Particula enhebrada en aro girando

[Gabriel_Uru]

Buenas estimados, en el problema que se muestra en el dibujo hay una particula de masa m enhebrada en la guia (vínculo bilateral) atada a un resorte de longitud natural nula y constante k.
El aro gira sobre un eje tangente con velocidad w.
Debo calcular la velocidad y la aceleración de la partícula. En el primer intento fui por el teorema de roverbal y me tranqué.
El aro tiene radio r.
En el segundo intento quiero escribir la posición de la particula y derivarla.
$\overrightarrow{r}=r.\widehat{j}+r.\widehat{e_2};<br /> \overrightarrow{v}=rw.\widehat{k_1}+r\dot{\varphi }.\widehat{e_2}$

se que esta solución no es la correcta pues tengo el resultado de la misma pero quiero saber porque está mal mi cálculo.
les agradezco si me hacen comentarios al respecto.
gracias y saludos!!

[Richard R Richard]

Hola veamos como el aro gira sobre el eje i y la partícula alcanza un equilibrio dinámico en el eje i y en el j , es de esperarse que su movimiento sea una circunferencia cuyo radio sale de las condiciones de equilibrio dinámico aplicando la segunda ley de Newton

veamos por trigonometría sabemos que el angulo con el que tira el resorte de la partícula es la mitad de $\varphi$

así el equilibrio de fuerzas sobre el eje i

Como la longitud natural del resorte es nula la fuerza que hace es proporcional a la longitud que esta estirado.

$\dst\sum F_i=kr\sin\varphi=m\omega^2r\cancel{(1+cos\varphi)}\sin\varphi=ma_i=0<br />$

en la dirección j

$\cancel{\dst\sum F_j=kr(1+cos\varphi)=m\omega^2r(1+cos\varphi)\cos\varphi=ma_j}$

corregido en mensaje #4

en dirección z en el punto indicado la aceleración es nula,


la velocidad depende del angulo $\phi$que sale de resolver el par de ecuaciones anteriores $v=\omega r(1+\cos\phi)$ ,en el ponto indicado tiene dirección k positiva.


la posición para el punto indicado a tiempo cero, tomando como origen le punto de tangencia,


$\vec x=(r\sin\varphi\cancel{\sin\theta},r(1+cos\varphi)\cos\theta,r(1+cos\varphi)\sin\theta )$

si hay equilibrio $\dfrac{\partial \varphi}{\partial t}=0$ y $\dfrac{\partial \theta}{\partial t}=\omega$

si derivas respecto del tiempo tienes la velocidad y si vuelves a derivar la aceleración.

[JCB]

... / ...
así el equilibrio de fuerzas sobre el eje i

Como la longitud natural del resorte es nula la fuerza que hace es proporcional a la longitud que esta estirado.

$\dst\sum F_i=kr\sin\varphi=m\omega^2r(1+cos\varphi)\sin\varphi=ma_i<br />$

en la dirección j

$\dst\sum F_j=kr(1+cos\varphi)=m\omega^2r(1+cos\varphi)\cos\varphi=ma_j$
... / ...

Hola a tod@s.

Sin entrar en detalles, y simplemente mediante inspección visual (como diría Al2000), creo que faltan dos fuerzas: el peso de la masa m (con dirección vertical), y la reacción normal N del aro sobre la masa (con dirección radial). Esto último, suponiendo que no haya rozamiento entre el aro y la masa.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a tod@s.

Sin entrar en detalles, y simplemente mediante inspección visual (como diría Al2000), creo que faltan dos fuerzas: el peso de la masa m (con dirección vertical), y la reacción normal N del aro sobre la masa (con dirección radial). Esto último, suponiendo que no haya rozamiento entre el aro y la masa.

Saludos cordiales,
JCB.

