Divulgación Problema de rotacional con resorte incluido

[inakigarber]

Buenas tardes, os planteo este problema cuya solución no me cuadra.
La figura muestra un cilindro de longitud 1.8m, masa 0.8 Kg y radio 0.2 m. El cilindro puede girar libremente alrededor de un eje vertical que pasa por el centro y es perpendicular al eje del cilindro. Dentro del cilindro existen dos masas de 0.2 Kg cada una, conectadas a sendos muelles de constante k y longitudes naturales 0.4m. Las paredes interiores carecen de rozamiento. a) Determinar el valor de la constante k sabiendo que las masas están localizadas a 08m del centro del cilindro cuando este gira a 24 rad/seg b) que trabajo es necesario para que el sistema pase de $\omega=0$ a $\omega=24$ rads/seg?
Los valores que da el solucionario son;
a=k=230.4 N/m
b=160J
En el apartado a coincido, pero no me sale el b.

Para el apartado b, voy por partes;

$$I_c=\frac{MR^2}{2}+\frac{ML^2}{12}=\frac{0.8\cdot0.2^2}{2}+\frac{0.8\cdot1,8^2}{12}=0.232Kg\cdtm^2$$

$$E_c=\frac{I\omega^2}{2}=\frac{0.232\cdot24^2}{2}=66,816$$

Julios

$$E_r=\frac{0.2\cdot0.8^2\cdot24^2}{2}*2=73,728$$

Julios

$$E_k=\frac{230.4\cdot0.4^2}{2}2=36,864$$

Julios

$$E_t=66,816+73,728+ 36,864=177.408$$

Julios.
¿Dónde me equivoco?
Saludos y gracias.

[Zorak]

Re: Problema de rotacional con resorte incluido

La formula de inercia del cilindro es $(MR^2)/4+(M L^2)/12$

[Richard R Richard]

Re: Problema de rotacional con resorte incluido

hola aparte de lo que dice zorak que el momento te inercia de las tapas del cilindro con respecto a un eje paralelo al plano de las tapas es efectivamente

$I_t=(M_tR^2)/4$ como tienes dos tapas es el doble $I_t=(M_tR^2)/2$ pero no le aplicaste el teorema de Steiner , hay una distancia L/2 entre el plano de la tapa y el eje de rotacion.


lo mismo deberías hacer con los dos discos interiores, y aplicarles el teorema de Steiner para la posición extendida de los resortes.

mi recomendación es que calcules el momento de inercia total, luego la energia cinetica de rotacion total ya que todo gira con la misma velocidad angular

A esa energía le sumas la acumulada en los resortes , para sacar le energía total del sistema que será igual al trabajo que se le ha entregado al sistema.

- - - Actualizado - - -
Edito me he fijado y la masa que le pones a la tapa del cilindro es la misma que la de todo el cilindro
no esta definido el peso de las tapas y quizas ni siquiera lo tienes que considerar.

si no lo consideras

$I_c=\frac{ML^2}{12}=\frac{0.8\cdot 1,8^2}{12}=0.216Kg\cdtm^2$

$I_d=2(M_dR^2)/4+2 M_d(l+\Delta x)^2=2(0,2\cdot0,2^2)+2\cdot 0,2(0,4+0,4)^2=0,272Kg\cdtm^2$

$E_{cr}=\frac 12 (I_c+I_d)\omega^2=140.54 J$

La energia acucmulada en los resortes no es el doble por ser dos resortes pues uno hace fuerza sobre el otro y solo acumula la mitad de la energia(no lo tengo muy claro pero creo qu es así)


$E_k=\frac{230.4\cdot0.4^2}{2}=18,432$

$W=\Delta E_m=E_{cr}+E_k=158.976 J<br />$


y si lo consideras suponiendo que el cilindro tiene densidad superficial constante $\dfrac{M}{2\pi R L+2\pi R^2}=\dfrac{M_t}{\pi R^2}\quad \to\quad M_t=\dfrac{MR}{2L+2R}$

y recalculo el momento del cilindro

I_c=0.1944

agrego el de las tapas tomando Steiner
I_t=0,034

sumo el de los discos y el momento de inercia total da
I_T=0.5004

de ese modo llego a que el trabajo es 162,542J tampoco es la solución del solucionario.

[felmon38]

Re: Problema de rotacional con resorte incluido

inkigarber, creo que no tienes bien el cálculo del momento de inercia respecto del eje de giro del conjunto cilindro-discos. Definiendo el sistema de ejes de centro el centro del cilindro, eje Y el eje del cilindro, eje X el eje perpendicular al plano axial del cilidro, salendo del papel, y el eje Z perpendicular a ambos, el momento de inercia que hay que calcular es respecto del eje Z, I_zz. Ahora bien este m.i. no conocemos su valor y habría que calcularlo. Los m.i.'s que conocemos su valor son : el m.i. respecto del eje Y, I_yy, y el m.i respecto del plano XZ,I_xz, por lo que utilizando las relaciones entre m.i. de ejes y planos, se tiene que:

I_zz=I_xz+I_zy=I_xz+(I_zy+I_xy)/2=I_xz+I_yy/2

Estos valores son conocidos y no se necesita calcularlos.

