Otras carreras Cambio de velocidad de un objeto en órbita

[NikolaT]

Hola chicos, resulta que estaba en una conferencia y escuché que si uno está orbitando un cuerpo y por algún motivo se pierde velocidad lo que sucede que es se pasaría a una órbita con un radio mayor (que requiere menor energía) en lugar de caer hacía el objeto que se está orbitando ya que las órbitas con radios menores requieren una mayor energía. (Contrario a lo que pensé toda la vida)

Calculando la energía de un objeto en órbita llegué a la expresión: $E_{c} = \dfrac{GmM}{2r}$ y que la velocidad requerida es: $V=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ que matemáticamente tiene sentido con lo que escuché en la conferencia.

Pero si esto es cierto, ¿porqué la ISS que pierde energía gracias al rozamiento con lo poco que queda de atmósfera pierde altitud y hasta tiene que usar los propulsores de los vehículos acoplados para llevar la estación a una órbita más alta? ¿No debería ocurrir lo contrario?

De verdad este tema me tiene muy confundido, agradecería cualquier ayuda.

Saludos y gracias de antemano.

[Alriga]

Re: Cambio de velocidad de un objeto en órbita

La fórmula que has escrito

$v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$

dice que en movimiento circular uniforme y estado estacionario la velocidad orbital de una partícula es menor cuanto mayor es el radio de la órbita. La aceleración es centrípeta, dado que la única fuerza que actúa es la gravitatoria.

Pero esa expresión no es dinámica, quiero decir que para ver que le sucede a la partícula cuando es frenada, hay que plantear las ecuaciones de la dinámica teniendo en cuenta la nueva fuerza que frena a la partícula. Esa nueva fuerza hace que aparezca una aceleración tangencial que provoca el acercamiento de la partícula al objeto masivo central.

Planteando la II Ley de Newton en la dirección tangencial y en la dirección normal a la trayectoria se obtiene que la partícula desciende en espiral hacia el objeto masivo.

Tienes la deducción matemática completa aquí:

Movimiento de caída hacia la Tierra

Por cierto, lo que has planteado se conoce como la “paradoja de Von Braun” porque según se dice, al final de una conferencia en que Wernher Von Braun mostraba lo complicado que es poner algo en órbita, en el turno de preguntas alguien de las últimas filas afirmó que en su opinión, "lo difícil no es evitar que los satélites se caigan, sino impedir que se eleven" Su argumento fue el siguiente, (que coincide con lo que tu explicabas): si un satélite se encuentra en una órbita circular se cumple:

$r=\dfrac{GM}{v^2}$

Si un satélite comenzara a caer, el roce con el aire disminuiría su velocidad (eso nos dice la intuición) lo que haría que r aumentase. El satélite entonces no caería, sino que se elevaría.
Naturalmente la paradoja se deshace cuando se tienen en cuenta todos los factores y se hacen los cálculos correctamente, (como en el enlace anterior):

• -La energía mecánica inicial de la partícula es la suma de cinética y potencial.
• -Después del frenado la velocidad y la energía cinética ha aumentado, (no disminuido como dice la intuición)
• -La que ha disminuido es la energía potencial. Y ha disminuido en mayor medida de lo que ha aumentado la cinética.
• -Por lo tanto la nueva energía mecánica final es menor que la inicial.
• -La diferencia entre ambas, es el trabajo disipado por la fuerza de frenado.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Cambio de velocidad de un objeto en órbita

Encontre una linda nota para compartir donde se comenta la caida diaria de la ISS sobre la Tierra, http://www.xatakaciencia.com/astrono...-en-el-espacio

y este otro vinculo me ayudo bastante con el tema de energías http://e-ducativa.catedu.es/44700165..._satlites.html

y tambien lo que aprendi de este hilo http://forum.lawebdefisica.com/threa...as-satelitales

Luego me anime a reescribir matemáticamente algo de lo que Alriga, como siempre excelente, explicó y citó ,

La energía mecánica en el campo gravitatorio permanece constante pues es conservativo. Luego si hay rozamiento la energía mecánica del satélite no se conserva, su valor final debe ser inferior al que tenía en la órbita inicial.

