ, de donde se deduce el valor mínimo de μ: μ_mín=(v₀-v_x)/v_y. En el caso en que μ sea menor que este valor, habrá deslizamiento, por los que la fuerza de rozamiento será N.μ y con las mismas ecuaciones, pero siendo v_x≄w.R se pueden obtener las incógnitas.

Saludos

[bruno_uy]

Re: Momento angular y fricción

muchas gracias Richard espectular desarrollo y expicación..
Lo mismo felmon38 por la solución alternativa,
estoy estudiando con detenimiento ambas.

Saludos.

[skynet]

Re: Momento angular y fricción

Disculpen la insistencia, entiendo que el cuerpo al principio se desliza y luego deja de hacerlo cuando alcanza la velocidad final.
Pero esa velocidad final quién la determina? el coeficiente de rozamiento supongo
$m\vec{g}\mu_k$

.....supones mal.....la velocidad final está determinada por la conservación del momento angular.

La solución que indicas en el primer mensaje es correcta y se obtiene directamente de aplicar el teorema de conservación del momento angular junto con la condición de que el coeficiente de rozamiento es lo bastante alto como para que el cilindro alcance la velocidad necesaria para que no se produzca deslizamiento antes de que el cuerpo termine de pasar.

Si reemplazas el valor del momento de inercia del cilindro en la ecuación que pones

$\vec{v} = \displaystyle\frac{mv_oR}{ mR + \displaystyle\frac{I}{R}}$

llegas a que la relación entre la velocidad inicial y final en función de las masas m y M del cilindro es

$\vec{v} = \displaystyle\frac{\vec{v_o}}{ 1 + \displaystyle\frac{M}{2m}}$

para mi no es correcto , ni siquiera sería cierto si la fuerza de rozamiento no hiciera trabajo, pues consideras el problema como de colisión.

......no consideras el problema como de colisión, sólo aplicas el teorema de conservación del momento angular lo cual es totalmente correcto.

si supones que el el trabajo de la fuerza de rozamiento es nulo es decir que no hay perdidas de calor debido al rozamiento entonces

......eso es suponer demasiado....no se puede resolver un problema haciendo suposiciones infundadas....

no le busquéis los tres pies al gato, se resuelve por conservación del momento angular, eso es seguro.

[felmon38]

Re: Momento angular y fricción

Hola supernena, el problema está en que así hay pérdida de energía en el contacto, que no parece lógico.

Saludos

[skynet]

Re: Momento angular y fricción

a mí sí que me parece lógico......durante la aceleración del cilindro hay deslizamiento entre las dos superficies y por lo tanto pérdida de energía mecánica por fricción entre esas superficies.

[felmon38]

Re: Momento angular y fricción

Bueno, yo es que he considerado al bloque como un masa puntual y que ,por lo tanto , en este caso, el contacto será instantáneo (idealmente) El suponer que tiene dimensiones tiene como consecuencia que a lo largo del contacto el bloque estará somerido a la normal con lo que girará, además existirá momento de las fuerzas exteriores respecto del eje del cilindro, debido a que, por las dimensiones del bloque, su peso no le corta durante todo el contacto y no se conservará el momento angular, en fin ¡menudo lío!.
Saludos

[skynet]

Re: Momento angular y fricción

Bueno, yo es que he considerado al bloque como un masa puntual y que ,por lo tanto , en este caso, el contacto será instantáneo (idealmente)

¿por qué consideras el bloque como una masa puntual?....está claro que no lo es.

El suponer que tiene dimensiones tiene como consecuencia que a lo largo del contacto el bloque estará somerido a la normal con lo que girará,

el estar sometido a la normal no significa que girará....no entiendo por qué dices eso.

además existirá momento de las fuerzas exteriores respecto del eje del cilindro, debido a que, por las dimensiones del bloque, su peso no le corta durante todo el contacto y no se conservará el momento angular

¿Qué fuerzas exteriores?, si consideras el sistema cuerpo+cilindro las únicas fuerzas exteriores son el peso y la normal cuya resultante y momento resultante son igual a cero por lo que sí se conserva el momento angular.

[Richard R Richard]

Re: Momento angular y fricción

Hola supernena, el problema si lo abordas como colisión, ambas velocidades finales son iguales de ese modo se trataría de una colisión inelástica, en eos problemas puedes aplicar conservación de la energía mecánica pero no la conservación del momento ni lini¿el ni angular,talcual lo heresuelto, Asi que no es logico abordarlo del modo que lo afirmas

Saludos