Secundaria Teoría sobre Cinemática: velocidad media

[Fisica_J]

Hola, he comenzado a estudiar física por mi cuenta y tengo una duda que me gustaría poder resolver, en el tema de cinemática de mecánica newtoniana, dado los libros que he leído sé que la velocidad promedio y la velocidad media son iguales cuando estamos analizando el movimiento de un objeto con aceleración constante. Por ello entiendo que:

Vmedia = Cambio de posición / Cambio de Tiempo
y
Vprom = (Vi + Vf) / 2,

es distinto cuando la aceleración NO es constante. Mi duda es que en los ejercicios sobre cinemática unidimensional en ocasiones se presenta una ecuación de movimiento como:
x = 34 + 10 t - 2t^3 (por poner un ejemplo) y me piden encontrar la velocidad promedio de un t1 = 0 a t2 = 3 s, como sé que la aceleración de un objeto esta dado por la segunda derivada de la función de posición, al derivar dos veces encuentro que la aceleración en un tiempo (t) esta dada por la función a(t) = -12t. Pienso que al no ser constante debería emplear la ecuación de Vprom = (Vi + Vf) / 2, en vez de utilizar la Vmedia, pensando en que hay un distinción sobre estos conceptos si la aceleración no es constante. Aún así la mayoría de libros no hacen esta distinción y dan el resultado utilizando Vmedia, en este caso la respuesta para esa ecuación sería -8.0 m/s , debido a que:

Vmedia = x(t2) - x(t1) / t2 - t1 = (32 + 10(3) - 2(3^3)) - 34) / 3 = -8 m/s
y no sería...

dx/dt = 10 - 6t^2,
por lo tanto, Vprom = (Vi+ Vf) / 2 = ((10 - 6(0)^2) + (10 - 6(3)^2)) / 2 = 10 - 44 / 2 = -17 m/s.

Mi pregunta justamente expuesto lo anterior, ¿qué estoy entendiendo mal?, ¿cuál es la distinción que se marca para tales conceptos?, ¿la velocidad media y promedio son términos distintos, que son iguales únicamente con aceleración constante? Si es así, ¿por qué algunos libros los utilizan de manera deliberada, sin detalle a las definiciones?, ¿tienen algún libro de cinemática especializado que aborde el tema como debe ser?

[Richard R Richard]

Hola Fisica_J Bienvenido al foro!!!! como nuevo miembro te será útil leer Consejos para recibir ayuda de forma efectiva y Consejos de conducta

también te será útil leer Cómo introducir ecuaciones en los mensajes


En efecto cuando la aceleración no es constante para hallar la velocidad promedio debes usar

$V_{prom}=\dfrac{v_o+v_f}{2}$

no uses la velocidad media porque no coincidirá,

solo coincide cuando la aceleracion es constante

si la aceleracion es constante sucede que $a=\dfrac{v_f-v_o}{t}$

el desplazamiento es $\Delta x=v_ot+\frac12at^2$

la velocidad media

$V_m=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{v_ot+\frac12at^2}{t}$


$V_m=v_o+\frac12at$

reemplazando lo que vale la aceleración cuando es constante

$V_m=vo+\frac12 \dfrac{v_f-v_o}{t} t=vo+\frac12 v_f-\frac12v_o=\frac12v_o+\frac12v_f=\dfrac{V_o+V_f}{2}=V_{prom}$


cuando la aceleración no es constante las ultimas 5 ecuaciones no son correctas.

[Fisica_J]

Muchas gracias Richard por ayudar. Ahora entiendo mucho mejor los conceptos de Velocidad media y promedio. Me encantó la forma para coincidir la velocidad promedio y media.

[Alriga]

Hola Fisica_J , bienvenido a La web de Física.

Si tenemos una función real $v$ de variable real $t$, en matemáticas se define el valor medio de la función $v(t)$ en el intervalo $[t_i, \ t_f]$ mediante la expresión:

$$\boxed{\dst \bar v=\dfrac 1{t_f-t_i} \ \int_{t_i}^{t_f} v(t) \ \dd t}$$

Esta es la expresión general que se puede aplicar siempre. Vamos a aplicarlo a 3 casos de ejemplo en cinemática:


a) Movimiento rectilíneo uniforme

$v(t)=V$ constante. Integrando:

$\bar v=\dfrac 1{t_f-t_i} V (t_f-t_i)=V$


b) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con aceleración $a$

$v(t)=v_0+a \cdot t$

Integrando:

$\bar v=\dfrac 1{t_f-t_i} \left [ v_0(t_f-t_i)+\dfrac a 2 (t_f^2-t_i^2) \right ]$

$\bar v=v_0+\dfrac a 2 \ \dfrac{(t_f+t_i)(t_f-t_i)}{t_f-t_i}$

$\bar v=v_0+a \ \dfrac{t_f+t_i}2$

Si aquí operamos:

$\bar v=\dfrac{2v_0+a t_i+a t_f}2=\dfrac{(v_0+a t_i)+(v_0+a t_f)}2$

Vemos que para el caso particular de m.r.u.a. se obtiene:

$\bar v=\dfrac{v_i+v_f}2$


c) Movimiento rectilíneo dado por la expresión $x(t)=34+10t-2t^3$

Primero hallamos la expresión de la velocidad:

$v(t)=\dfrac{\dd x(t)}{\dd t}$

$v(t)=10-6t^2$

Y ahora aplicamos la definición de valor medio:

$\dst \bar v=\dfrac 1{t_f-t_i} \ \int_{t_i}^{t_f} (10-6t^2) \ \dd t$

Integrando:

$\bar v=10-2 \ \dfrac{t_f^3-t_i^3}{t_f-t_i}$

...en ocasiones se presenta una ecuación de movimiento como:
x = 34 + 10 t - 2t^3 (por poner un ejemplo) y me piden encontrar la velocidad promedio de un t1 = 0 a t2 = 3 s

$\bar v=10-2 \ \dfrac{3^3-0^3}{3-0}=10-18=-8 \ m/s$

Finalmente, nota que a partir de la definición:

$\dst \bar v=\dfrac 1{t_f-t_i} \ \int_{t_i}^{t_f} v(t) \ \dd t$

Si integramos en general vemos que también se cumplirá siempre que:

$\bar v=\dfrac 1{t_f-t_i} \ \Big [ x(t) \Big ]_{t_i}^{t_f}$

$$\boxed{\bar v =\dfrac{x(t_f)-x(t_i)}{t_f-t_i}}$$

Saludos.

[Fisica_J]

Wow, tu explicación sobre la velocidad media es la primera vez que la veo, ¡es únicamente increíble! Muchas gracias por ayudarme. Aplicaré lo que aquí me mostraste