Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

[Alriga]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Gracias arivasm, alexpglez y Richard por el intercambio de opiniones.

... Decir que en la posición de equilibrio del sistema el resorte posee energía potencial elástica, como dice Richard, equivale a situar el cero de la misma en la longitud natural del resorte. Ahora bien, nada impide situar dicho cero en la posición de equilibrio del sistema ...

De acuerdo, pero mi opinión es que, no sólo es que no lo impida nada, sino que (opino) es la elección más pedagógica, simple y natural del problema, dado que para todos los apartados del mismo una vez el objeto se ha situado sobre el muelle, no se vuelve a separar de él y forman un único conjunto a estudiar. Como dice alexpglez:

... Nuestros resultados anteriores, como los que te ha detallado Alriga en detalle se basan en que cuando consideras un muelle y ajustas su punto de reposo respecto de las fuerzas constantes (como la gravedad), puedes olvidarte de estas fuerzas constantes.
... o sea que tratar una fuerza constante + un muelle es equivalente a tratar otro muelle con longitud de reposo distinta y misma k. Si además elegimos mover el eje x haciendo que $x+x_0'=x' \rightarrow x$ tenemos un problema mucho más que sencillo:

$$E_p=\frac{k}{2}x^2$$

Esa era mi idea, la máxima sencillez para el usuario que hace la consulta. Así definido el movimiento es un m.a.s. sin gravedad, de lo más sencillo y prosaico: el centro de la oscilación tiene energía potencial nula y máxima energía cinética, mientras que la energía potencial es máxima en las máximas elongaciones, donde la velocidad es nula.

Pero como he remarcado dos veces, es sólo mi opinión, y entiendo que a otra persona le resulte más adecuado a su forma de pensar otro punto de vista.

Saludos.

PD. Para acabarlo de liar, copié mal en el post #5 la velocidad inicial, puse incorrectamente 0.52425 en vez de lo correcto 0.5425 Gracias alexpglez que te has dado cuenta

... no me cuadraba el segundo decimal de tu segunda intervención 0,52425, pero acabo de ver ahora que es porque lo copiaste mal el número (y lo habías dado bien en tu primer mensaje ...

[SCHRODINGER27]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Buenas, veo que el tema ha dado mucho de si. Yo por mi parte, quedó todo muy claro y tengo que agradecer tanta participación y ayuda. Sois de gran ayuda y os doy de nuevo las gracias. Saludos!

[arivasm]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

De acuerdo, pero mi opinión es que, no sólo es que no lo impida nada, sino que (opino) es la elección más pedagógica, simple y natural del problema, dado que para todos los apartados del mismo una vez el objeto se ha situado sobre el muelle, no se vuelve a separar de él y forman un único conjunto a estudiar.

No quiero revolver aguas que están calmadas, pero la parte que cito hace referencia a didáctica y, como sabéis, es un tema que me interesa especialmente.

En mi experiencia como profe y el sistema masa-resorte en campo gravitatorio me he encontrado con bastante frecuencia con alumnado que maneja el punto de vista "dos fuerzas conservativas -> dos términos en la energía potencial". No obstante, la mayoría opta por el punto de vista "es como si no hubiese gravedad".

Yo creo que es más didáctico el primer enfoque, pues hace uso de conceptos generales (tantas energías potenciales como fuerzas conservativas). En cambio, el segundo hace uso de un concepto muy específico (el sistema masa-resorte...). Para que se me entienda, exagerando, es parecido a resolver problemas de movimiento en plano inclinado aplicando la 2ª ley de Newton (más general pero más largo) frente a usar algo tan específico (pero ciertamente más corto) como $a=g(\sin\theta\pm\mu\cos\theta)$.

Por ejemplo, si tenemos una masa con dos resortes en un campo gravitatorio, el punto de vista "tres energías potenciales" nos permitirá resolver el problema, mientras que el de "es como si no hubiese gravedad" no. Lo mismo nos pasará si es un solo resorte pero el campo no es uniforme, o si la masa posee carga y está en un campo eléctrico, etc.

Por tanto, a nuestro amigo Schrödinger27 le recomiendo que haga el esfuerzo (que seguro que ya ha hecho) de tratar de acoplar ambos (o quizá los tres!) puntos de vista que creo que aparecen en ese hilo. En otras palabras: que quizá lo más rico de este hilo sea, precisamente, la discusión sobre "también se puede hacer así", valorando la mayor o menor generalidad así como sencillez de cada enfoque. Recordemos que lo interesante de cualquier problema de Física raramente es el problema en sí mismo, sino el ejercitarse en los principios que suscita!

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Gracias Arivasm, se nota que te encanta la tiza y el pizarrón....

En mi experiencia como profe y el sistema masa-resorte en campo gravitatorio me he encontrado con bastante frecuencia con alumnado que maneja el punto de vista "dos fuerzas conservativas -> dos términos en la energía potencial". No obstante, la mayoría opta por el punto de vista "es como si no hubiese gravedad".

Si bien no es difícil de comprender como es el planteo que hizo Alriga, y lo fácil que me lo han explicado, aunque a mi no me es natural la idea, quizá sea porque no asocio rápidamente que un MAS con gravedad responda de la misma manera que sin gravedad, es un concepto de mentes frescas, si lo tuviese que pensar "es como si no hubiese gravedad" instantáneamente pienso que la masa no deforma al resorte, y si lo hace es porque se esta moviendo o hay una fuerza que la contiene, entonces, debo repensar y llegar a la idea del MAS en el plano horizontal, lo que intento decir es que se me lia mas el problema.