Hola JCB Dime en que dirección te parece iría el peso?,i,j,k? nada indica que lo tengas que tener en cuenta.

cuando escribí las formulas estaba tratando de evitar la palabra "normal" escribiendo todo en función de la centrípeta pero me he liado bastante y me dado cuenta que esta mal de todos modos.


para hacer aparecer la normal veamos

eje i

$\dst\sum F_i=kr\sin\varphi-N \sin\varphi=ma_i=0$

eje j

$\dst\sum F_j=-N\cos\varphi +kr(1+cos\varphi)=m\omega^2r(1+cos\varphi)=ma_j$

eje k

$\dst\sum F_k=0$


he usado las relaciones trigonometricas

$L\sin(\frac\varphi 2)=R\sin(\varphi)$


$L\cos(\frac\varphi 2)=R(1+\cos(\varphi))$

como surge que $N =Kr$ lo habia reemplazado mal en las formulas

luego $\varphi=\arccos\left(\dfrac{k}{m\omega^2-1}\right)$


la posición esta dada entonces por

$\vec x=(r\sin\varphi,r(1+cos\varphi)\cos\theta,r(1+cos\varphi)\sin\theta )$

que también tenia un gazapo.

Saludos

[Gabriel_Uru]

hola! en primer lugar gracias por compartir el planteo. El peso no actúa en este problema. Puedes explicarme porqué consideras 0 la aceleración en la dirección i?
según entiendo la masa describe un movimiento de trayectoria circular en el plano i,j del sistema que gira con el aro. El aro gira con velocidad w según i en el plano definido por los versores fijos J,K.
A priori no conozco la aceleración de la masa, debo comenzar calculándola y para eso es que estoy intentando derivar el vector posición en el tiempo.

[JCB]

Hola a tod@s.

Richard R Richard, diría que esa pregunta ya está contestada: el peso tiene dirección vertical (eje Y, vector director $-\hat\jmath$).

Para mí, deben considerarse tres fuerzas reales: el peso, la fuerza del muelle y la reacción N del aro sobre la masa.

Por otra parte, cuando escribes que existe equilibrio dinámico, supongo que te refieres a que el aro gira a una velocidad angular $\omega$ tal, que provoca que no haya velocidad relativa de la masa respecto del aro. Entonces la masa describiría una circunferencia situada en un plano perpendicular al papel (o pantalla). Es una interpretación. Quizás que nos lo aclare el autor del hilo, si es que existe ese equilibrio.

De todas maneras, te confieso que aún tengo el planteamiento del ejercicio en pañales, y tal vez me falte conocimiento. ¿ Quizás a través de lagrangianos ? (método del cual soy un lego total).

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola a tod@s.

Richard R Richard, diría que esa pregunta ya está contestada: el peso tiene dirección vertical (eje Y, vector director $-\hat\jmath$).

Para mí, deben considerarse tres fuerzas reales: el peso, la fuerza del muelle y la reacción N del aro sobre la masa.

Yo no veo la palabra peso, ni gravedad en el enunciado, me evitaría la complicacion de adicionar una fuerza extra, porque al suponer que existe, trae otros problemas como garantizar la velocidad angular constante, y la posición de la masa en la coordenada i ya no sería constante como para poder calcular $\varphi$, pues sería una variable y no una constante del problema.

Por otra parte, cuando escribes que existe equilibrio dinámico, supongo que te refieres a que el aro gira a una velocidad angular $\omega$ tal, que provoca que no haya velocidad relativa de la masa respecto del aro. Entonces la masa describiría una circunferencia situada en un plano perpendicular al papel (o pantalla). Es una interpretación. Quizás que nos lo aclare el autor del hilo, si es que existe ese equilibrio.

Exacto así lo interpreto.

De todas maneras, te confieso que aún tengo el planteamiento del ejercicio en pañales, y tal vez me falte conocimiento. ¿ Quizás a través de lagrangianos ? (método del cual soy un lego total).

Saludos cordiales,
JCB.

si introduces el peso, para mantener la velocidad angular constante debes variar la energía mecanice del sistema, y si o si debes introducir lagrangianos que expliquen como aplicas y extraes energía mecánica al sistema, y si no lo introduces la energía mecánica es una constante, de la que no debemos preocuparnos. He revisado ahora el enunciado y tampoco dice explícitamente que $\omega$ sea una constante en función del tiempo, así que si puede que sean dos interpretaciones con dos soluciones muy diferentes.

[Gabriel_Uru]

Hola a tod@s.

Richard R Richard, diría que esa pregunta ya está contestada: el peso tiene dirección vertical (eje Y, vector director $-\hat\jmath$).