Recordando que los aportes de energía cinética y potencial son las componentes de la energía mecánica.

tenemos que

$E_m=E_c+E_p$

la velocidad en la órbita $\vec v$ tiene componentes radiales y tangenciales por lo el modulo de $\vec v$ se puede escribir como

$|\vec v| =v=\sqrt{v_r^2+v_t^2} \qquad \to\qquad v^2=v_r^2+v_t^2$

trabajando con módulos, la energía cinética se calcula como

$E_c=\frac 12 mv^2$

la velocidad tangencial en función de la velocidad angular es

$v_t=\omega r$

y el momento angular es $L=mrv=mr^2\omega$

podemos escribir la energía cinética como

$E_c=\frac 12 m(v_r^2+v_t^2)=\frac 12 mv_r^2+\frac 12 mv_t^2=\frac 12 mv_r^2+\frac 12 m(\omega r)^2=\frac 12 mv_r^2+\dfrac {L^2}{2mr^2}$

por otro lado la energía potencial es $E_p=-\dfrac{mGM}{r}$

haciendo que la variación de energía mecánica sea nula respecto al radio se llega a que la energía mecánica para la órbita circular es mitad de la energía potencial de misma órbita el radio es constante por lo que $v_r=0$ como habia supuesto, es decir

en las órbitas circulares se cumple que

$E_m=-\dfrac{mGM}{2r}=\dfrac {L^2}{2mr^2}-\dfrac{mGM}{r}$

que deriva en $\frac 12 mv_t^2= \dfrac{mGM}{2r}$ y llega a la expresión de la velocidad $v_t=\sqrt{\dfrac{MG}{r}}$ igual que lo hace el equilibrio de fuerzas centrípeta y gravitatoria

Ahora bien, cuando existe una fuerza de rozamiento esta reduce la energía mecánica, por lo que podemos suponer que el satélite va a describir una trayectoria elíptica entre dos órbitas circulares iniciales y finales, en las cuales la componente de velocidad radial es nula.Entonces será correcto expresar al trabajo de la fuerza de rozamiento como la diferencia de energía mecánica entre las dos órbitas circulares.

$W_{fr}=\Delta E_m=E_{mf}-E_{mi}=-\frac 12 mGM\left (\dfrac{1}{r_f}-\dfrac{1}{r_i}\right )=\dfrac {mGM}{2}\left (\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_f}\right )$

sabiendo que $W_{fr}<0\qquad \Rightarrow\qquad \dfrac{1}{r_f}>\dfrac{1}{r_i}\qquad \Rightarrow\qquad r_f<r_i$

si el radio final es menor que el inicial entonces el satélite ha descendido hacia la tierra, como siempre sucede.

Saludos

[Alriga]

Re: Cambio de velocidad de un objeto en órbita

¡¡Gracias por mejorar el hilo con las ecuaciones Richard!!

Solo una cosa, si me lo permites, te comento lo que yo considero como algunos pequeños errores de tecleo, por si te apetece reescribirlos, con algo parecido a estas sugerencias:

La energía mecánica en el campo gravitatorio permanece constante pues es conservativo. Luego si hay rozamiento la energía mecánica del satélite no se conserva, su valor final debe ser inferior al que tenía en la órbita inicial

Y aquí no entiendo exactamente qué quieres decir:

...si vemos la evolución entre dos órbitas circulares, esto es suponiendo que la velocidad radial luego de hecho el cambio de altitud sigue siendo nula,..

¿Tal vez quieres decir algo así como esto?:

... si vemos la evolución entre dos órbitas circulares, en la órbita inicial la velocidad es solamente radial y en la órbita final después del cambio de altitud también...

Gracias de nuevo, saludos cordiales $\mathbb R^3$

[Richard R Richard]

Re: Cambio de velocidad de un objeto en órbita



En un principio quise justificar la reducción del radio basándome en la conservación del momento angular, trabajando con las ecuaciones de la energía cientica y potencial... pero como claramente este no se conserva, , así ha quedado el texto....

Edite ..., para ver si aclaro lo oscurecido Saludos

[NikolaT]

Re: Cambio de velocidad de un objeto en órbita

Hola chicos, muchas gracias por responder.

Intenté seguir los cálculos de la página, pero me perdí cuando llegué a las ecuaciones diferenciales, pero gracias a lo que ahí mismo dice y gracias al segundo diagrama pude ver que en realidad gracias a la fricción aparece una componente de la fuerza neta en dirección de la velocidad.

La fórmula que has escrito
Naturalmente la paradoja se deshace cuando se tienen en cuenta todos los factores y se hacen los cálculos correctamente, (como en el enlace anterior):

-La energía mecánica inicial de la partícula es la suma de cinética y potencial.

