Energía potencial gravitatoria

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Hola a todos. Yo sigo a vueltas con el signo de la energía potencial gravitatoria. Me explicaré. Planteo la siguiente integral para determinar la energía potencial de un cuerpo dentro del campo gravitatorio de la Tierra que, si no empiezo ya mal, sería el trabajo que realiza la Tierra sobre el cuerpo para traerlo desde el infinito hasta un punto dado dentro de su campo:

$\dst W_{r_{\infty }-r}= \int_{r_{\infty }}^{r}\frac{-GMm}{r^{2}}\vec{u_{r}}\cdot(-dr)\vec{u_{r}}$

Entiendo que en un sistema de referencia de coordenadas polares con origen en el centro de la tierra, la coordenada radial de la fuerza gravitatoria y del desplazamiento $\vec{dr}$ llevan signo negativo porque los dos se dirigen hacia el origen de coordenadas. Así, si realizo el producto escalar e integro:

$\dst W_{r_{\infty }-r}= \int_{r_{\infty }}^{r}\frac{GMm}{r^{2}}dr= GMm\left ( \frac{1}{r_{\infty }}-\frac{1}{r} \right )$

Si no he integrado mal y considerando $\dst \frac{1}{r_{\infty }} \simeq 0\; \Rightarrow \; W_{r_{\infty }-r} =-\frac{GMm}{r}$

Es decir, me sale un trabajo negativo cuando debería ser positivo, ya que fuerza y desplazamiento van en el mismo sentido.

¿Dónde fallo? Una ayuda por favor.

[Richard R Richard]

Fallas en que el signo te lo dan los límites de integración , dr es positivo el sistema de referencia arranca de cero a infinito, y los límites están yendo en sentido inverso, eso ya te cambia el signo provisto por la fuerza y el menos que le asignas a dr redunda y eso te lleva a la conclusión errónea .

Piénsalo de otro modo la distancia recorrida crece en el mismo sentido que la fuerza, por lo tanto el trabajo realizado es positivo.

[Publio]

Gracias Richard pero, perdona, lo sigo sin entender. Según yo lo veo en la representación adjunta, los vectores $\dst \vec{F_{G}}\; y\; \vec{dr}$ tienen su componente radial negativa porque su sentido es $\dst -\hat{u}_{r}$:

$\dst \vec{F_{G}}= -\frac{GMm}{r^{2}}\hat{u}_{r}$

$\dst \vec{dr}= -dr \hat{u}_{r}$

Y si no les pongo los signos porque ya los marcan los límites, me daría lo mismo porque serían las dos coordenadas positivas y quedaría el signo negativo de resolver la integral en $\dst \left [ -\frac{1}{r} \right ]_{r_{\infty }}^{r}$

Así que no sé, sigo perdido.

[Richard R Richard]

Hola, el vector radial nace en el centro de una esfera hipotética cuyo centro está en el CM del cuerpo, su dirección es una recta que une ese centro con cualquier punto del infinito y su sentido positivo aumentando desde cero en el centro hasta $+\infty$ .
El vector dr indica en que sentido aumentan las coordenadas r (flecha apuntando hacía el infinito siempre)

Si tu ahora integras desde una posición alejada hasta una más cercana radicalmente, solo debes aclararlo en tus límites de integración
si $r<R$ cuando vas de $R\to r$ el límite de integración inferior es R y el superior r , Con eso ya resuelves la integral para cualquer potencial.
En definitiva el signo de dr depende del sistema de referencia , es decir de como aumentan o reducen las coordenadas radiales, no del sentido de la evolución de sistema, esto último lo expresas solo en los límites de integración.

Si se te antoja que las r aumenten hacía el centro, entonces tu cero está en el infinito y el infinito en el centro, ya verás que no sera muy útil , pero de ese modo la integral la planteas con -dr pero debes invertir los límites de integración, por lo cual el resultado no se altera, seguirá siendo positivo.

Saludos

[Publio]

Muchas gracias Richard por tus explicaciones y tu paciencia. Lo tendré que rumiar poco a poco porque sigo sin cogerlo. Para mi, dr es el desplazamiento infinitesimal durante el cual F_G realiza un trabajo infinitesimal dW_G, y debería indicar su sentido con el signo menos. Pero también entiendo tu razonamiento, porque el signo del desplazamiento ya lo estamos indicando con los límites.

[Richard R Richard]

Si la fuerza de gravedad realiza un trabajo positivo es decir el potencial original cae entregando energía a otra parte del sistema, esto sucederá con independencia del sistema de referencia que escojas, los signos se elijen para facilitar el entendimiento, el calculo y sobre todo arrojar resultados matemáticamente consistentes.
De ese modo dr es el incremento infinitesimal del vector r , es decir es un pequeño incremento que indica justamente el sentido que r aumenta en módulo.
Que el sistema evolucione a favor o en contra de de ese sentido lo aportas con los límites de integración. Por otro lado el signo del potencial deber ser tal que ante un incremento en la variable $r$ aporte o reste (en este caso energía) de acuerdo a lo que la física dicte. Recuerda las mates allí solo están para ayudarnos a calcular correctamente y a predecir el resultados de posibles interacciones en base a los datos disponibles y necesariamente al revés que sean las fórmulas la que digan cómo la física funciona.

[Publio]

Hola Richard, entonces, cuando escribo $\dst W_{r_{\infty }-r}= \int_{r_{\infty }}^{r}\vec{F_{G}}\cdot \vec{dr}= \int_{r_{\infty }}^{r} F_{G}\;dr\;cos\left ( \alpha \right )$

$\alpha$ valdría $\;180^{\circ}$, con lo que el producto escalar saldría negativo y finalmente el W_G saldría positivo. Si es así, creo que lo he entendido. Muchas gracias.

[Richard R Richard]

Claro los vectores fuerza y dr tienen sentidos opuestos , el ángulo entre ellos es pi, su coseno -1 , la integral de la fuerza deja el exponente de la variable r en -1 y el signo por lo tanto cambiado. Entonces multiplicado 2 veces por -1 quedando el signo en positivo. Cómo el límite inferior es infinito a evaluar queda en cero , solo contribuye el valor del potencial a la altura r, Así las variaciones de potencial o el trabajo realizado por la fuerza al acercarse a la masa gravitatoria resulta positiva y aprovechable por ejemplo para incrementar la energía cinética.

[Publio]

Muchas gracias, Richard.