[inakigarber]

Re: Problema de rotacional con resorte incluido

La formula de inercia del cilindro es $(MR^2)/4+(M L^2)/12$

Según el libro que yo tengo, el momento de inercia de un cilindro hueco es $(MR^2)/2+(M L^2)/12$, la formula que tu propones es la que correspondería al cilindro macizo, de todos modos aún debo repasar mis cálculos, ya que hay cosas con las que no estoy muy satisfecho.

- - - Actualizado - - -

Buenas noches;
A ver si esta vez voy haciéndolo mejor. Se trata de un cilindro hueco (de lo contrario no podríamos meter dentro de el las masas móviles y el resorte que las une), el momento de inercia total será por tanto la suma de los momentos de inercia del cilindro hueco y las masas (los resortes se supone que tienen masa nula). Veamos, el momento de inercia total si no me equivoco sería;

$$I_c=\frac{MR^2}{2}+\frac{ML^2}{12}=\frac{0.8(0.2^2)} {2}+\frac{0.8(1.8^2)}{12}=0.232$$

$$I_d=2mL^2=2\cdot0.2\cdot0.8^2=0.256$$

$$I_t=I_c+I_d=0.232+0.256=0.488$$

$$E_r=\frac{I_t\omega^2}{2}=\frac{0.488\cdot24^2}{2}=140.544$$

$$E_k=\frac{k\Delta_x^2}{2}\cdot2=230.4(0.4^2)=36,864$$

$$E_t=140,544+38,864=177,408$$

El solucionario da como solución 160J, lo cual no me coincide, pero tampoco tengo claro si el solucionario es correcto.
Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Re: Problema de rotacional con resorte incluido

Hola iñakigarber he buscado el momento de inercia del cilindro hueco y tienes razon, es $I_c=\frac{MR^2}{2}+\frac{ML^2}{12}$
En la imagen yo veo el corte semicircular de las tapas en ambos extremos, por eso te pase mi solución incluyendolas, que estaba equivocada ademas, pues considere que el momento de inercia del cilindro hueco era igual al de la varilla macisa.

El momento de inercia de un disco sobre un eje paralelo al plano del disco es $I_{dp}=\dfrac 14 MR^2$ y el eje de ese plano esta a $l =0.4m$ que es el largo del resorte sin elongación mas los $0.4m = \Delta x$ asi que por aplicar el teorema de Steiner, me he corregido es

$I_{discos}=2(I_{dp}+M(l+\Delta x)^2)=$$2(\dfrac 14 \cdot 0,2\cdot 0,2^2+0,2(0,4+0,4)^2)=2(0,002+0,128)=0,26 Kgm^2$

no se cual es la razón por la dices que es $I_{discos}=2ML^2$

$E_{cr}=\frac 12 (I_{discos}+I_{cil} \omega^2=\frac 12 \cdot (0,26+0,256) \cdot 24^2= 148.6 J$

sumando la de los resortes que es 36.834 J no la mitad como dudaba, tienes 185.47 J

no veo como llegar a lo 160 J del solucionario saludos, es un lindo ejercicio.

[inakigarber]

Re: Problema de rotacional con resorte incluido

...no se cual es la razón por la dices que es $I_{discos}=2ML^2$

$E_{cr}=\frac 12 (I_{discos}+I_{cil} \omega^2=\frac 12 \cdot (0,26+0,256) \cdot 24^2= 148.6 J$

sumando la de los resortes que es 36.834 J no la mitad como dudaba, tienes 185.47 J

no veo como llegar a lo 160 J del solucionario saludos, es un lindo ejercicio.

Creo que este es un punto en el que también me he equivocado, ya que ese seria el momento de inercia de dos masas puntuales, y no es el caso. Yo también opino que es un interesante ejercicio. Seguiré pensando al respecto...
Saludos y gracias.

- - - Actualizado - - -

Bueno, he vuelto a calcularlo de nuevo, esta vez teniendo en cuenta que los discos no son masas puntuales, son discos y que giran respecto a un eje que es paralelo al eje diametral de los discos. Considero el resorte como dos resortes unidos de longitud en reposo 0.4 m cada uno y que se estiran cada uno 0.4 m más cuando el sistema esta girando a $\omega=24$ Rad/seg. La energía potencial acumulada en ambos resortes será;

$$E_k=2\frac{230,4\cdot0.4^2}{2}=36,84$$

$$I_d=2\frac{M_d\cdot r^2}{4}+M_d\cdot R^2=2\frac{0.2\cdot 0.2^2}{4}+(0.2\cdot 0.8^2)=0.26$$

$$E_d=\frac{I\omega^2}{2}=\frac{0.26\cdot 24^2}{2}=74.88$$

$$I_c=\frac{MR^2}{2}+\frac{ML^2}{12}=\frac{0.8(0.2^2)}{2}+\frac{0.8(1.8^2}{12}=0.232$$

$$E_c=\frac{0.232(24^2)}{2}=66,816$$

$$E_t=E_k+E_d+E_c=36,84+74,88+66,816=178.56$$

Este valor tampoco se corresponde con lo expuesto en el libro, pero si a la hora de sumar la energía de los resortes sumáramos la mitad (18,432 Julios), entonces si sale el resultado final 160,128 Julios, pero ¿es correcto sumar la energía de un único resorte? ¿Es un error del libro?
Saludos y gracias.