Para mí, deben considerarse tres fuerzas reales: el peso, la fuerza del muelle y la reacción N del aro sobre la masa.

Por otra parte, cuando escribes que existe equilibrio dinámico, supongo que te refieres a que el aro gira a una velocidad angular $\omega$ tal, que provoca que no haya velocidad relativa de la masa respecto del aro. Entonces la masa describiría una circunferencia situada en un plano perpendicular al papel (o pantalla). Es una interpretación. Quizás que nos lo aclare el autor del hilo, si es que existe ese equilibrio.

De todas maneras, te confieso que aún tengo el planteamiento del ejercicio en pañales, y tal vez me falte conocimiento. ¿ Quizás a través de lagrangianos ? (método del cual soy un lego total).

Saludos cordiales,
JCB.

buenas! el peso no actúa en este problema, omití mencionarlo.
La partícula tiene una aceleración que inicialmente no se conoce pero no está en reposo.

[Richard R Richard]

Puedes explicarme porqué consideras 0 la aceleración en la dirección i?
según entiendo la masa describe un movimiento de trayectoria circular en el plano i,j del sistema que gira con el aro.

Hola, fijate que a la izquierda y abajo en el esquema se indica como sera el giro de $\omega$ el eje de giro tiene direccion $\vec i$

por lo tanto la masa en equilibrio de fuerzas , girara en el plano $\vec j,\vec k$

Si $\omega$ es constante el angulo de equilibrio $\varphi$ es una constante por lo que la masa queda siempre en la misma coordenada $\vec i$ es decir tiene aceleración 0 sobre ese eje,
dicho de otro modo que si la velocidad de rotación $\omega$ fuera variable , la posición en $\vec i$ seria una variable en función del tiempo, luego al calcularse sus derivadas respecto del tiempo resultarían que la velocidad y la aceleración no serían nulas en el eje $\vec i$.

[teclado]

Igual me he llevado algún signo que otro, pero aplicando mecánica lagrangiana, atendiendo a que solo se tiene el grado de libertad $\varphi$ y que el radio es constante, me queda:

$\dst m\ddot{\varphi} = \sin\varphi\left[k-m\omega^2\left(1+\cos\varphi\right)\right]$

No veo una forma fácil de resolver esto, pero se me ocurre aplicar una aproximación paraxial $\varphi \approx 0$, con lo que $\sin\varphi \rightarrow \varphi,\ \cos\varphi \rightarrow 1$, y quedaría

$\dst m\ddot\varphi = \varphi\left(k-2m\omega^2\right)$

Si no recuerdo mal, siempre que $\dst \frac{k}{m}<2\omega^2$ se recupera un oscilador armónico simple con frecuencia $\dst \omega'=\sqrt{2\omega^2-\frac{k}{m}}$.

[Richard R Richard]

Si no recuerdo mal, siempre que $\dst \frac{k}{m}<2\omega^2$ se recupera un oscilador armónico simple con frecuencia $\dst \omega'=\sqrt{2\omega^2-\frac{k}{m}}$.

Hola teclado , tu propuesta sería el caso en que la masa m se libera desde la posición inicial 2R y tendríamos pequeñas oscilaciones en torno $\varphi$? es decir partes de una posición de desequilibrio en el sistema, y la que he propuesto parte del equilibrio de fuerzas y solo contempla el movimiento circular alrededor del eje i.

Comparto la idea de que la tensión del resorte no es simétrica y que no llegaríamos a un movimiento armónico simple, a menos que hagas la suposición que dices $\varphi \to 0$.

Saludos

[teclado]

Correcto. Sin embargo, fíjate en que hay otro punto de equilibrio en $\varphi=180º$. En este punto puede hacerse la sustitución $\varphi'=\varphi+180º$ y quedaría otra ecuación de MAS con frecuencia $\omega''=\sqrt{\frac{k}{m}}$. He subido el movimiento exacto (numérico, pero sin aproximación paraxial), en los casos $\frac{k}{m}<2\omega^2$ y $\frac{k}{m}>2\omega^2$ aquí: https://www.youtube.com/watch?v=t-gVtxb-0ic. El movimiento es más similar al MAS cuanto más cerca esté la cuenta del diámetro perpendicular al eje.