problema de un sistema de partículas

[Publio]

Hola, estoy intentando solucionar el apartado b del siguiente problema y obtengo un resultado
distinto al correcto. ¿Alguien me podría dar algo de luz?

"El sistema de la figura consta de un carrito de masa M y un bloque de masa m, vinculados por un
muelle de constante elástica k que está comprimido una longitud delta de l. Entre el carrito y el bloque
existe un coeficiente cinético de rozamiento µc mientras que el carrito puede moverse libremente
por el suelo. Inicialmente, el conjunto se encuentra en reposo y en equilibrio gracias a un sistema
de bloqueo que impide que el bloque deslice sobre el carrito. En un instante dado, se suprime el
sistema de bloqueo.Se pide calcular:

(a) Velocidad del carrito en el instante en que el muelle recupera su longitud natural.
(b) Distancia recorrida por el carrito hasta dicho instante."




El valor de la velocidad del carrito del apartado a) es 0.71 m/s.


Mi planteamiento es como sigue:

$F_{m}-F_{r}=Ma_{M}\ \Rightarrow a_{M}=\frac{F_{m}-F_{r}}{M}\Rightarrow d_{M}=\frac{v_{Mf}^{2}-v_{Mi}^{2}}{2a_{M}}$

donde

$F_{m}$: Fuerza del muelle
$F_{r}$: Fuerza de rozamiento
$M$: Masa del carrito
$a_{M}$: Aceleración del carrito
$d_{M}$: Distancia recorrida por el carrito
$v_{Mf}$: Velocidad final del carrito (la obtenida en el apartado a)
$v_{Mi}$: Velocidad inicial del carrito (0)

El resultado que obtengo es de 5 cm cuando el correcto es de 7.5 cm.

[JCB]

Hola a tod@s.

Para el apartado a), consideraría que se conserva la cantidad de movimiento. Inicialmente, el sistema está en reposo.

$0=mv_m+Mv_M$

$$v_m=-\dfrac{M}{m}v_M$$

Por otra parte, la energía mecánica inicial es $\dfrac{1}{2}k\Delta l^2$. La energía mecánica final es $\dfrac{1}{2}mv_m^2+\dfrac{1}{2}Mv_M^2$, debiendo considerar el trabajo de la fuerza de rozamiento $-\mu_cmg\Delta l$.

$\dfrac{1}{2}k\Delta l^2-\mu_cmg\Delta l=\dfrac{1}{2}mv_m^2+\dfrac{1}{2}Mv_M^2$

Sustituyendo (1) y despejando,

$v_M=0,5050\ m/s$ (valor numérico editado, según aviso de Richard R Richard).

Valor que no coincide con el indicado por Publio.

A ver si alguien más aporta.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola tu planteo esta bien JCB pero no llego al mismo resultado

$\dfrac{1}{2}k\Delta l^2-\mu_cmg\Delta l=\dfrac{1}{2}m\left(-\dfrac{M}{m}v_M\right)^2+\dfrac{1}{2}Mv_M^2$

reemplacemos

$\dfrac{1}{2}200N/m(0.3m)^2-0.5\,.\,3kg \,.\,9.8m/s^2\,.\,0.3m=\dfrac{1}{2}3kg\left(-\dfrac{9kg}{3kg}v_M\right)^2+\dfrac{1}{2}9kgv_M^2$

$9J-4.41J=\dfrac{27kg}{2}v_M^2+\dfrac{9kg}{2}v_M^2=18v_M^2$

$v_M=\sqrt{\dfrac{4.59J}{18kg}}=0.5049m/s$

que tampoco es 0.71m si ese fuera el resultado del solucionario.

Para b

por conservación del centro de masa debido a que el movimiento se origino por una fuerza interna.

si la posición del centro de masa esta en la posición 0 , lo que se mueve el bloque respecto del carro es lo que se mueve el bloque respecto del piso mas lo que se mueve el carro respecto del piso en sentido inverso

$x_MM-(\Delta L-x_M)m=0$

$x_M=\dfrac{m\Delta L }{m+M}=\dfrac{3}{3+9}0.3m=0.075m\equiv7.5cm$

Saludos

[JCB]

Hola tu planteo esta bien JCB pero no llego al mismo resultado

Hola a tod@s.

Efectivamente, Richard R Richard, el valor numérico de $v_M$ que indiqué no es correcto. Repasando las operaciones, obtengo esta vez $v_M=0,5050\ m/s$.

Por otro lado, si no considero el trabajo de la fuerza de rozamiento, obtengo $v_M=0,7071\ m/s$ (valor más parecido al supuestamente correcto).

Seguiré pensando en el asunto.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Pensemos dos casos hipotéticos extremos.

Si no consideras el rozamiento el sistema se torna un MAS, cuya velocidad máxima confío es 0.7071m/s no he revisado.
Y si el coeficiente de rozamiento lo buscamos exactamente y lo hacemos lo suficientemente grande para hacer que el rozamiento disipe toda la energía potencial del resorte justamente habiendo recorrido la distancia delta l, entonces la velocidad de las dos masas resultara nula, el sistema se frenará cuando el carro se haya movido 7.5 cm y la masa 22.5 cm respecto del piso, o bien 30 cm entre ellos.
Así que cualquier coeficiente entre cero y este máximo extremo, produce un movimiento oscilatorio amortiguado y la velocidad del carro estará entre el máximo y cero.
Con el coeficiente en 0.5 creo hemos arribado a la expresión correcta que arroja al calcular 0.505m/s
Saludos

[JCB]

Si no consideras el rozamiento el sistema se torna un MAS, cuya velocidad máxima confío es 0.7071m/s no he revisado.

Por otro lado, si no considero el trabajo de la fuerza de rozamiento, obtengo $v_M=0,7071\ m/s$ (valor más parecido al supuestamente correcto).

Hola a tod@s.

Cuando escribí lo anterior, me refería a que el solucionario, quizás no había tenido en cuenta al trabajo de la fuerza de rozamiento por omisión, no a que se pudiese llegar a considerar $\mu_c=0$, ya que de esta forma no se trataría del ejercicio que nos ocupa.

Saludos cordiales,
JCB.

[Publio]

Mil perdones a los dos JCB y Richard. Efectivamente la velocidad de M del primer apartado la había calculado erróneamente sin tener en cuenta el rozamiento. Calculada otra vez me da lo mismo que a vosotros, 0.5 m/s.
Por otro lado, para el apartado b) tendré que repasar toda la teoría sobre el centro de masas, porque no la domino.
Finalmente, sobre mi planteamiento para el apartado b) entiendo que debe estar rematadamente mal porque no hacéis ni mención a él . ¿Me podríais dar alguna pista del porqué?

[Richard R Richard]

Lo que diste al inicio está mal porque usas fórmulas de cinemática para resolver un problema de dinámica. Te serviría quizá si la fuerza del resorte y la aceleración que provoca fueran constantes, pero no lo son.

[Publio]

Muchas gracias Richard, me ha quedado meridianamente claro. Un saludo.