[Zorak]

Re: Problema de rotacional con resorte incluido

También abría que ver si la formula de inercia tiene en cuaenta las tapas del cilindro a cada extremo, y si el radio se refiere al interno o al externo ahí podría estar el error..

[Breogan]

Re: Problema de rotacional con resorte incluido

Hola:

Leyendo el desarrollo del hilo y en especial el ultimo mensaje de inakigarber, me parece que el problema en realidad viene de la resolución del punto a del problema.
Sin haberlo hecho creo que es posible que la k encontrada en (a) corresponda a la asociación de los dos resortes, y no a cada resorte individualmente.

s.e.u.o.

Suerte

[Richard R Richard]

Re: Problema de rotacional con resorte incluido

Hola Zorax , le he buscado la pata por ese lado y resulta que si consideras la sección como un anillo el momento de inercia

$Izz=\frac 12 M (R_e^2+R_i^2)$ y si $R_e=R_i$

entonces el momento con respecto a un eje central el $Izz=MR^2$ por lo que si el eje pasa por el diámetro como dice felmon resulta ser que los momentos de inercia de esos planos son iguales

$Ixz=Izy=Izz/2=\frac12 MR^2$

y la integral de un diferencial de anillo con respecto al centro de masa se calcula aplicando el teorema Steiner resultando $\frac1{12} ML^2$



http://laplace.us.es/wiki/index.php/...l%C3%ADndricos

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/icyl.html

La energia acucmulada en los resortes no es el doble por ser dos resortes pues uno hace fuerza sobre el otro y solo acumula la mitad de la energia(no lo tengo muy claro pero creo qu es así)


$E_k=\frac{230.4\cdot0.4^2}{2}=18,432$

Al principio pense que lo que allí había escrito era correcto, pero con otros errores que había cometido no le di la importancia que merecía, entonces opte por seguir el cálculo que iñakigarber había hecho

sumando la de los resortes que es 36.834 J no la mitad como dudaba,

En realidad no estaba tan equivocado al principio , releyendo un hilo en el que participe hace un tiempo http://forum.lawebdefisica.com/threa...-Fuerza-Oposta se puede ver que la energia almacenada en el resorte cuando se tira por ambos extremos es la misma que si el resorte estuviera anclado y se le aplica la misma fuerza en uno solo de los extremos.

El calculo de la constante del resorte surge de hacer $ma=m\omega^2(\Delta x+ L_o)=k\Delta x$ de lo que resultan los 230.4 N/m

pero en vista de lo que dice la ley de asociación de resortes en serie http://laplace.us.es/wiki/index.php/...es_de_resortes

del resorte equivalente es $K_{eq}=\dfrac 1{\frac 1 k+\frac 1 k}=\dfrac k2$

y la energia de los resortes seran en conjunto $E_{pr}=\frac 12 K_{eq} \Delta x^2=18.417 J$ ?????

de esa forma nos acercamos a 160 J

[felmon38]

Re: Problema de rotacional con resorte incluido

A mí me sale 161.280 J, siendo I_zz=I_xz+I_yy/2= 0,216
Saludos

[inakigarber]

Re: Problema de rotacional con resorte incluido

Buenas tardes;
Lo interesante de estos problemas que uno cree evidentes es darse cuenta de que no son tan evidentes y de que muchas veces damos por ciertas cosas que realmente no lo son, pero que tenemos tan arraigadas que no nos las planteamos. Mi error ha consistido en pensar que dos resortes colocados en serie de igual valor de k darían lugar a un resorte del mismo valor de k y que suma de la fuerza acumulada en cada resorte seria igual a la fuerza total. Gran error. Supongo que dentro de dos años seguiré cometiendo errores, pero ya no será este.

- - - Actualizado - - -

Buenas tardes;
Tras una nueva reflexión sobre el problema,no estoy de acuerdo con el resultado del libro en este problema. Al menos hay algo que no me concuerda. Creo que la asociación de resortes no es valida en este caso porque no hay una única fuerza que afecte al sistema de resortes, sino dos y en sentidos opuestos; una que parte desde el centro del resorte hacia su extremo izquierdo que hace que este sufra una elongación de 0.4 m hacia la izquierda y otra que parte desde el mismo centro en la dirección contraria y que provoca la misma elongación en la parte opuesta. Por tanto, la energía acumulada en el resorte sería;

$$E_k=\frac{230.4(0.4^2)}{2}2=36,846$$

Si estoy equivocado, ¿En que me equivoco?
Saludos y gracias.