-Después del frenado la velocidad y la energía cinética ha aumentado, (no disminuido como dice la intuición)

-La que ha disminuido es la energía potencial. Y ha disminuido en mayor medida de lo que ha aumentado la cinética.

-Por lo tanto la nueva energía mecánica final es menor que la inicial.

-La diferencia entre ambas, es el trabajo disipado por la fuerza de frenado.
Saludos.

Eso es lo que estoy luchando por comprender, los cálculos los entiendo,pero no logro visualizar lo que está sucediendo. Lo único que se me ocurre para visualizarlo es que gracias al que el campo gravitacional es conservativo a medida que el objeto pierde altitud esa energía potencial se convierte en cinética y a su vez (gracias al teorema del trabajo y la energía) la fricción disminuye la velocidad. Pero no sé si este razonamiento es correcto, además, según esto, si la energía disipada por la fricción es mayor que la aportada por el cambio en la energía potencial ¿el objeto se elevaría? ¿Qué pasaría si la energía disipada por la fricción es igual a la aportada por el cambio en la potencial? La verdad cada vez me pierdo más.

Ahora bien, cuando existe una fuerza de rozamiento esta reduce la energía mecánica, por lo que podemos suponer que el satélite va a describir una trayectoria elíptica entre dos órbitas circulares iniciales y finales, en las cuales la componente de velocidad radial es nula . por lo que será correcto expresar al trabajo de la fuerza de rozamiento como la diferencia de energía mecánica entre las dos órbitas circulares.

$W_{fr}=\Delta E_m=E_{mf}-E_{mi}=-\frac 12 mGM\left (\dfrac{1}{r_f}-\dfrac{1}{r_i}\right )=\dfrac {mGM}{2}\left (\dfrac{1}{r_i}-\dfrac{1}{r_f}\right )$

sabiendo que $W_{fr}<0\qquad \Rightarrow\qquad \dfrac{1}{r_f}>\dfrac{1}{r_i}\qquad \Rightarrow\qquad r_f<r_i$

si el radio final es menor que el inicial entonces el satélite ha descendido hacia la tierra, como siempre sucede.

Saludos

Muchas gracias, la verdad me cuesta menos entender las cosas pensando en términos de energía y justo esa parte me ayudó a visualizar un poco mejor el problema.

Muchas gracias chicos de nuevo por responder.
Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Cambio de velocidad de un objeto en órbita

Lo único que se me ocurre para visualizarlo es que gracias al que el campo gravitacional es conservativo a medida que el objeto pierde altitud esa energía potencial se convierte en cinética

esta apreciación es correcta

y a su vez (gracias al teorema del trabajo y la energía) la fricción disminuye la velocidad. Pero no sé si este razonamiento es correcto,

También es correcta, pero ambas apreciaciones suceden a la vez, y si desprecias la energía que se pierde por el rozamiento, entonces sería correcto pensar que un objeto que tiene mas energía mecánica que la necesaria para describir una órbita circular debe necesariamente ascender para seguir una orbita eliptica , que es lo que se deduce de la paradoja.

además, según esto, si la energía disipada por la fricción es mayor que la aportada por el cambio en la energía potencial ¿el objeto se elevaría?

no al contrario desciende, y también perdería energía cinética, desciende hasta una órbita cuyo nivel energético, sea justamente el del nivel de energía mecánica inicial menos la perdida por rozamiento. lo que tiene que tener en cuenta es que estos descensos se hacen en órbitas elípticas cuyo foco no esta en el centro de la masa M sino que se ha corrido
(aparece el angulo $\theta$ en el gráfico).

¿Qué pasaría si la energía disipada por la fricción es igual a la aportada por el cambio en la potencial?

Creo que no me equivoco al decir que no habrá cambios en la energía cinética y descenderá en espiral, con el módulo de velocidad constante.

Piensa que si no hubiera rozamiento la energía cinética (junto con la velocidad) tiene que aumentar exactamente lo que se reduce la energía potencial por descender, porque el campo es conservativo, entonces el rozamiento habrá consumido esa diferencia de energía (entre una velocidad que tendría ser mayor a esa altura y la actual) que no ha variado en el descenso.

[NikolaT]

Re: Cambio de velocidad de un objeto en órbita

Muchas gracias Richard R Richard ya me queda mucho más claro.

Saludos.