Problema de energía, excentricidad y período de una nueva órbita

[Char2911]

Buenas a todos. He estado intentando resolver este ejercicio en la primera parte de lo pedido. Llego a la conclusión de que la energía debe ser menor que la primera órbita, entonces la trayectoria será una elipse. Sin embargo dudo de esto y no sé como calcular el resto de cosas.

Este es el problema:
Un satélite describe una órbita circular alrededor de la tierra, a una altura h de la superficie. Por lástima una falla en uno de los motores provoca que la velocidad del satélite se reduzca a la mitad.
Calcule la energía de a nueva órbita, especificando que tipo de energía es.
Calcule la excentricidad de la nueva órbita.
Calcule los periodos de ambas órbitas.

Gracias. Agradezco las instrucciones. Saludos!!

[Alriga]

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Este es el problema: Un satélite describe una órbita circular alrededor de la tierra, a una altura h de la superficie. Por lástima una falla en uno de los motores provoca que la velocidad del satélite se reduzca a la mitad.

1. Calcule la energía de la nueva órbita, especificando que tipo de energía órbita es.
2. Calcule la excentricidad de la nueva órbita.
3. Calcule los periodos de ambas órbitas.

Todas las expresiones que voy a usar las puedes encontrar demostradas en Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

Inicialmente siendo M y R respectivamente la masa y el radio de la Tierra:

$v_1=\sqrt{\dfrac{GM}{R+h}}$

$v_2=\dfrac 1 2 v_1$

$$v_2=\dfrac 1 2 \sqrt{\dfrac{GM}{R+h}}$$

Con la mitad de la velocidad inicial, la órbita ya no podrá ser circular: se convertirá en elíptica de semieje mayor "a" con apogeo en R+h

$$v_2=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1{R+h}-\dfrac 1{2 \ a} \right )}$$

Igualando (1) con (2)

$\dfrac{GM}{4(R+h)}=2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1{R+h}-\dfrac 1{2 \ a} \right )$

Despejamos el semieje mayor de la órbita elíptica:

$a=\dfrac{4(R+h)}7$

La energía mecánica total de una órbita elíptica, si llamamos "m" a la masa del satélite es:

$E=-\dfrac{G \ M \ m}{2 \ a}$

$E=-\dfrac{7 \ G \ M \ m}{8 \ (R+h)}$

El punto con menor energía cinética y mayor energía potencial es el apogeo, mientras que el punto con mayor energia cinética y menor energía potencial es el perigeo.

En el apogeo se cumple:

$R+h=a(1+e)$

Despejamos la excentricidad:

$e=\dfrac{R+h}a-1$

Sustituyendo el valor de "a" obtenido y simplificando :

$e=\dfrac 7 4 -1=0.75$

Para los períodos, se puede usar la 3ª Ley de Kepler.

Órbita inicial circular:

$T_1^2=\dfrac{4 \ \pi^2 (R+h)^3}{GM}$

Órbita final elíptica:

$T_2^2=\dfrac{4 \ \pi^2 a^3}{GM}$

Se sustituye el valor de "a" y se simplifica:

$T_2^2=\dfrac{256 \ \pi^2 (R+h)^3}{343 \ GM}$

Saludos.