2o ciclo Ejercicio de fuerza conservativa

[Marcele]

Hola buenas noches tengo problemas para resolver este ejercicio, hice la derivada parcial con respecto R en coordenadas cilíndricas, pero hasta allí llego. Gracias por leer y la ayuda.
Considere la fuerza F =F₀ R³ (R), donde (R) es el vector unitario en coordenadas cilíndricas.
a) Muestre que la fuerza es conservativa.
b) Calcule la energía potencial experimentada por una partícula de masa puntual m bajo esta fuerza.
c) Calcule la energía total de la partícula.

[Alriga]

Hola Marcele bienvenido a La web de Física, entiendo que la expresión del enunciado es:

$\vec F=F_0 \cdot \rho^3 \cdot \hat u_{\rho}$

En donde $\rho$ es la coordenada radial cilíndrica y $\hat u_{\rho}$ el vector unitario en esa dirección. ¿Es así? Si es así, seguramente el camino más corto para demostrar que la fuerza es conservativa sea calculando su rotacional $\nabla \times \vec F$ y comprobando que sale cero.

Recuerda que cuando desees escribir expresiones matemáticas lo mejor es que uses LaTeX que es muy fácil, se aprende en media hora, aquí tienes un tutorial: Cómo introducir ecuaciones en los mensajes y aquí puedes practicar tus fórmulas La web de Física - Prueba y ejemplos de LaTeX

Además si haces doble click sobre cualquier fórmula del foro verás el código en el que está escrita, si quieres copiarla, márcala con el ratón, con el botón de la derecha del ratón haz "copiar", y a continuación entre medio de los corchetes

[TEX]Pegar como texto sin formato[/TEX] ¡y ya tienes tu fórmula en LaTeX!

Saludos y de nuevo bienvenido.

[Marcele]

Ok, muchas gracias por contestar, ten un buen dia.

[teclado]

Hola,

Como dice Alriga, una forma sencilla de saber si la fuerza es conservativa, dado que tienes la expresión vectorial de la fuerza, es calcular el rotacional. Si da 0 has demostrado que la fuerza es conservativa. Esto se debe a que las fuerzas conservativas deben poder expresarse como el gradiente cambiado de signo de cierta función escalar de las coordenadas:

$\vec{F}(\vec{r}) = -\vec{\nabla}U(\vec{r})$

Si tomas el rotacional de esta expresión,

$\vec{\nabla}\times\vec{F} = -\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}U)$

Si seguiste las clases de matemáticas, sabrás que el rotacional de un gradiente siempre es 0. La demostración de que si un rotacional es 0 el campo original proviene de un gradiente es un poco más complicada, pero no demasiado. Pasa por aplicar el teorema de Stokes a la integral del rotacional sobre una superficie S con una frontera C:

$\dst \iint_S \vec{\nabla}\times\vec{F}\vec{\dd s} = \oint_C \vec{F}\vec{\dd l} = 0$

La segunda integral es el trabajo ejercido por la fuerza a lo largo de una trayectoria cerrada, que es 0. Esto es una de las definiciones de fuerza conservativa. Partiendo de aquí puedes encontrar un desarrollo hasta la deducción de que la fuerza proviene de un gradiente en esta página de Wikipedia (en inglés).

Para hacer esta comprobación puedes expresar el vector radial en cordenadas cartesianas:

$<br /> \hat{u}_\rho = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)<br />$

Y tomar el rotacional:

$<br /> \dst<br /> \vec{\nabla}\times F =<br /> \begin{vmatrix}<br /> \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\<br /> \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\<br /> F_x & F_y & F_z<br /> \end{vmatrix} = F_0<br /> \begin{vmatrix}<br /> \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\<br /> \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\<br /> \rho^3\sin\theta\cos\phi & \rho^3\sin\theta\sin\phi & \rho^3\cos\theta<br /> \end{vmatrix}<br />$