Para que se me entienda, exagerando, es parecido a resolver problemas de movimiento en plano inclinado aplicando la 2ª ley de Newton (más general pero más largo) frente a usar algo tan específico (pero ciertamente más corto) como $a=g(\sin\theta\pm\mu\cos\theta)$.

En todos los problemas intento deducir la formula , en tu ejemplo llego a $a=g(\sin\theta\pm\mu\cos\theta)$ después de varios pasos, quizá para los mas jóvenes es mas rápido aplicar la fórmula que tienen bien aceitada, porque en mi caso cada vez que confió en mi memoria me equivoco mas de lo debería. De ahi que hice la recopilación de formulas en el blog, para no perder tanto tiempo aveces en deducir y alguna vez me las acordaré.

Como me lo han enseñado el tema de una sola manera, con uno y a veces libros de referencia, el pensamiento lineal tira mas de la cuenta: Debo reconocer que me ha maravillado el foro cuando compartes ideas, donde en particular me enriquezco y me digo "mira vos... lo podía haber hecho más fácil" .Y eso es bueno, poder elegir lo que a uno le apetece porque es mas fácil y natural, sin saltar demasiados pasos para resolver correctamente próxima la situación sin que el profe baje puntos...

[alexpglez]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Si bien no es difícil de comprender como es el planteo que hizo Alriga, y lo fácil que me lo han explicado, aunque a mi no me es natural la idea, quizá sea porque no asocio rápidamente que un MAS con gravedad responda de la misma manera que sin gravedad, es un concepto de mentes frescas, si lo tuviese que pensar "es como si no hubiese gravedad" instantáneamente pienso que la masa no deforma al resorte, y si lo hace es porque se esta moviendo o hay una fuerza que la contiene, entonces, debo repensar y llegar a la idea del MAS en el plano horizontal, lo que intento decir es que se me lia mas el problema.

Creo que es oportuno dar un 3º o 4º (ya que Arivasm se asignó el 3 xD) enfoque, de carácter aproximativo pero totalmente exacto en caso de potenciales polinómicos de segundo grado. Enfocaré el problema al caso de una sola variable, siendo análogo el caso de varias variables (pero más largo):
La cuestión es que tenemos una función $V(x)$ y queremos otro potencial $V^*(x)$ que sea aproximadamente equivalente. Una idea es desarrollarlo mediante una serie de Taylor y quedarnos con términos relevantes:

$$V(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-x_0)^n}{n!}V^n(x_0) \approx V(x_0)+V'(x_0)(x-x_0)+\frac{V''(x_0)}{2}(x-x_0)^2$$

Ahora bien el primer término lo podemos despreciar (es una constante que no porta información por lo de que la energía está bien definida salvo una constante), si elegimos $x_0 | V'(x_0)=0$, el segundo término también se nos va, quedandonos con el tercer término, además si los demás términos no influyen mucho los podemos despreciar perfectamente como en el caso de oscilaciones pequeñas. Por lo que la energía potencial queda aproximada a:

$$V^*(x)=\frac{V''(x_0)}{2}x^2$$

Donde hemos renombrado la variable $x-x_0 \rightarrow x$.

Finalmente obtenemos que el sistema se comporta un muelle respecto del "punto de equilibrio" del muelle $x_0$ y a la vez punto de equilibrio del sistema $V'(x_0)=-F(x_0)=0$. Además en el caso de potenciales polinómicos de segundo grado, como $V'''(x)=0$, tenemos que no hay aproximación ninguna como bien hemos detallado en los anteriores mensajes.

[SCHRODINGER27]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Es fascinante como un problema puede abordarse de tantísimas formas, llegando finalmente al mismo resultado en todos los métodos. Reitero mis agradecimientos pues, para alguien como yo, darle tantos enfoques, tantos puntos de partida es bueno y se agradece, ya que ayuda a descubrir diversos métodos y planteamientos capaces de resolver el mismo problema.

[alexpglez]

Re: Ejercicio objeto en un muelle al que se le da un impulso. M.A.S

Por si acaso me expliqué mal anteriormente, adjunto unas imágenes ilustrativas de las equivalencias.
Primero enseñar el por qué un potencial polinómico de segundo grado, es equivalente a un muelle (siempre que el coeficiente de x^2 sea positivo).

Con x negativo empieza a decrecer y luego a crecer por el hecho de la fuerza gravitatoria contribuye con un número negativo mayor (en valor absoluto) que el número positivo por el muelle.

El procedimiento matemático que describí anteriormente para aproximar es ilustrativamente esto:

En torno al punto de equilibrio, ciertas funciones parecen de segundo grado. Esta función en concreto se da en los campos gravitatorios, eléctricos, etc. por una masa circular, la función asciende ya que el término cinético es debido a la fuerza centrífuga.
También se puede usar el método aproximativo anterior para ver en qué condiciones se da un cierto equilibrio y cuándo se desequilibra: estudiando la ecuación diferencial siguiente con un parámetro variando lentamente $\beta$

$$\frac{d^2x}{dt^2}=-\beta x$$

Si $\beta$ es positivo el sistema está en equilibrio, mientras que si es negativo se desequilibra.

- - - Actualizado - - -

PD: los ejes coordenados no son y(x), sino E(x) y E' (x') y E (r) y E' (r'). Donde las coordenadas se diferencian por una traslación y E' y E son equivalentes en el sentido de que les diferencia una constante.