Calculo de centro de masas de una barra con densidad lineal por ramas.

[G502]

Hola. Muy buenas tardes. Una consulta. Si una barra de longitud $d$ tiene una densidad lineal $\rho(x)=\begin{cases} x & x\in [a,b] \\ x^2 & x\in [b,c]\\ x^3 & [c,d]<br /> \end{cases}$ entonces su centro de masa es $\overline{x}=\frac{\int_{a}^{b}x^2dx+\int_{b}^{c}x^3dx+\int_{c}^{d}x^4dx}{\int_{a}^{b}xdx+\int_{b}^{c}x^2dx+\int_{c}^{d}x^3dx}$?
Quiero verificar si estoy en lo correcto.
Muchas gracias.

[Alriga]

Hola G502 bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee atentamente a Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

$\rho(x)=\begin{cases} x & x\in [a,b) \\ x^2 & x\in (b,c)\\ x^3 & x \in (c,d]<br /> \end{cases}$

$dm=\rho \ dx$

$dm=\begin{cases} x dx & x\in [a,b) \\ x^2 dx & x\in (b,c)\\ x^3 dx & x \in (c,d]<br /> \end{cases}$

$\overline x = \dst\dfrac{\sum \dst \int x dm}{\sum \dst \int dm}$

$\overline{x}=\dst \frac{\dst \int_{a}^{b}x^2dx+\dst \int_{b}^{c}x^3dx+\dst \int_{c}^{d}x^4dx}{\dst \int_{a}^{b}xdx+\dst \int_{b}^{c}x^2dx+\dst \int_{c}^{d}x^3dx}$

Lo que has hecho me parece correcto. Integrando se obtiene:

$\overline x=\dfrac{\dfrac 1 3 (b^3-a^3)+\dfrac 1 4 (c^4-b^4)+\dfrac 1 5 (d^5-c^5)}{\dfrac 1 2 (b^2-a^2)+\dfrac 1 3 (c^3-b^3)+\dfrac 1 4 (d^4-c^4)}$

Saludos.

[Richard R Richard]

La solución al problema es correcta.
Solo aclaro que veo un gazapo literario en el enunciado, con consecuencias matemáticas en la definición de los intervalos cerrados con [ ] cuando deberían del tipo cerrado abierto ya sea [ ) , ( ] o abiertos ( ), eso solo para que la densidad quede bien definida en los puntos b y c de manera de escogerlos arbitrariamente, sino b quedaría definido como 1 y $\rho=1$ cuando $x=x^2$ haciendo que se deba cumplir innecesariamente que $b=b^2$ y también en c que deber ser 1 para que se cumpla $x^2=x^3$ cuando no es necesario que $c^2=c^3$.
La elección correcta de los límites del intervalo evitan ese inconveniente pudiendo estar bien definida la densidad de manera discontinua y no redundante en esos puntos.

$\rho(x)=\begin{cases} x & x\in [a,b] \\ x^2 & x\in (b,c]\\ x^3 & (c,d] \end{cases}$

es un ejemplo.

Pd: veo que Alriga también lo notó y aporto intervalos abiertos.

[G502]

La solución al problema es correcta.
Solo aclaro que veo un gazapo literario en el enunciado, con consecuencias matemáticas en la definición de los intervalos cerrados con [ ] cuando deberían del tipo cerrado abierto ya sea [ ) , ( ] o abiertos ( ), eso solo para que la densidad quede bien definida en los puntos b y c de manera de escogerlos arbitrariamente, sino b quedaría definido como 1 y $\rho=1$ cuando $x=x^2$ haciendo que se deba cumplir innecesariamente que $b=b^2$ y también en c que deber ser 1 para que se cumpla $x^2=x^3$ cuando no es necesario que $c^2=c^3$.
La elección correcta de los límites del intervalo evitan ese inconveniente pudiendo estar bien definida la densidad de manera discontinua y no redundante en esos puntos.

$\rho(x)=\begin{cases} x & x\in [a,b] \\ x^2 & x\in (b,c]\\ x^3 & (c,d] \end{cases}$

es un ejemplo.

Pd: veo que Alriga también lo notó y aporto intervalos abiertos.

Claro. Acabo de notar ese detalle. Muchas gracias.