Recuerda que para tomar las derivadas parciales debes tener en cuenta la transformación entre coordenadas esféricas y cartesianas aplicando la regla de la cadena:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> x & = \rho\sin\theta\cos\phi \\<br /> y & = \rho\sin\theta\sin\phi \\<br /> z & = \rho\cos\theta<br /> \end{aligned}<br />$$

O lo que es lo mismo,

$$<br /> \begin{aligned}<br /> \rho &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\<br /> \theta &= \arctan\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \\<br /> \phi &= \arctan\frac{y}{x}<br /> \end{aligned}<br />$$

Por ejemplo,

$<br /> \dst<br /> \frac{\partial F_i}{\partial y} = \frac{\partial F_i}{\partial \rho}\frac{\partial\rho}{\partial y}<br /> + \frac{\partial F_i}{\partial\theta}\frac{\partial\theta}{\partial y}<br /> + \frac{\partial F_i}{\partial\phi}\frac{\partial\phi}{\partial y}<br />$

Sin embargo, otra forma de comprobar que la fuerza es conservativa es calcular directamente el potencial (con lo que de paso ya tendrías el segundo apartado). Para ello solo tienes que calcular el trabajo a lo largo de una trayectoria genérica:

$\dst W_{\vec{r_0}\rightarrow\vec{r}} = \int_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} \vec{F} \vec{\dd l}$

Si este trabajo no depende de la trayectoria, o si en una trayectoria cerrada es 0 la fuerza será conservativa, y el potencial será:

$\dst U(\vec{r}) = -W_{\vec{r_0}\rightarrow\vec{r}}$

Eligiendo a conveniencia el punto $\vec{r}_0$.

Para hacer esta integral, recuerda que como la fuerza es radial, puedes aplicar $\hat{u}_\rho \vec{\dd l} = \dd\rho$, que puedes comprobar usando las ecuaciones (1).

[teclado]

Perdón, estuve todo el rato pensando en coordenadas esféricas y eran cilíndricas.

En este caso, las ecuaciones de transformación de coordenadas serían:

$$<br /> \begin{aligned}<br /> x & = \rho\cos\phi \\<br /> y & = \rho\sin\phi \\<br /> z &= z<br /> \end{aligned}<br />$$

Y las inversas:

$$<br /> \dst<br /> \begin{aligned}<br /> \rho & = \sqrt{x^2+y^2} \\<br /> \phi &= \arctan{\frac{y}{x}} \\<br /> z &= z<br /> \end{aligned}<br />$$

Pero vuelves a poder aplicar $\hat{u}_{\rho}\vec{\dd l} = \dd \rho$, siendo en este caso $\rho$ la coordenada cilíndrica radial.

Si optas por calcular el rotacional, tendrías

$<br /> \dst<br /> \vec{\nabla}\times F =<br /> \begin{vmatrix}<br /> \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\<br /> \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\<br /> F_x & F_y & F_z<br /> \end{vmatrix} = F_0<br /> \begin{vmatrix}<br /> \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\<br /> \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\<br /> \rho^3\cos\phi & \rho^3\sin\phi & 0<br /> \end{vmatrix}<br />$

y

$<br /> \dst<br /> \begin{aligned}<br /> \frac{\partial F_i}{\partial x} & = \frac{\partial F_i}{\partial \rho}\frac{\partial\rho}{\partial x}<br /> + \frac{\partial F_i}{\partial\phi}\frac{\partial\phi}{\partial y} \\<br /> \frac{\partial F_i}{\partial y} & = \frac{\partial F_i}{\partial \rho}\frac{\partial\rho}{\partial y}<br /> + \frac{\partial F_i}{\partial\phi}\frac{\partial\phi}{\partial y} \\<br /> \frac{\partial F_i}{\partial z} & = 0<br /> \end{aligned}<br />$

Desaparece el tercer término en las derivadas respecto a x e y debido a que son independientes de z $\dst \left (\frac{\partial x}{\partial z}=\frac{\partial y}{\partial z}=0\right )$, y la última es nula porque $\vec{F}$ simplemente no depende de la coordenada z.

[Marcele]

Ok, muchas gracias por contestar, ten un buen día.